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1、第五章 大数定律与中心极限定理,本章主要内容： 1. 大数定律。 2. 中心极限定理。,大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 切比雪夫大数定律（定理5.1）P105； 贝努里大数定律（定理5.2）P106 ； 辛钦大数定律（定理5.3）P107.,大数定律一般形式：,若随机变量序列Xn满足：,则称Xn 服从大数定律.,5.2 切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则 对任意正数，有下面不等式成立,5.3 切比雪夫大数定律,定理5.1,设Xn 相互独立，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.,证明用到切比雪夫不等式.,贝努利大
2、数定律,定理5.2,设 n 是n重贝努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有,辛钦大数定律,定理5.3,若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在E(Xi)=a。则 Xn服从大数定律.,5.4 中心极限定理,正态分布是概率统计中最重要的分布， 其原因在于：,1. 很多随机现象可以用正态分布描述；,2. 很多随机现象可以近似用正态分布描述。,正态分布的来源：误差理论,误差由许多原因引起：,人为的、设备的、环境的、突发的、,X1、 X2、 X3、 X4、,所以总误差=,中心极限定理：什么条件下,的分布可以用正态分布近似？,定理5.4 李雅普诺夫中心极限
3、定理 P108,设 Xn 为独立随机变量序列，数学期望为ai, 方差为 i20，则有,注 意 点,当Xn 为独立同分布时， ai=， i=，则,例 每袋茶叶的净重为随机变量，平均重量为100克， 标准差为10克。一箱内装200袋茶叶，求一箱茶叶的净重大于20500克的概率? P112（6）,解:,设箱中第 i 袋茶叶的净重为 Xi, 则X1 独立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心极限定理得，所求概率为：,= 0.0002,故一箱茶叶的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小),例 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为,求100次射击中命中环数在
4、900环到930环之间的概率.,解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 相互独立同分布，,且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故,二项分布的正态近似,定理5.5 拉普拉斯中心极限定理,设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有,例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中 5 发的概率。,解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 应用正态逼近:,P(X=5) = P(4.5 X 5.5),= 0.1742,例 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%
5、. 随机抽查100户，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率.,解: 设X 表示100户中被盗索赔户数，则,X b(100, 0.2),所求 P(14X30),= 0.927,注 意 点,中心极限定理的应用有三大类：,ii) 已知 n 和概率，求y ；,iii) 已知 y 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 y，求概率；,一、给定 n 和 y，求概率,例： P113 (13),100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)
6、=90，Var(Y)=9.,课堂练习,P113 (8),二、给定 n 和概率，求 y,例：,有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有95%的可能性保证正常生产? P113（10）,解：用,设供电量为y, 则,Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.,二、给定 n 和概率，求 y,例：,有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可有95%的可能性保证正常生产? P113（10）,解：,从中解得,课堂练习,P113 (12),三、给定 y 和概率，求 n,例：,用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？,解：用,根据题意,Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。,又由,可解得,n = 271,习 题 五,第112页 7，8，9，10，11，12，13，14,