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1、信息工程大学 电子技术学院,置换群,一、对称变换群的定义,定义1.7.1 使图形不变形地变到与自身重合的,变换称为这个图形的对称变换(symmetric transfor-,一个图形的一切对称变换关于变换的乘法,构成群, 这个群称为这个图形的对称变换群.,一个图形的对称变换群常可以用一个置换群来,表示, 它能很好地反映图形的对称性质, 是研究图,形的对称性质的有力工具.,mation).,二、对称变换群的实例,例1 求正方形的对称变换群.,由图1.7.1不难看出, 正方形的对称变换只有两种:,(1) 分别绕中心点 按逆时针方向,旋转 、 、 、 的旋转;,(2) 关于直线 、 、 、,的镜面反
2、射.,为了用置换来表示正方形的对称变换, 我们用数,字1、2、3、4来代表正方形的四个顶点(如图1.7.1).,显然, 正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶,点的一个置换. 如果对称变换将顶点 变为顶点 ,那么我们用置换,变换, 都可惟一地确定一个4阶置换, 且不同的对称,变换对应了不同的置换. 所以, 正方形的每一个对,称变换, 都可用惟一的一个四阶置换来表示.,表1.7.1列出了正方形的对称变换及其相应的置,来表示这个对称变换. 易知, 由正方形的每一个对称,表1.7.1,由表1.7.1可知, 两个对称变换的乘积对应于相应,的置换的乘积. 所以正方形的对称变换群是 的一,个子群, 记作
3、. 由表1.7.1可知 .,一般地, 正 边形 的对称变换群是 的一,个子群,记作 , 称为二面体群. 易知, 正 边形有,个旋转 (包括恒等变换)和 个反射, 所以, 二面体,群的阶数是 .,例2 求正四面体的对称变换群.,一个正四面体可以内接于一个正方体(见图1.7.2),把正四面体的四个顶点标上1、2、3、4四个数字,则,正四面体的每一个对称变换都可用一个4阶置换来表示.,的对称变换. 如镜面反射 就不是正四面体的对称,因此, 正四面体的对称变换群是 的一个子群. 共,有24个4阶置换, 但并非每一个置换都表示正四面体,变换.,容易看出, 绕任一条过正四面体的一个顶点及其对,面中心的轴按
4、逆时针方向旋转 , 的旋转是正,四面体的对称变换, 这样的变换有 个. 另一方面,绕任一条过正方体的对面中心的轴旋转 的旋转,也是正四面体的对称变换,这样的变换有3个.,再加上恒等变换, 共12个对称变换. 所以, 正四面,体至少有12个对称变换, 且这些变换都是旋转. 又,因为镜面反射 不是正四面体的对称变换, 所以,镜面反射 与上述12个旋转的乘积也都不是正四,面体的对称变换. 由此可知, 上述12个旋转恰是正,四面体的全部对称变换。,这12个对称变换用轮换的形,因此, 正四面体的对称变换群就是4次交代群 .,设 是数域 上的一个 元多项式.,如果集合 的一个置换保持多项式,不变, 则称这个置换为多项式,的一个对称变换. 易知, 多项式,的全体对称变换关于变换的合成构成,的一个子群, 这个群称为多项式 的,对称变换群.,例3 设 是数域 上的一个 元多,项式. 则多项式 的对称变换群等于,的充分必要条件是 是 元对称多项式.,例4 试求多项式 的对称变换群.,解 我们用置换,表示将 变到 的变换. 易知, 多项式,的任一置换最多只能将 与 或 与,互换. 所以, 多项式 的对称变换群,是由 与 生成的群, 即 . 从,而, 的对称变换群为,参考文献及阅读材料,1张奠宙等编, 科学家大辞典, 上海: 上海辞书,出版社; 上海科技教育出版社. 2000,