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1、二、刚体的运动,1. 刚体的平动,4-1 刚体运动学,若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行，则称刚体作平动。,一、刚体,有一定大小和形状, 不发生形变的物体，是一力学模型.,第四章 刚体的转动,特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移、速度、加速度都相同，所以当刚体作平动时，可用其中一点的运动代表整体的运动，即可视为一质点运动。,2. 刚体的转动,当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，则称刚体作转动，该直线称转轴。,定轴转动的特点：转轴相对参照系固定，刚体内所有点都具有相同的角位移、角速度、角加速度.这些角量也称刚体的角量。,转轴,瞬时转轴,固
2、定转轴,非定轴转动,定轴转动,3. 刚体的自由运动,刚体的自由运动可分解为质心的平动及绕质心轴的转动。,质心：刚体的质量中心，当刚体不大或匀质对称时，质心和重心重合。,三、描述刚体定轴转动的物理量,定轴转动的刚体中,各质点的线量一般不同，但角量都相同，描述刚体整体的运动常用角量。,转动平面,转轴,参考方向,1. 角坐标和角位移,2. 角速度,3. 角加速度,角速度方向用右手螺旋法则确定。,定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。,用正负号表示方向,角加速度方向与 相同。,是矢量，方向用右手螺旋法则确定。,刚体作匀变速转动公式:,4. 角量与线量的关系,四、刚体的非定轴转动,4-2 力矩 转动定律
3、 转动惯量,是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。,一、力矩,1. 力矩的定义:,2. 物理意义,3. 定轴转动的力矩,(1) 力矩只有两个方向，规定了正方向后，可用正负号表示力矩的方向;,(2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;,(3) 若力不在垂直于转轴的平面内,则将这些力沿平面和转轴方向分解，与转轴平行的分力力矩为零，在平面内的分力力矩的代数和即为这些力的合力矩;,(4) 由于刚体内质点间的相互作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三定律，所以这些力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。,对mi 用牛顿第二定律
4、：,二、转动定律,切向分量式为：,外力矩,内力矩,对所有质点求和：,用M表示合外力矩, 则有: MJ ,转动惯量,矢量式:,刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。,2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,说明：,1. 与 地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,3. 力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所 以用正负号表示方向。,定轴转动刚体的转动定律的应用,解：,例 一个质量为 半径为R 的定滑轮（当作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而
5、下垂。忽略轴处摩擦，求物体m 由静止下落高度h 时的速度和此时滑轮的角速度。( ),例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？（J = mR2 ）,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,解：,例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由
6、此下摆 角时的角加速度和角速度。( ),重力力矩为：,物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。,三、转动惯量,1. 定义,2. 与转动惯量有关的因素,刚体的质量及其分布;,转轴的位置;,刚体的形状。,在（SI）中，J 的单位：kgm2,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。,3. 转动惯量的计算,质量离散分布的刚体,若质量连续分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,为质量的线密度,为质量的体密度,为质量的面密度,注意,只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实
7、验求其转动惯量。,例4 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,在环上任取一小线元dl,其质量,解:,将圆筒分为一系列的圆环，质量为dm,例5 求质量为M 半径为R 的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。（不计厚度）,圆环与圆筒的转动惯量公式相同,例6 求质量为m ，半径为R ，厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。(P120例3),解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环,可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是 。,例7 求长为L 质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。(P120例2),解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所
8、示，dm =dx,A,C 相距L/2,4. 平行轴定理,前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，JA 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L /2，有：,推广: 若有任一轴与过质心的轴平行且相距d ，刚体对其转动惯量为: , 称为平行轴定理。,例8 求球体对通过球心轴的转动惯量，球的半径为R体密度为 。( P150 4-8 , 题解P24 ),解：将球分为一系列的圆盘,任一圆盘的质量：,对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？,例9 如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L , 球半径为R）,解：,4-3 角动量 角动量守恒定律,一、质点绕固定轴转动的角动量(动
9、量矩),质点m 以速率v 、角速度 绕z 轴转动, z 轴垂直于转动平面xoy。定义质点m 绕z 轴的角动量为:,方向: 如图所示;,大小:,由于质点绕固定轴转动,则有:,二、质点的角动量定理及角动量守恒定律,由牛顿第二定律:,力矩:,由于:,则:,质点的角动量定理:,质点的角动量守恒定律:,刚体以角速度 绕z 轴转动。刚体上任一质元绕z 轴作圆周运动的角动量为：,三、刚体定轴转动的角动量,由于每个质元对z 轴的角动量方向相同,刚体对z 轴的角动量为:,角动量是描述刚体转动状态的物理量,四、刚体的角动量定理,由转动定律:,冲量矩 表示合外力矩在t0 t 时间内的累积作用。单位：牛顿米秒,角动量
10、定理:作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。,五、刚体的角动量守恒定律,刚体角动量守恒定律:当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变。,说明：1. 若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对 同一转轴的角动量； 2. 对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定 律之一。,角动量守恒定律的两种应用：,1. 转动惯量保持不变的单个刚体。,2. 转动惯量可变的物体。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.,例10 一质量为M 半径为R 的转台，以角速度a 转动,转轴的摩擦不计。1) 有一质量为m 的蜘蛛垂直地落在转台边缘上，求此时转台的角速度b ;2) 如果蜘蛛
11、随后慢慢地爬向转台中心，当它离转台中心距离为r 时,转台的角速度c 为多少？设蜘蛛下落前距转台很近。( P153 4-22 ),解:,一、力矩的功 -力矩的空间积累作用,-力矩的功,4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理,二、力矩的功率,若力矩是恒量:,比较：,三、转动动能,设转动角速度为，第i个质元mi 的速度为:,其动能为:,整个刚体的动能为:,刚体转动动能,比较：,四、定轴转动的动能定理,刚体定轴转动的动能定理:合外力矩作的功等于刚体转动动能的改变量.,-刚体绕定轴转动的动能定理,-质点的动能定理,比较:,四、机械能与机械能守恒,机械能 = 势能 + 平动动能 + 转动动能,刚体与质
12、点组成的系统，机械能包括：,机械能守恒条件：,机械能 = 势能+平动动能+转动动能 = 恒量,刚体与质点组成系统的机械能守恒定律,例11 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求: 1. 碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。,解：碰撞过程角动量守恒,上摆过程机械能守恒，得：,注意：橡皮泥和杆子的零势点取得不同。,例12 如图所示,质量为m 的粘土块从距匀质圆盘h 处落下,盘的质量 M=2m, = 60, 盘心为光滑轴。求碰撞后瞬间盘的0 ；P 转到x 轴时盘的，。
13、,解：m下落到P 点前一瞬间有,碰撞时间极短，对m +盘系统，冲力远大于重力，故重力对o 的力矩可忽略，角动量守恒：,对m + 盘+ 地球系统，只有重力做功，机械能守恒。令x 轴为零势面,则：,解：由角动量守恒,摩擦力矩作负功，有机械能损失。,例13 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为1、2 ，求：1) 对接后共同的角速度 ; 2) 对接过程中的机械能损失。,例14 人和转盘的转动惯量为J0 ,哑铃的质量为m , 初始转速为1 。求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。,解：由角动量守恒,非保守内力作正功 ，机械能增加。,例15 一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 =s-1 转动
14、，转台对转轴的转动惯量为J0 = 4.010-3 kgm2 。今有沙粒以Q = 2t gs-1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 时，转台的角速度。 ( P152 4-20, 题解P27 ),解：在0 t s内落至台面的沙粒质量为：,沙粒下落对转台不产生力矩作用（冲击力与轴平行）,则任意时刻系统角动量守恒：,t = 10 s 时转台的角速度：,例16 如图，一空心圆环可绕竖直轴OO自由转动，转动惯量为J0 ，环的半径为R，初始角速度为0 ，今有一质量为m的小球静止在环内A点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环
15、的角速度与小球相对于环的速度各为多少？（设环内壁光滑）。 ( P154 4-31, 题解P29 ),解：小球在 A 、C 点对OO轴的转动惯量为0，在B 点处的转动惯量为mR2 , 对 环+小球系统, 外力为重力 , 不产生力矩 , 角动量守恒：,对环+小球+地球系统, 机械能守恒，取环心为零势点，有：,得：,由这几式得：,例17 如图，在光滑的水平面上有一轻弹簧（倔强系数为k ）它的一端固定，另一端系一质量为m 的滑块。最初滑块静止时，弹簧呈自然长度l0 ，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，求滑块速度的大小
16、和方向。 ( P154 4-33, 题解P30 ),解：沿水平方向动量守恒:,对子弹+滑块+弹簧系统, 合外力做功为零，机械能守恒；合外力矩为零，角动量守恒：,本 章 小 结,一、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式,1. 物理量,2. 线量和角量的关系,3.匀角加速转动公式,二、转动定律,注意:,J和M必须是一个刚体对同一转轴的转动惯量和力矩。若同时存在几个刚体，原则上应对每个刚体列出 。,三、转动惯量,刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、质量的分布以及转轴的位置有关。,计算转动惯量的方法：,(1)已知质量分布，由定义式求转动惯量：,(2)已知两轴间距离，用平行轴定理求解：,(3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，由叠加法求解：,四、刚体力学中的功和能,(1) 力矩的功：,(2) 刚体转动动能定理：,(3) 机械能守恒定律：只有保守内力作功时，系统动能与势能之和为常量。,五、刚体角动量和角动量守恒定律,(1) 角动量:,(2) 角动量定理:,(3) 角动量守恒定律:,当刚体(系统)所受外力矩为零时，则刚体(系统)对此轴的总角动量为恒量。,