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1、若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为,重积分的应用,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,1。平面图形的面积,由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时,区域D的面积,2。空间立体的体积,设曲面的方程为,对三重积分而言,则曲顶柱体的体积为,由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为,计算由曲面,解一,用二重积分,与 xoy 面所围成的立体的体积,由
2、对称性得,例1,解二,用三重积分,所围成的立体的体积,解一,（用极坐标）,解二,是柱形区域，用柱坐标,例2,设曲面的方程为：,如图，,3。曲面的面积,曲面S的面积元素,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,曲面的方程为,求半径为R的球面的表面积,解,曲面方程为,（由对称性）,例4,计算圆柱面,被圆柱面 所截的部分的面积,解,由对称性可知A=8A1,A1 的方程,例5,面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量,体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量,4。质量,5。平面薄片的重心,由元素法知,若薄片是均匀的，重心称为形心.,解,6。平面薄片的转动
3、惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,解,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,7。平面薄片对质点的引力,由积分区域的对称性知,所求引力为,解,几何应用：曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。,小结：,1。平面图形的面积,2。空间立体的体积,3。曲面的面积,曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D,关于重积分应用,4。质量,积分域的元素,静力矩=质点质量与质点到坐标轴（面）距离的乘积,对各坐标轴（面）静力矩分别平衡点的坐标,平面薄片,5。重心,重心,空间立体,惯性矩=质点的质量与质点到某个轴的距离平方的乘积,平面薄片,空间立体,6。转动惯量,7。引力,方向与,o,x,y,z,。,。,在 xoy 内一薄片对 z 轴上(0,0,a)处一质点引力,空间立体对空间中点(x0 ,y0 ,z0 ) 处的质点的引力,