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1、,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率 二 乘 法 定 理 三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,一、条 件 概 率,3条件概率,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则称A在“B已发生”这一附加条件下的 概率为在B发生的下A的条件概率， 简称为在B之下A的条件概率，记为,1）条件概率的定义：,退 出,前一页,后一页,目 录,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反方面的情况,设事件A为“至少有一次为正面朝上”，事件B为“两次掷出同一面”，求已知事件A 已经发生的条件下事件B发生的概率,例 1(1):两台机器加工同一种零件共100个，结果如下 合格
2、品数 次品数 总计 第一台机器加工数 30 5 35 第二台机器加工数 50 15 65 总 计 80 20 100,3条件概率,设A=产品合格 B=第一台机器加工的产品 ,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,练习：全年级有100名学生，男生有80名，女生20名；北京籍的有20名，其中有12名男生，8名女生；如果A =“北京籍的学生” ； B =“男生” （1）试求出P（A）、P(B) 、 P（A/B）、P（ B / A ）、 P（AB），并解释它们的含义。 （2）P（ A / B）和P（AB）、P（ B ）的关系如何 ？,解:(1) P（A）=20/100, P(B) =80/100, P
3、（A/B）=12/80 P（ B / A ）=12/20 , P（AB）=12/100 . (2) P（A/B）=12/80=,注：可以看出，在“事件B已发生” 这附加条件的事件A概率与不附加这个条件的概率是不同的,但有,称为在B已发生的条件下A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,因此，有下面的定义：,退 出,后一页,2）条件概率的性质：,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，B
4、为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（ B / A ）,例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然,在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式; (2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.,二、乘法公式,由条件概率的定义,我们得,这就是两个事件的乘法公式,3条件概率,1）两个事件的乘法公式：,退 出,前一页,后一页,目 录,2）多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,退 出,前一页,后一页,目 录,例
5、：设袋中有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球，且第三、四次取到白球的概率,练习： 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n 次都未取出黑球的概率,则,由乘法公式，我们有,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,例 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二 次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为 9/10 。
6、求透镜落下三次 而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有：,退 出,前一页,后一页,目 录,三、全概率公式和贝叶斯公式,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,1）全 概 率 公 式：,设随机事件,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明：,由条件：,得,而且由,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可加性，得,得,3条件概率,退 出,前一页,后一页,目 录,例 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有
7、率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,解 设B：买到一件次品； A1：买到一件甲厂的产品； A2：买到一件乙厂的产品； A3：买到一件丙厂的产品。,例某小组有20名射手，其中一、二、三、四 级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、 三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标 的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机 选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目 标的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例1.2.5 市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为:甲厂是乙厂
8、的2倍,乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分别为2%,2%,4%,求市场上该种商品的次品率.,(1) 设Ai表示取到第i 个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:,即市场上该种商品的次品率为 2.5%.,解,练习 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件
9、来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。,解 设A表示事件“一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i件次品”，则B0,B1, B2, B3, B4组成样本空间的一个划分，,贝叶斯（Bayes）公式,设随机事件,对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品合格率为98%,而当机器发生故障时,其合格率为55%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品合格时,机器调整得良好的概率是多少?,发报台分别以概率0.7及0.3发出信号“.” 和“-”；由于干扰，当发报台发出“.”信号时，收报台分别以0.89及0.11的概率收到“.”和“-”；而当发报台发出“-”时，收报台分别以0.92及0.08的概率收到“-”和“.” ；求 （1） 当收报台收到“.”信号时，发报台的确发出“.”的概率。 (2)当收报台收到“-”信号时，发报台的确发出“-”的概率。,练习 每箱产品有10件,其中次品数从0到2是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率.,(1) P(B)= P(A0)P(B|A0) +P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2),