第十一章含时微扰与量子跃迁.ppt

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1、第十一章 含时微扰与量子跃迁,11.1 量子态随时间的演化 11.2 突发微扰与绝热微扰 11.3 周期微扰与有限时间内的常微扰 11.4 能量-时间不确定度关系 11.5 光的吸收与辐射的半经典理论,11.1 量子态随时间的演化,含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题 可分为两类：,(1) 系统的Hamilton量不依赖时间,如,散射问题或行进问题,初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关,(2) 系统的Hamilton量依赖时间,如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、 交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。,11.1.1 Hamilton量不含时的体系,此

2、时含时薛定谔方程的解是,是描述量子态随时间演化的算符。,若初态可表示成,其中,则t时刻的波函数是,例题1 设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中 (不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场 的相互作用是,设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=/2,求t时刻电子的自旋波函数,解法一： 设t时刻电子的波函数是,代入薛定谔方程得,初始条件：a(0)=1, b(0)=0,则,两式相加、减得,积分得,上两式相加减得,或,解法二：体系的能量本征态和本征值分别为,电子的自旋初态为,则t 时刻的波函数是,11.1.2 Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论,量子态随时间的演化,更有意思的

3、兴趣： 在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？,编时算符,设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0(不含时间)，包括 H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是|n，设体系 初始时刻处于某一能量本征态|k,加入微扰后体系的哈密顿是,由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能 保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加,在初态条件下求解薛定谔方程,即,将(19)代入(20)得,上式左乘k|，并利用本征函数的归一性得,其中,初始条件,在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是,即体系从初态k在t 时刻跃迁到n态的概率是Pnk(t),单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为,如何求,?,用微扰法近

4、似求解,零级近似：忽略H的影响，按照(22)式有,则,根据式(24)有,一级近似：在式(22)右边，令,由此得出一级近似解,且随时间缓慢变化，体系仍 有很大的概率停留在原来的态。,积分得,因此在准确到微扰一级近似下有,对kk(初态不同于末态),则,上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。,上述公式成立的条件是,即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。,选择定则：若H具有某种对称性使得Hkk=0, 则Pkk=0，即在 一级近似下，不能从初态k 跃迁到末态k,或者说从 k态跃迁到k态是禁戒的，就相应某种选择定则。,注: (1),(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸 简并态

5、求平均，对终止能级诸简并态求和,如在中心力场中,是从nlm态到nlm态的跃迁概率,(3) 量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同，也可在同能级 间跃迁，如弹性散射，此时,此时跃迁概率为,例题2 设在,时，一维谐振子处于基态，问经过微扰,时，处在第n个本征态,|n的概率。,解：,利用公式,及产生与湮灭算符的性质可知，只有,，其它均为零,后，在,跃迁概率为,含时间微扰与定态微扰的关系,定态微扰是含时微扰的一种近似，事实上，任何微扰总是与 时间有关，如Stark效应，外加电场的时间总是比原子的特征 时间大很多，因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢， 此时可用定态微扰处理。,11.2 突发微扰与绝

6、热微扰,11.2.1 突发微扰,设体系受到一个突发但有限的微扰的作用,对薛定谔方程两边积分，并取极限可得,说明突发微扰不改变体系的状态。,例题3：考虑-衰变,释放一个电子的持续时间,原子中1s轨道电子运动的特征时间为,则,在此短暂的过程中，-衰变前原子中的一个K层电子的状态还 没有来得及改变，但由于原子核电荷已经改变，原来的状态并 不是新原子的能量本征态，即不是新的1s态，那么原子有多大 概率处于新的1s态？,K层电子的波函数是,则K电子处于新原子1s态的概率是,如Z=10, 则P0.9932,11.2.2 绝热微扰,与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰 作用时间足够长，变化足

7、够慢。,假定t-时，体系处在无微扰状态，在(0,-)的足够 长时间内加入微扰，在t=0时，体系的哈密顿量为,称为绝热因子。,则,若足够大，则,11.3 周期微扰 有限时间内的常微扰,考虑周期为微扰,则在时刻t体系从初态k跃迁到末态k的跃迁振幅是,跃迁概率是,利用公式,即,可见，当,单位时间内跃迁概率是,常微扰的跃迁概率,设t=0时刻体系处在态k，在微扰作用下体系跃迁到连续分布 或接近连续分布的末态m, 则跃迁概率为,设微扰H是个常数，只在(0,t)时间间隔内起作用，则体系 在t=0时处于k态，在t=t时跃迁到m态的概率幅为,则,(5),(6),(7),利用公式,，并作变量代换，,则,近似地,单

8、位时间内的跃迁概率(跃迁速率)为,费米黄金规则,即,(8),(9),(10),(11),11.4 能量-时间不确定度关系,例题4 设粒子的初始状态是,1,2是粒子的两个能量本征态，本征值为E1,E2，则,粒子在空间的概率密度分布是,其中,可见：概率密度随时间周期性变化，变化周期是,记,则,对定态有,上式称为能量-时间的不确定度关系,也满足不确定度关系。,例题5 设自由粒子用一个波包来描述，波包的宽度为x,群速度 是v，相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所 用的时间是tx/v， 此波包所描述的粒子的动量的 不确定度是,因此能量不确定度是,则,例题6 设原子处于激发态，它通过自发辐射而衰变

9、到基态， 寿命为。这是一个非定态，其能量不确定度是E，称为 能级宽度。由于寿命的限制，自发辐射光子相应的辐射波 列的长度是xc,因此光子动量的不确定度是,光子能量的不确定度是,因此原子激发态能量也有一个相应的不确定度，即能级宽度,能量-时间不确定度关系的严格证明,证明：设体系的Hamilton量为H，另外一个力学量是A,则有,其中,因为,则,令,表示力学量A的平均值改变A所需要的时间,则,或写成,上式就是能量-时间不确定度关系。,E表示体系所处状态能量的不确定度，t表示该状态的性质有 明显改变所需要的时间，或变化周期。,例7 设末态是自由粒子动量本征态,在箱内动量的本征值为,动量在,内的量子态

10、数为,动量在,内的量子态数 为,则在能量间隔,，角度在,内的状态数目为,态密度为,概论 众所周知，光辐射和物质之间存在相互作用，这种相互作用不仅 偶尔会影响光辐射的传播，更决定着光辐射被物质的吸收和发射。 经典理论成功地描述了光辐射的传播，然而却无法正确描述光的 吸收和发射。量子理论辉煌成就之一在于，能够全面正确地描述 光和物质的相互作用，包括相互作用导致的光吸收和光辐射。尽 管量子电动力学理论本身还存在着问题，但可以说，它是迄今为 止人类所建立的最成功、最精确的物理理论。 辐射和物质相互作用的全量子理论应当是从统一的量子化观点 处理相互作用着的双方：电磁场和物质粒子。就是说， 非相对论量子电

11、动力学：粒子原子及其中的电子遵从 Schrdinger方程，电磁场被量子化成为量子电磁场。 相对论量子电动力学：粒子遵从Dirac方程和Klein-Gordon方程， 电磁场为量子电磁场。这便是常称的量子电动力学的辐射理论。,11.5 光的发射与吸收,由于课程所限，这里只给出光场对物质作用的量子力学理论， 可称作半量子理论： 这个理论的实质是对物质中的原子、分子、电子采用量子 力学的观点，但对光场却采用经典电磁波观点。于是成为如下一 幅物理图象：量子力学中的原子(及原子中的各层电子)在经典电 磁场的强迫振动下，发生能级之间的量子跃迁，与此同时便产生 出光子或湮灭光子。用半量子理论能够给出光辐射

12、和物质相互作 用的一部分正确结果，包括产生或湮灭光子的能量、谱线强度、 偏振状态、禁戒规则和角分布等等。但是，由于它的不彻底性， 也如同非相对论量子力学的局限性一样，不能解释处于激发态原 子的自发辐射、强辐射场中的多光子过程、以及光场中物质粒子 的产生和湮灭等进一步的问题。 其中的自发辐射问题，爱因斯坦曾依据热力学平衡的一般观 念，半唯象但却是普适地处理了自发辐射和受激辐射之间的关系。,1. 光的吸收与受激辐射,设入射光是平面单色波，其电场强度和磁场强度分别为,原子中的电子受到的电场力和洛伦兹力之比为,因此在原子中只考虑电场的作用。,定义：在光的照射下，原子可能吸收光从低能级跃迁到较高能级，

13、或从高能级跃迁到较低能级并放出光，这种现象分别称为光的吸收 和受激辐射。处于激发态的原子，即使没有外界光的照射也可能跃 迁到某些较低的能级而放出光，这称为自发辐射。,(1),若入射波是可见光，光的波长远大于玻尔半径，则,则原子内的电场强度可简化为,相应的能量为,其中,取,，直接利用周期性微扰公式得,或,只考虑光的吸收，且假定,(3),(2),(4),(5),若入射光不是偏振光，光偏振（E0）完全是无规的，则,则有,若入射光是自然光而非单色光，则园频率在+d中的能量 密度为()d,且,则自然光射到原子上，单位时间内的跃迁概率为,(6),(7),(8),定义受激吸收系数,显然,(2) 选择定则,球

14、坐标与直角坐标的关系,设原子的初态为,，末态是,即跃迁概率与入射光中园频率为mk的光强度成正比，其它频率 成分对该跃迁没有贡献。,(9),(10),(11),激发辐射系数,利用球谐函数间的关系,可算出，只有当,时，r的矩阵元才不全为零，也即从k到m态的跃迁才可能发生， 上述关系称为偶极跃迁选择定则,(12),设,是从mk的自发辐射系数，它 表示原子单位时间内从m自发跃 迁到k的概率,是受激辐射系数。若作用于原子的光波在+d频 率范围内的能量密度为I()d，处在能级m的原子受 激跃迁到k能级，并发出能量为mk的光子的几率是 BmkI(mk).,受激吸收系数，处在能级k的原子,吸收能量为km的光子

15、，受激跃迁到m能级的概率为BkmI(km).,(2) 自发辐射与爱因斯坦理论,当原子和电磁辐射达到平衡后，有,根据玻耳兹曼分布,则,与黑体辐射公式,假定m能级有Nm个原子， k能级有Nk个原子，则,(13),(14),(15),(16),进行对比，并利用,即,在偶极近似条件下有,或,得,(17),，则可求出,(18),(19),将式(15)、(16)代入得,讨论：,(1) 自发辐射与受激辐射之比为,当,时，,在室温下T=300K,则,远大于可见光的波长，波长越小，频率越高，可见在可见光区 自发辐射远大于受激辐射。,(2) 自发辐射与受激辐射具有相同的选择定则,(3) 处在受激态m的Nm个原子，

16、在dt内自发跃迁到k态的数目为,积分得,(4) 单位时间内原子自发辐射出的能量为,处于m态的Nm个原子发出频率为mk的总辐射强度为,其中,表示处在m态原子的寿命，求和对所有低于,m的能级进行。,例题 8 计算氢原子,自发衰变寿命,解：波函数形式为,则,平均寿命为,例题9 电荷为q的线性谐振子在时间t=0时处于基态，t0 时处在,的电场中，,求振子处在各激发态的概率，并讨论t很大时的概率。,附:,解：,因此只有基态向第一激发态跃迁是 允许的,因此,例题10 在用电子撞击氢原子使氢原子升高到第一激发态的实验 中发现，即使入射电子束具有单一能量，引起跃迁的电 子在碰撞后的能量也不一样。 请解释这一现

17、象（注意原子受激态的寿命通常会很短） (2) 实验中观测到电子束能量起伏有数量级10-6eV，计算原子受激 态的平均寿命。,例题11 从恒温器发出的温度为1200K的银原子蒸汽，穿过直径为 d的小圆孔打到屏上，屏与孔的距离L=1m（提示银原子的能量为 kT/2）. 试用测不准关系证明，用逐渐缩小小孔的办法使打在屏上的斑 点直径无限减小是不可能的。 (2)试估计用改变小孔直径的办法可能得到斑点的最小直径,解： (1),粒子穿过小孔时坐标的不确定度为,设亮斑半径为a，则亮班对小孔中心的张角为,由测不准关系,即,显然，考虑到测不准关系，亮斑的直径与小孔的直径成反比，逐渐 减小小孔的直径无法使得亮斑的

18、直径无限减小。,(2) 如果不考虑银原子的衍射，则小孔的直径与亮斑的直径相等； 若考虑银原子的衍射，则小孔的直径小于亮斑的直径。而当小孔的 直径逐渐减小时，则亮斑的直径也逐渐减小，当孔的直径小到与银 原子的波长相当时，开始出现衍射现象，即亮斑的直径开始增大， 孔的直径越小，亮斑的直径就越大。因此，亮斑的最小直径就是 银原子的德布罗意波长。根据题目所给条件可求出银原子的波长。,例题12 处于基态的氢原子受到脉冲电场,的作用，,用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率，以及仍停留 在基态的概率。,解： 自由氢原子的哈密顿为H0，能级为En。本征方程是,设脉冲电场沿z轴方向，则微扰哈密顿为,因此t时刻电

19、子跃迁到 n态的概率是,电子仍留在基态的概率是,例题13 已知两种中微子的本征态为,能量本征值为,电子中微子的本征态为,子中微子的本征态为,其中是混合角。某体系在t =0 时刻，电子中微子处于态,求： 1) t时刻中微子所处的状态；2) t时刻中微子处于基态的概率。,解：,例题14 设粒子所处的外场均匀，但与时间有关，即V=V(t), 与坐标r无关。试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程 解(r,t)的一般形式。并取V(t)=V0cost, 以一维情形为例 说明V(t)的影响是什么。,解：令,代入薛定谔方程得,两边同除(x)f(t)可得,解得,若取,则,则总的波函数是,显然，外场的作用仅是给

20、平面波提供了一个受时间调制的相角。,例题15. 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿为,求： (1)很长时间后(t)电子跃迁到激发态的概率。已知,(2)基态电子跃迁到下列哪个态的概率为零，简述理由,解：微扰为,初态波函数为,利用,2012年 复旦大学 量子力学研究生入学试题,(第一题必做，第二至第七题作其中五题),一、 1)写出量子力学五个基本假设 2)分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程 3)动量和坐标的某种对易关系（不全） 4)求x的本征值和本征态 5)求Lz的本征值和本征函数,二、计算波函数某个算符的平均值,三、t0时 加入了磁场B=B1sin20te2+B2cos20te3, (

21、ei是单位矢量),(1)求t0时电子的波函数； (2)画出Sz随时间的变化；(3),四、,计算各能级的二级近似能量,五、两个自旋为1/2的粒子，磁矩分别是1和2，两粒子的距离 a=AZ(Z为矢量)，两粒子受磁矩相互作用,(1)以S1、S2表示H (2)在(S2,Sz)表象中表示H (3)求哈密顿H的本征值,六、碱金属原子处于势场,(1)求所有能级，并与氢原子能级比较；(2),七、求中心力场,中高能散射振幅及微分截面,参考答案：,三、解：电子与磁场相互作用的哈密顿是,初始条件,五、解：,2012年 中国科技大学 量子力学研究生入学试题,(20分)质量为m的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动 (

22、转子)，已知开始时体系处于状态,A为常数。 (1)写出t时刻系统的波函数；(2)求出t时刻系统的平均能量,2.（30分）一个质量为m的粒子在下面的一维势阱中运动,其中a, A为常数,给出此系统的第一激发态能量 (2)已知此系统的基态能量非负，请问A应满足什么条件。,3.(30分)计算一维谐振子基态中的不确定度乘积,4. （20分）设有二维空间中的如下矩阵,(1)请考察A的厄米性 (2)请写出A用1,1,2,3展开的表达式，1,2,3 是著名的Pauli矩阵 (3)求解A的本征方程，求出本征值和相应的本征态。,五、(30分)假设自由空间中有两个质量为m、自旋为/2 的粒子，它们按如下自旋相关势相

23、互作用,其中r为两粒子间的距离，g0是常数，而i(i=1,2)为分别作 用于第i个粒子的Pauli矩阵。,(a)请写出两粒子体系一组可对易力学量完全集(CSCO) (b)请写出该体系各束缚定态的能级。 (c) 请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。,解：,在质心坐标系中，两粒子相对运动的薛定谔方程为,选力学量完全集,共同本征函数,六、(20分)有一个一维束缚体系(如一维谐振子)，其哈密顿为 H0，束缚定态记为0,1,2,(均已归一化)，相应的 本征值为123。现体系受到微扰作用，微扰哈密顿 量为,其中为小的实常数，A为已知的厄米算符，请计算微扰修正后 体系的束缚定态(要求准确到一阶)和能级(精确到二阶),量子力学中常用公式,1. 中心力场中的定态薛定谔方程,或,2. 广义Gauss积分,Gauss积分,3. A和B是与对易的任何两个矢量，则,4. 对任意的角动量升降算符有,5. 坐标、动量算符,6. 散射振幅,8. 跃迁概率幅,7. 非简并微扰,