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1、第五章 刚体的定轴转动,本章主要内容,1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能,教学基本要求(力学重点）,一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.,二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.,三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.,四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律,5.1 刚体转动的描述,一. 刚体,受力时不改变形状和体积的物体。,说明： 1)
2、 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点叫做刚体的一个质元; 4)关于质点系的运动基本定律适用. 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变的质点系。,1、平动,当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。,二. 刚体的运动,特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。,刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。,2、转 动,刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这条直线叫作转轴。,定轴转动：
3、,转轴固定不动的转动。,特点： 各质点都作圆周运动； 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上； 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。具有相同的角位移、角速度和角加速度.,3、刚体的一般运动,平动,绕转轴的转动,+,三. 刚体定轴转动的描述,1. 定轴转动的角量描述,角位置：,角位移：,角速度：,角加速度：,角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。,非定轴转动？,2、 角量和线量的关系,3、 匀加速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀加速转动。,刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比,P142 例5.1,例5.1一条绳索绕过一定
4、滑轮拉动一升降机，滑轮半径r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求:,（1）滑轮的角加速度。 （2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。 （3）在这5秒内滑轮转过的圈数。 （4）开始上升后，t=1s末滑轮边缘上一点的加速度（绳索和滑轮不打滑）,解：,本章主要内容,1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能,: 力臂,对转轴 Z 的力矩,一 力矩,用来描述力对刚体的转动作用,5.2 转动定律( 牛顿第二定律）,O,（1）若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，
5、故 对转轴的力矩,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,转动定律,2）刚体,质量元受外力 ，内力,1）单个质点 与转轴刚性连接,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,转动定律,定义转动惯量,(2) 为瞬时关系,(3) 转动中 与平动中 地位相同,(1) , 与 方向相同,说明,转动定律应用,例1 一个质量为M、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。,解：,定轴O,v0=0,例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水
6、平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？,解 (1) 用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图,A,B,C,解得：,如令 ，可得,（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例3 一长为 l 、质量
7、为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,m,l,O,mg,END,本章主要内容,1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能,刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴垂直距离平方的乘积之和。,转动惯量是标量； 转动惯量有可加性； 刚体转动惯性大小的量度。 单位：kgm2,若质量连续分布,若质量离散分布,5.3 转动惯量的计算,转动惯量与刚体的
8、质量、刚体的形状、以及转动轴有关,例5.4、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,P148 表5.1：一些均匀刚体的转动惯量 (记住),例5.5 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .,解 设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例5.6 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒,平行轴定理,转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 .,质量为
9、 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,圆盘对P 轴的转动惯量,补例：内半径为R1 外半径为R2 质量为m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量,补例：质量为m 半径为 R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量,在球面取一圆环带，半径,补例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,本章主要内容,1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能,5.4 刚体的角动量和角动量守恒,一. 刚体绕定轴转动的角动量,二. 角动量定理及守恒定律,角动量定理,角动量守恒定律
10、,刚体所受的合外力矩等于刚体角动量的变化率。,角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。,讨论：分两种情况： 1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动； 2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；当转动惯量变小时，角速度变大。,推广：对于多个刚体或刚体与质点的组合系统，角动量定理 仍然成立。,对于由多个刚体或刚体与质点组成的复杂系统，系统所受的力对同一转轴的合外力矩等于系统对该转轴的总角动量的变化率；若系统所受的对某一转轴的合外力矩为零，则系统对该转轴的总角动量守恒。,P1501
11、57 例5.7例5.9,例5.7、如图所示,棒长为l,质量为M，静止悬于长棒的下端。一质量为m的子弹以水平速度v0射入而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。,解:角动量守恒,例5.8 :一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？,系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：,设人沿转台边缘跑一周的时间为t：,人相对地面转过的角度：,台相对地面转过的角度：,参见教材p151,本章主要内容,1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角
12、动量和角动量守恒 5、转动中的功和能,5.5 转动中的功和能,一. 力矩的功,刚体的内力不做功,对于有限角位移，力做的功：,二. 刚体的转动动能与动能定理,1. 刚体的转动动能,定义转动惯量,（定轴转动的刚体转动动能公式）,2、刚体定轴转动的动能定理,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量。,定轴转动的动能定理：,三. 刚体的重力势能,h,一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的重力势能一样。,四. 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律,对于包括有刚体和质点的系统，外力不做功，只有保守内力做功,P153145 例5.11、5.12、5.13,例5.
13、11一个质量为M、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。(用机械能守恒定律）,解：,末态:,例5.12一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：,据质心定义,刚体定轴转动定律,2、再求角速度,3、再求角速度,取棒和地球为系统，轴对棒的作用力不做功，系统为保守系统机械能守恒，取棒水平位置为势能零点，,例5.13一根长为L，质量为M的均匀直棒静止在一光滑水平面上，它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m的小球以水平速度v0垂直于棒冲击其一端而粘上。求碰撞后球的速度v和棒的角速度以及由此碰撞而损失的机械能。,解：,注意：区分两类冲击摆,水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0 = ( m + M ) v 对 o 点： ， 守恒 m v 0 l = ( m + M ) v l,轴作用力不能忽略，总动量不守恒，但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒。,机械能？,绳子柔软,圆锥摆,讨论:动量、角动量、机械能守恒,作业：P160 5.10，5.11,5.13,