第5章参数估计与假设检验.ppt

《第5章参数估计与假设检验.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章参数估计与假设检验.ppt（97页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第5章参数估计与假设检验 参数估计的基本思想 数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体. 推断的基本内容包括两个方面:一是依据样本寻 找总体未知参数的近似值和近似范围;二是依据 样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断.本 章先介绍求近似值和近似范围的方法. 参 数 估 计 点估计 区间估计 用某一数值作为参 数的近似值 在要求的精度范围内指 出参数所在的区间 5.1点估计概述 书P146例5.1 即: 选择统计量 估计量 带入样本值 估计值 点估计的评价标准 1.无偏性 书P146定义5.1 例1.书P146例5.1 2.有效性 书P148定义5.2 设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比

2、更有效 例2. 设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本 ,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效. 解 = =2/2 同理 为无偏估计量, 更有效. s.r.s,试证: 为 的无偏估计,且 比 更有效. 例3 . 设总体X的方差存在 是来自 X的 证明: 样本容量越大,样本均值估计值越精确. 3.相合性(一致性) 书P149定义5.3 例4.设X1,X2,Xn为取自总体X的样本,E(X)=,D(X)=2, 则 是总体均值E(X)= 的相合估计量. 证明 利用切比雪夫不等式: 即 是总体均值E(X)= 的相合估计量. 总体数学期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的

3、 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计 (1)无偏性 (2)样本容量越大,估计值 越 有效 (3)相合性 方差的点估计 (无偏估计量) (非无偏估计量) 5.2参数的最大似然估计与点估计 一.最大似然估计 最大似然估计基本思想:已经得到的实验结果出现的 可能性最大,于是就应找这样的 作为 的真值,使实 验结果出现的可能性最大 (书P150定义5.4) 试求参数p的最大似然估计量。 故似然函数为 已知例2.总体服从参数为的普阿松分布， 为 的 一组样本观测值，求参数的最大似然估计. 故似然函数为 例3.已知随机变量服从参数为 的几何分布，其分布列 为 ， 为一组样本观测值，求参

4、数 的最大似然估计； 解:似然函数为 例4.总体 的密度函数为: 今从中抽取了容量为10的一个样本，数 据为：1050、 1100、 1080、 1200、 1300、1250、 1340 、 1060、 1150、 1150 ,求参数 的最大似然估计值 解:似然函数为 解:似然函数为 解:似然函数为 似然函数为： X的概率密度为： 解： 二. 矩估计法 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察 值称为矩估计值。 5.3 置信区间 区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并 保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。 一.置信区间的概念 二.正态总体参数的置信区间 (1). 已知方差，估计均值

5、 推得，随机区间： 例2. 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中 随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 例3.(书P158例5.14) 例4.(书P159例5.15) 例5、从一台机床加工的轴承中，随机地抽取200件，测得 其椭圆度，得样本观察值 =0.081毫米，并由累积资料知 椭圆度服从N（，0.0252），试在置信概率0.95下，求的 置信区间。 解：已知 =0.025 , n=200 , =0.081 查表可得 =1.96 (2). 未知方差，估计均值 推得，随机区间： 例6. 用仪器测量温度，重复测量7

6、次，测得温度分 别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设 温度 X f(x) 这就是说，随机区间： 例8. 设某机床加工的零件长度 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 的置信区间 。 例9.随机取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准 差为11（米/秒），设炮口速度服从正态分布，

7、求这种炮 弹速度的标准差 的90%的置信区间。 例10.(书P161例5.16) 三.大样本情形的渐进置信区间 例11.(书P161例5.17) 例13.(书P161例5.18) 例14.(书P161例5.19) 例15、设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样 本，测得样本均值为5，求X的数学期望的置信度为95%的 置信区间。 解：这是一般总体的均值在大样本下的区间估计问题 因为 =5 ， =1 ， n=100， 故近似的置信区间为 =（4.804，5.196） 1、某旅行社调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访 问了100名旅游者，得知平均消费额 =150元，根据经 验，已知旅游者

8、消费额XN（，222），求该地区旅游者 平均消费额的置信度为95%的置信区间。 答案：（145.7，154.3） 2、假定初生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新 生婴儿，测得平均体重为3057，标准差为375.314，试以 95%的置信系数求新生男婴的平均体重和方差 的置信 区间。答案：（2818，3295），（70752，405620） 3、已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布， 对9个试件作横纹抗压力试验得：平均横纹抗压力 =464.56，标准差S=28.82， 试对下面情况分 别求出平均横纹抗压力的95%置信区间。 （1）已知 =25 （2） 未知 答案：（448.23，48

9、0.89）及（442.41，486.71） 4、冷抽铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取6 根来测试折断力，得样本方差 =8.56，求方差 的置 信区间（ =0.05）。 5、假设豫农1号玉米穗位X（单位：cm）是一个连续型随 机变量，现在观测100株玉米穗位，测得平均高度 =112.3，标准差S=308.8 求置信度为0.95的关于总体均 值的置信区间。 答案 ：（51.8，172.8） 5.4假设检验概述 例1. 某地旅游者的消费额附从正态分布XN(,2), 调查 25个旅游者,得出一组样本观测值x1,x2,x25,若有专家认 为消费额的期望值为0,如何由这组观测值验证这个说法 ？

10、假设检验为 =0 例2.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体的含 量服从正态分布XN(23,22),现用一简便方法测量6次得一 组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),问用简便方法 测得的有害气体含量是否有系统偏差? 假设检验 =23,2=22 众所周知,总体 的全部信息可以通过其分布函数 反映出来,但实际上,参数 往往未知,有时甚至 的表达式也未知.因此需要根据实际问题的需要,对总体 参数或分布函数的表达式做出某种假设(称为统计假设), 再利用从总体中获得的样本信息来对所作假设的真伪做 出判断或进行检验. 这种利用样本检验统计假设真伪的过程叫 做统计检验(假设检验

11、) 例3. 用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气 体含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量 6次得一组数据23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一), 若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用 该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差? 即 分析 用简便方法测得有害气体含量XN(,22), 基本检验H0: =0=23备择检验H1: 0= 23; 若H0成立,则 若取=0.05,则 P|U|u/2=, : P|U|1.96=0.05, 在假设成立的条件下,|U|1.96为概率很小事件,一般 认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的 将样本观测值代入U得 |U|

12、1.96, 小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差. 注 检验准则 则拒绝H0, 则接受H0. 1.统计检验的基本思想 (1)小概率原理(实际推断原理)认为概率很小的事件在 一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试 验中出现了,就被认为是不合理的. (2)基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式做出某 种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小 的(条件)小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率 事件出现了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问 题,应予以否定,即拒绝这个假设.若该小概率事件在一次 试验或抽样中并未出现

13、,就没有理由否定这个假设,表明试 验或抽样结果支持这个假设,这时称假设与实验结果是相 容的,或者说可以接受原来的假设. 接受域 否定域 否定域 注意:否定域的大小,依赖于显著性水平的取值, 一般说来,显著性水平越高,即越小,否定域也越小, 这时原假设就越难否定 (1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ; (2) 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的分布; (3) 根据所要求的显著性水平 和所选取的 统计量,确定一个合理的拒绝H0的条件; (4) 由样本观察值计算出统计检验量的值, 若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接 受原假设 注 若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验

14、; 若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验. 2.统计检验的实施顺序 另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论, 造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误, 根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的 假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误, 弃真 取伪 3.两类错误 就是犯第一类错误的概率的最大允许值. 一般用 表示犯第二类错误的概率. 当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大. 另外,一般 , 5.5单正态总体的参数假设检验 设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本， 1. 总体方差2已知时(U检验法） H0:=0(已知); H1:0 1) 提出

15、原假设和备择假设: H0:=0; H1:0, 2) 确定检验统计量: 3) 对给定,由原假设成立时P(|U| u/2)=得 拒绝条件为|U| u/2,其中, 接受域 否定域 否定域 双侧统计检验 例1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N（ 4.55,0.1082），现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484 ，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均 含碳量为4.55？（ =0.05） 对 =0.05，查表可得 =1.96 若H0为真时， 则|U|=| | =1.83 |U|1.96，故接受H0 即可承认现在生产铁水的平均含碳量为4.55 解：H0： =4.55，H1： 4.55 解

16、：H0： =2.6， H1： 2.6 例2、某鸡场用某饲料饲养肉鸡3个月，平均体重2.6千克 ，标准差0.5千克，现改用复合饲料饲养肉鸡64只，3个月 平均体重2.5千克，标准差不变，若肉鸡体重服从正态分 布，问是否可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生 长？（ =0.05） 对 =0.05，查表可得 =1.96 若H0为真时， |U|1.96，故接受H0 可以认为复合饲料和原饲料同样有利于肉鸡生长 H0:0(已知); H1:0 1) 提出原假设和备择假设: H0:0; H1:0, 2) 对统计量:在H0下有 对给定的有 所以 3) 故 拒绝条件为U u,其中, 否定域接受域 P( u) 单

17、侧（右侧）统计检验 例3、书P170例5.24 H0:0(已知); H1: t/2(n-1) 接受域 否定域 否定域 类似可得: 2未知,期望的单侧统计检验 统计检验 H0:0; H1:0的拒绝条件为 T t(n-1) 统计检验 H0:0; H1:0的拒绝条件为 T- t(n-1) 例4.两厂生产同一产品,其质量指标假定都服从正态分布, 标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件产品测得其指 标值为: 119.0, 120.0, 119.2, 119.7,119.6,从乙厂也抽取5件 产品, 测得其指标值为:110.5,106.3,122.2,113.8, 117.2.要根 据这些数据判断这两

18、厂产品是否符合预定规格120?(显著 性水平0.05) 解 设甲厂产品指标服从正态分布 ,乙厂产品指标 服从正态分布 . 和 均未知. 对甲厂进行t检验: 对于 =0.05，查表可得 (4)=2.776 由样本值得 S=0.4 若H0为真时， 2.7952.776，故拒绝H0 即不可认为=120 对乙厂进行t检验: 由样本值得 S=6.1 若H0为真时 2.199 2.776，故接受H0 即可认为=120 例5、已知某一试验，其温度服从正态分布N（， 2）， 现在测量了温度的5个值为：1250，1265，1245，1260， 1275，问是否可认为=1277？（ =0.05） 解：对于H0：=

19、1277 H1：1277 对于 =0.05，查表可得 (4)=2.776 若H0为真时， 3.372.776，故拒绝H0 即不可认为=1277 由样本值得 S2=11.942 二. 方差2的检验 (1) 2的检验（ 未知） 1) 提出原假设和备择假设: H0: 2 = 02; H1: 2 02 2) 选择检验统计量: 3) 给定, X f(x) 接受域 否定域否定域 所以,拒绝条件为 例6、某种导线的电阻服从正态分布N（，0.0052），今 从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得S=0.008 ，对于 =0.05，能否认为这批导线的电阻的标准差为 0.005？ 解：设H0： 2=0.005

20、2，H1： 20.0052 对于 =0.05，查表可得 (8)=17.5 若H0为真时， =20.48 20.4817.5 ， 故否定H0， 即认为这批导线电阻的标准差不等于0.005。 2、某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数据知道云 母片的厚度服从均值为0.13mm的正态分布，在某天生产 的云母片中，随机抽取10片，分别测得其厚度的平均值 0.146mm，标准差为 0.015mm，问该天生产的云母 片的厚度的均值与往日是否有显著差异？（ 0.05） 答案:有差异 1、假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X服从正态分 布N（5.2，0.16），现在随机抽出15根纤维，测得它们的 平均长度 =5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现 在生产的纤维平均长度仍为5.2mm（ =0.05） 答案:可以 认为 3、用过去的铸造方法，零件强度的方差是1.6kg2/mm2， 为了降低成本，改变了铸造方法，测得新方法铸出的9个 零件的强度的方差S2=1.58875，设零件强度服从正态分布 ，取显著性水平 =0.05，问改变方法后，零件强度的方 差是否发生了变化？ 答案:没有