电路分析基础第3章 线性电阻电路的基本分析方法和电路定理.ppt

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1、第3章 线性电阻电路的基本分析方法和电路定理,3.1 支路电流法 3.2 节点分析法 3.3 回路分析法 3.4 叠加定理 3.5 置换定理 3.6 戴维南定理与诺顿定理 *3.7 互易定理 3.8 电路的对偶性 习题3,3.1 支 路 电 流 法 支路电流法是以电路中各支路电流为未知量(求解对象)，根据元件的VAR和KCL、KVL约束关系，列写独立的KCL方程和独立的KVL方程，解出各支路电流。如果有必要，则进一步计算其他待求量，如电压或功率等。 现以图3.1-1所示电路为例，说明支路电流法分析电路的全过程。在本电路中，支路数b=3，节点数n=2，网孔数m=2，共要列出3个独立方程。 (1)

2、 选定各支路电流参考方向标示于图中。 (2) 根据KCL建立节点电流方程。 节点a： i1i2i3=0 (3.1-1) 节点b： i1+i2+i3=0 (3.1-2),图3.1-1 支路电流法示意图,(3) 根据KVL，建立回路电压方程。 该电路有三个回路，在列回路电压方程前，先将回路的绕行方向标示于图中。 回路： R1i1+R3i3=us1 (3.1-3) 回路： R2i2R3i3=us2 (3.1-4) 回路： R1i1+R2i2=us1us2 (3.1-5),【例3.1-1】 电路如图3.1-2所示，试求各支路电流。 解 选定各支路电流的参考方向和回路的参考方向，并标示于图中。 该电路中

3、，节点数n=2，网孔数m=2。应用基尔霍夫定律列出一个独立节点电流方程和两个独立回路电压方程如下： I1=I2+I3 2I1+1I3=6 4I21I3=2 解之，得 I1=2 A, I2=0 A, I3=2 A,图3.1-2 例3.1-1用图,3.2 节 点 分 析 法 3.2.1 节点电压 下面以图3.2-1所示的直流电路为例。这个电路中有4个节点、6条支路，标明各支路电流参考方向，如图3.2-1所示。应用基尔霍夫电流定律，对这4个节点建立KCL方程，有： 节点1： i2i1is6=0 节点2： i4+i3i2=0 节点3： i5+is6i3=0 节点4： i1i4i5=0,图3.2-1 节

4、点分析法用图,3.2.2 节点方程 下面以图3.2-1所示电路为例来阐明节点方程的导出。 首先选定参考节点，这里选节点4为参考节点，并标明各支路电流的参考方向，如图3.2-1所示。 然后根据KCL对独立节点1、2、3列写KCL方程(节点电流方程)，设流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，则有 i2i1is6=0 节点1 i4+i3i2=0 节点2 i5+is6i3=0 节点3,(3.2-1),根据欧姆定律，将各支路电流用节点电压表示，即,(3.2-2),将式(3.2-2)代入式(3.2-1)中，得,(3.2-3),式(3.2-3)经移项整理可得,(3.2-4),对于只含独立源和电阻的电路

5、，建立像式(3.2-4)这样的一组节点方程是很容易的。观察式(3.2-4)与对应的电路图3.2-1，可概括得出具有三个独立节点电路的节点方程的一般形式： G11u1+G12u2+G13u3=is11 (3.2-5(a) G21u1+G22u2+G23u3=is22 (3.2-5(b) G31u1+G32u2+G33u3=is33 (3.2-5(c),【例3.2-1】 电路如图3.2-2所示，求各支路电流。,图3.2-2 例3.2-1用图,解 (1) 选参考节点，设节点电压。 该电路有两个节点，选其中一个为参考节点(本例选节点2为参考节点)，标以接地符号“”，如图所示。设节点1的节点电压为u1。

6、 (2) 按节点方程的一般形式列写节点方程。 通常用节点分析法建立节点方程时，可以先算出各独立节点的自电导、互电导以及流入节点的电流源电流的代数和，再代入节点方程的一般形式中，从而写出节点方程。另外，若电路中有理想电压源串联电阻的支路，则利用实际电源的等效变换，将实际电压源模型等效为实际电流源模型。本例电路只有一个独立节点，故仅需对节点1列写节点方程：,将上述数据代入式(3.2-5)(节点方程的一般形式)，得节点方程为 1.5103 u1=1.5103 (3) 解方程求出节点电压。 解上述方程得 u1=1 V,(4) 由求得的节点电压，根据支路的特性方程，求出各支路电流。,【例3.2-2】 电

7、路如图3.2-3所示，用节点分析法求电流i和电压源产生的功率。,图3.2-3 例3.2-2用图,解 本题电路有三个节点，选其中一个节点为参考节点，其余两个节点为独立节点，标示于图中。独立节点1和节点2的节点电压分别为u1和u2。节点方程如下： 节点1： 节点2： 解之，得 u1=9 V u2=8 V,接下来由求得的节点电压，求解电流i和电压源产生的功率。电流为 设流过4 V电压源支路的电流为i1，参考方向标示于图中，则4 V电压源的功率为 即4 V电压源产生的功率为8 W。,3.2.3 特殊电路节点方程的处理方法 1. 含理想电压源电路的节点方程 【例3.2-3】 电路如图3.2-4所示，试列

8、写其节点方程。,图3.2-4 例3.2-3用图,解 本题电路中含有一个理想电压源支路。 (1) 若原电路没有指定参考节点，则可采用如下处理方法：选理想电压源的一端作为参考节点，例如本题选节点4为参考节点，这样u2=us1，于是无需再对节点2列节点方程，即减少了一个节点方程的列写。本题所列的节点方程如下： 节点1： (G1+G2)u1G2u2=is2 节点2：u2=us1 节点3：G3u2+(G3+G4)u3=is2,(2) 若原电路的参考节点已给定，且不是理想电压源的端节点，这种情况下的处理方法为：设流过理想电压源支路的电流为is1(这是因为节点方程是根据KCL列写的)，在列写节点方程时，理想

9、电压源支路可当作理想电流源is1对待，这样还需要增加一个补充方程，即理想电压源电压与节点电压相联系的方程。例3.2-4说明了该处理方法。,【例3.2-4】 电路如图3.2-5所示，试列写其节点方程。,图3.2-5 例3.2-4用图,解 此电路含有两个理想电压源支路，而且它们的一端并不接到一个共同节点上，因此不可能使两个理想电压源的某一端都同时接地(为参考节点)。对于这类问题可采用如下处理方法： (1) 选取其中一个理想电压源的一端作为参考节点。例如，本题选节点4为参考节点，这样u2=us1，从而减少了对节点2列写节点方程。 (2) 设流过另一个理想电压源的电流为is2，参考方向标示于图中(因节

10、点方程是依据KCL列写的节点电流方程，所有与该节点相连的每一支路电流都必须计算在内)，并增列一个补充方程，即理想电压源电压与节点电压相联系的方程。 本题us2=u1u3。,对本题所示电路列节点方程和补充方程如下： 节点1：(G1+G2)u1G2u2=is2 节点2：u2=us1 节点3：G3u2+(G3+G4)u3=is2 补充方程：us2=u1u3,2. 含受控源电路的节点方程 对含受控源的电路列写节点方程时，可先将受控源按独立源处理，写出节点方程。所不同的是，因多了一个未知量(受控源的控制量)，故需增列一个补充方程，即将受控源的控制量用节点电压表示的方程。 【例3.2-5】 电路如图3.2

11、-6所示，求电流i。 解 本题电路含有两个节点，选节点2为参考节点，标于图中。此电路含有受控源，将受控源暂时看做独立源，列写节点方程如下：,图3.2-6 例3.2-5用图,节点1： 上式方程有两个未知量，需再列一个补充方程，将控制量i用节点电压表示： 联立求解上述两个方程，得 u1=13 V i=1 A,【例 3.2-6】 试用节点分析法求解图3.2-7所示电路中受控电流源的端电压u。,图3.2-7 例3.2-6用图,解 本题电路含有一个理想电压源支路，故选取理想电压源的一端(节点3)为参考节点。此电路含有受控源，按上例所述方法列写节点方程和补充方程： 节点1： (2+3)u13u2=3+10

12、i1 节点2： u2=5 补充方程： i1=2u1 解上方程组，可得 u2=5 V,于是有 【例3.2-7】 电路如图3.2-8所示，试用节点分析法求节点电压u1、 u2和u3(参考节点已指定)。,图3.2-8 例3.2-7用图,解 原电路已指定了参考节点，就不能另选参考节点。这种情况下，需设流过理想电压源支路的电流为is，参考方向示于图中。列写节点方程和补充方程如下： 节点1： (4+4)u14u3=is 节点2： is+2i=8 节点3： 4u1+(4+4)u3=2i 补充方程： u1u2=2 i=4u1 解上述方程组，可得,【例3.2-8】 电路如图3.2-9所示，试用节点分析法求支路电

13、流i和受控电流源端电压u。,图3.2-9 例3.2-8用图,解 本题电路含有一个理想电压源，选取理想电压源的一端(节点4)为参考节点，按前几例所述的处理方法列写节点方程和补充方程。只是这里要注意，在列写节点方程之前，需对电路进行等效化简，即与理想电压源并联的元件或单口电路，对端口以外的电路而言，都是多余的，可予以断开；与理想电流源串联的元件或单口电路，对端口以外的电路而言，都是多余的，可予以短接。所以，在列写节点方程时，与受控电流源串联的1 电阻不应考虑。 节点1：u1=12 节点2：,节点3： 补充方程： 解方程组，可得 u1=12 V, u2=9 V, u3=10 V, i=1 A 求受控

14、电流源端电压u时，因分析涉及到等效化简的单口电路内部，故需将被短接的1 电阻恢复。由原电路可求得 u=u3+13i=u3+3i=10+31=13 V,3.3 回 路 分 析 法 与节点分析法一样，回路分析法同样是分析和计算线性电路的一种重要方法。节点分析法是以一组完备的独立节点电压为变量来建立电路方程的，而回路分析法是以一组完备的独立回路电流为变量来建立电路方程的，其目的均是减少联立求解电路方程的个数。 3.3.1 回路电流 下面以图3.3-1所示的电路为例介绍回路电流。,图3.3-1 回路分析法用图,3.3.2 回路方程 本节以图3.3-1所示的电路为例来阐明回路方程的导出。首先选定独立回路

15、，并标明各回路电流的参考方向，如图3.3-1所示。然后根据KVL对三个独立回路列写KVL方程(回路电压方程)，可得： 回路iA： R1iA+R4(iAiC)+R2(iAiB)=us2+us1 回路iB： R2(iBiA)+R5(iBiC)+R3iB=us2 回路iC： R6iC+R5(iCiB)+R4(iCiA)=0,经整理得,(3.3-1),观察式(3.3-1)与对应的电路图3.3-1，可概括得出具有三个独立回路电路的回路方程的一般形式：,(3.3-2),【例3.3-1】 电路如图3.3-2 所示，试列写其回路方程，并求各支路电流。,图3.3-2 例3.3-1用图,解 (1) 确定独立回路数

16、，选定回路电流方向。 本题电路有两个网孔，选网孔为独立回路，且设网孔电流的方向一律为顺时针方向，如图3.3-2所示。 (2) 对独立回路按回路方程的一般形式列写回路方程。 回路iA： (2+1)iA1iB=2 回路iB： 1iA+(3+1)iB=3 整理有 3iAiB=2 iA+4iB=3,(3) 解方程得各回路电流。解上述方程组，得 (4) 由回路电流求解各支路电流。 各支路电流为,【例3.3-2】 电路如图3.3-3所示，试列写其回路方程。,图3.3-3 例3.3-2用图,解 该电路有三个网孔，按与例3.3-1相同的方式，选网孔为独立回路，且选取网孔电流的方向一律为顺时针方向，如图3.3-

17、3所示，列写回路方程如下： 回路iA： (2+3)iA2iC=6 回路iB： (1+2)iB1iC=6 回路iC： 2iAiB+(1+1+2)iC=2 整理有,3.3.3 特殊电路回路方程的处理方法 1含理想电流源电路的回路方程 【例3.3-3】 电路如图3.3-4所示，试列写其回路方程。,图3.3-4 例3.3-3用图(一),解法一：选理想电流源支路单独属于某一独立回路，即只有一个回路电流流过理想电流源支路。本题选回路电流iA流过理想电流源支路，如图3.3-4所示，则 iA=is 所以只需列出回路iB和回路iC的回路方程。本题电路的回路方程列写如下： 回路iA： iA=is 回路iB： R2

18、iA+(R2+R4)iBR4iC=us 回路iC： (R1+R2)iA(R2+R4)iB+(R1+R3+R4+R2)iC=0,解法二： 假设理想电流源的端电压为u0，选网孔为独立回路，网孔电流的方向均为顺时针方向，如图3.3-5所示。在列写回路方程时，理想电流源可当作理想电压源u0对待，并需增加一个补充方程，即理想电流源与回路电流相联系的方程。按这种处理方法列回路方程如下： 回路iA：(R1+R2)iAR2iB=u0 回路iB：R2iA+(R2+R4)iBR4iC=us 回路iC：R4iB+(R3+R4)iC=u0 补充方程：is=iAiC,图3.3-5 例3.3-3用图(二),【例3.3-4

19、】 试用回路分析法求图3.3-6所示电路中各未知支路电流。,图3.3-6 例3.3-4用图,解 本题电路有三个网孔，自然有三个回路电流。因电路含有理想电流源支路，故选理想电流源支路单独属于某一独立回路，即只有一个回路电流iC流过理想电流源支路。设各回路电流方向如图3.3-6所示，列回路方程如下： 回路iA： (3+2)iA2iB=12 回路iB： 2iA+(2+1+2)iB+2iC=0 回路iC： iC=2 解方程组，得 iA=3.24 A, iB=2.1 A， iC=2 A,最后按图中各支路电流参考方向，求出各支路电流如下： i1=iA=3.24 A i2=iB=2.1 A i3=iAiB=

20、3.242.1=1.14 A i4=iB+iC=2.1+(2)=0.1 A,2含受控源电路的回路方程 对含受控源的电路列写回路方程时，可先将受控源暂时看做独立源列出回路方程，并增列一个补充方程，将受控源的控制量用回路电流来表示。 【例3.3-5】 电路如图3.3-7所示，试用回路分析法求受控源的功率。,图3.3-7 例3.3-5用图,解 本题电路有两个网孔，选网孔为独立回路，网孔电流方向如图3.3-7所示。此电路含有受控源，按上述处理方法列写回路方程和补充方程如下： 回路iA： (10+2)iA2iB=8i+6 回路iB： 2iA+(4+2)iB=4+8i 补充方程： i=iB 解方程组，得

21、iA=1 A, iB=3 A 受控源的功率为 P=8i(iAiB)=83(13)=96 W,【例3.3-6】 电路如图3.3-8所示，试用回路分析法求电压u1。,图3.3-8 例3.3-6用图,解 本题电路有三个网孔，选网孔为独立回路，网孔电流方向标示于图3.3-8中。网孔方程如下： 回路iA：(1+1)iA1iB1iC=2u 回路iB：1iA+(1+1+2)iB2iC=0 回路iC：1iA2iB+(1+1+2)iC=5 受控源的控制量u为未知量，要解上述方程组，需再补充一个方程，即将控制量u用网孔电流来表示： u=2(iBiC) 将此式代入网孔方程，解得,于是有 【例3.3-7】 电路如图3

22、.3-9所示，试用回路分析法求电压u。,图3.3-9 例3.3-7用图,解 此电路有三个网孔，自然有三个独立回路。因电路含有理想电流源和受控电流源支路，故选回路电流时使两个电流源支路分别仅有一个回路电流流过，如图3.3-9所示。列回路方程如下： 回路iA：iA=15 回路iB：2iA+(1+2+3)iB3iC=0 回路iC：,再补充一个将控制量u用回路电流表示的方程： u=3(iCiB) 将此式代入回路方程，解得 iA=15 A, iB=4 A, iC=2 A 于是有 u=3(iCiB)=3(2+4)=18 V,【例3.3-8】 试用回路分析法求图3.3-10所示电路中的电流i。,图3.3-1

23、0 例3.3-8用图,解 本题电路有三个网孔，需列三个独立回路方程。因电路含有理想电流源和受控电流源支路，故处理方法同例3.3-7。选回路电流如图3.3-10所示，列回路方程和补充方程如下： 回路iA：(4+2+1)iA+(2+1)iB1iC=2+2 回路iB：iB=2i 回路iC：iC=1 补充方程：i=iA+iBiC 联立求解以上方程组，得 i=10 A,3.4 叠加定理 由线性元件和独立源组成的电路为线性电路。叠加定理是线性电路固有性质的反映。独立源是电路的输入，对电路起着激励的作用，电路中其他元件的电流、电压则是激励所引起的响应。在一个线性电路中，任何一处的响应与引起响应的激励之间存在

24、着线性关系，叠加定理则是这一线性规律向多激励源作用的线性电路引申的结果。 例如，图3.4-1所示为一单输入(激励)的线性电路，输入激励为独立电压源us，若以流过电阻R2的电流i2为输出(响应)，则,图3.4-1 单输入线性电路,由于R1、R2和R3为线性电阻元件(电阻值为常数)，因此上式可表示为如下线性关系： i2=aus (3.4-1),又如，图3.4-2所示为双输入线性电路，含有两个独立源(一个独立电压源us和一个独立电流源is)，以流过电阻R2的电流i2为输出。应用节点分析法，选节点2为参考节点，列节点方程为 又因 故由上面两式可解得,(3.4-2),图3.4-2 双输入线性电路,由上式

25、可看到，i2由两项组成，第一项与独立电压源us有关，第二项与独立电流源is有关。我们不难算出，式中的第一项是在us单独作用下(此时，is=0，视为开路)R2上的电流(见图3.4-3(a)，这一项与激励us成比例；第二项是在is单独作用下(此时，us=0，视为短路)R2上的电流(见图3.4-3(b)，这一项与激励is成比例。也就是说，由两个激励所产生的响应可表示为每一激励单独作用时所产生的响应之和。这一性质在电路理论中称为“叠加性”(superposition)。响应与激励之间的这种线性关系，对任何具有唯一解的线性电路都存在。,图3.4-3 说明叠加定理用图,【例3.4-1】 电路如图3.4-4

26、(a)所示，试用叠加定理求电流I。,图3.4-4 例3.4-1用图,解 (1) 8 V电压源单独作用时，其电路如图(b)所示，此时3 A电流源作零值处理(开路)。将图(b)等效化简为图(c)，由电阻分流公式得 (2) 3 A电流源单独作用时，其电路如图(d)所示，此时8 V电压源作零值处理(短路)。将图(d)等效化简为图(e)，由电阻分流公式得 (3) 根据叠加定理，将两响应分量叠加，得 I=I+I=0.5+1.5=1 A,【例3.4-2】 电路如图3.4-5(a)所示，用叠加定理求电流I。,图3.4-5 例3.4-2用图,解 对受控源电路运用叠加定理时，受控源和电阻一样，应该始终保留在电路中

27、。 10 V电压源单独作用时, 如图3.4-5(b)所示, 此时3 A电流源作零值处理(开路)。这是一个单回路电路, 列KVL方程为 (2+1)I+2I=10 解得 I=2 A 3 A电流源单独作用时，如图3.4-5(c)所示，此时10 V电压源作零值处理(短路)。沿所选回路方向，列KVL方程 2I+1(I+3)+2I=0,解得 I=0.6 A 最后，将两响应分量叠加得 I=I+I=20.6=1.4 A 【例3.4-3】 图3.4-6所示为一线性电阻网络NR。当Is1=8 A，Is2=12 A时，U为80 V；当Is1=8 A，Is2=4 A时，U为0。当Is1=Is2=20 A时，U为多少？

28、,图3.4-6 例3.4-3用图,解 本题电路为线性电路，运用线性电路的两个性质齐次性和叠加性，有 U=k1Is1+k2Is2 将已知数据代入上式，得 80=8k1+12k2 0=8k1+4k2 解方程组得 k1=2.5, k2=5 于是，当Is1=Is2=20 A时，有 U=k1Is1+k2Is2=2.520+520=150 V,3.5 置换定理 在具有唯一解的线性或非线性电路中，若已知某一支路的电压uk或电流ik，则可用一个电压为uk的理想电压源或电流为ik的理想电流源来置换这条支路，对电路中其余各支路的电压和电流不产生影响，这就是置换定理，也叫替代定理。 这一定理可以证明如下： 在电路中

29、任取一条支路，端点为a、b，已知其端电压为uk，流过该支路的电流为ik，如图3.5-1(a)所示。,图3.5-1 置换定理证明示意图(一),图3.5-2 置换定理证明示意图(二),同理也可以证明，ab支路可以用理想电流源来置换，其过程如图3.5-2所示。,【例3.5-1】 电路如图3.5-3(a)所示，已知U=1.5 V，试用置换定理求电压U1。,图3.5-3 例3.5-1用图,解 设流过3 的电流为I，参考方向示于图3.5-3(a)中。由于 U=1.5 V, R=3 因此 根据置换定理，虚线左边的单口电路可用0.5 A的理想电流源替代，如图3.5-3(b)所示，由并联电阻分流关系和欧姆定律可

30、得,【例3.5-2】 电路如图3.5-4(a)所示，已知a、b两点间的电压Uab=0，求电阻R。,图3.5-4 例3.5-2用图,解 本题有一个未知电阻R，直接运用节点分析法或回路分析法求解比较麻烦，因为未知电阻R在所列方程的系数部分，整理化简方程的工作量比较大。对本题，我们可采用以下方法来分析求解。 首先根据已知条件Uab=0，求得ab支路电流I。 设流过ab支路的电流为I，参考方向标于图3.5-4(a)中。 因为 Uab=3I+3=0 所以 I=1 A,3.6 戴维南定理与诺顿定理 1. 戴维南定理 戴维南定理可表述为：任一线性含源单口电路N，就其端口来看，可等效为一个理想电压源串联电阻支

31、路(见图3.6-1(a)。 理想电压源的电压等于含源单口电路N端口的开路电压uoc(见图3.6-1(b)；串联电阻R0等于该电路N中所有独立源为零值时所得电路N0的等效电阻(见图3.6-1(c)。,图3.6-1 戴维南定理示意图,由戴维南定理求得的这一理想电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路。 戴维南定理可用置换定理和叠加定理来证明。 电路如图3.6-2(a)所示，N为线性含源单口电路，M为外接电路，可为线性或非线性电路。设含源单口电路N的端口电压为u，电流为i。根据置换定理，将外电路M用一理想电流源置换，这个理想电流源的电流is=i，如图3.6-2(b)。,图3.6-2 戴维南定理证明用图,

32、【例3.6-1】 试用戴维南定理求图3.6-3所示电路中的电流I。,图3.6-3 例3.6-1用图(一),解 将待求电流所经支路移走，余下电路是一个含源单口电路，求其戴维南等效电路。 (1) 求端口开路电压Uoc。作对应电路如图3.6-4(a)所示。该电路含一个独立节点，选节点2为参考节点，列节点方程为 解得 U1=1.5 V 于是端口开路电压 Uoc=U12.251032103=1.52.252=3 V,(2) 求等效电阻R0。令含源单口电路中的所有独立源为零值，即理想电压源短路，理想电流源开路，电路变为如图3.6-4(b)所示。应用电阻串、并联公式得 (3) 作含源单口电路的戴维南等效电路

33、，接入待求电流支路，电路如图3.6-4(c)所示。由图(c)可得：,图3.6-4 例3.6-1用图(二),等效电阻R0的计算，可分为以下两种情况： (1) 含源单口电路N内部不含受控源时，令N内所有的独立源为零，得到一仅由电阻元件组成的无源单口电路，等效电阻R0一般可用电阻的串、并联等效化简公式求得，必要时也可用Y-等效转换。 (2) 含源单口电路N内部含有受控源时，一般采用下面两种方法来计算R0： 外加激励法。令含源单口电路N内所有的独立源为零，并在单口电路的端口施加一源电压u，产生端口电流i，由电路列写出端口的VAR，则等效电阻为, 开路、短路法。与外加激励法不同，开路、短路法是对含源单口

34、电路N进行的，即分别求出含源单口电路N端口的开路电压uoc和端口的短路电流isc，由图3.6-5，有,(3.6-2),(3.6-1),图3.6-5 开路、短路法说明图,【例3.6-2】 电路如图3.6-6所示，应用戴维南定理求电压U。,图3.6-6 例3.6-2用图(一),解 将待求支路移去，求余下含源单口电路的戴维南等效电路。此题含有受控源，在移去待求支路时，控制量一定要与其受控源在同一电路中。 (1) 求端口开路电压Uoc。作对应电路如图3.6-7(a)所示，则 Uoc=0.3Uoc3+5 解得 Uoc=50 V,图3.6-7 例3.6-2用图(二),(2) 求等效电阻R0。因含源单口电路

35、含受控源，故本题采用外加激励法求R0。令含源单口电路内部独立源为零，在端口施加一源电压U，求端口电流I，找出端口的VAR式。作对应电路如图3.6-7(b)所示，将图(b)等效变换为图(c)，沿端口所在回路列KVL方程 U=(2+3)I+0.9U 即 0.1U=5I 所以,(3) 最后作戴维南等效电路，将待求支路接入，电路如图3.6-7(d)所示。由图(d)可得,【例3.6-3】 试用戴维南定理求图3.6-8所示的桥式电路中流过5 电阻的电流I。,图3.6-8 例3.6-3用图(一),解 将待求支路移去，求余下含源单口电路的戴维南等效电路。 (1) 求端口开路电压Uoc。作对应电路如图3.6-9

36、(a)所示。由电阻分压公式，得,图3.6-9 例3.6-3用图(二),(2) 求等效电阻R0。令含源单口电路中的独立源为零，得图3.6-9(b)，有 (3) 作戴维南等效电路，将待求支路接入，电路如图3.6-9(c)所示。由图(c)可得：,2. 诺顿定理 诺顿定理可表述为：任一线性含源单口电路N，就其端口来看，可等效为一个理想电流源并联电阻组合(见图3.6-10(a)。理想电流源的电流等于含源单口电路N端口的短路电流isc(见图3.6-10(b)；并联电阻R0等于该电路N中所有独立源为零值时所得电路N0的等效电阻(见图3.6-10(c)。 诺顿定理的内容可用图3.6-10表示。,图3.6-10

37、 诺顿定理示意图,【 例3.6-4】 电路如图3.6-11所示，试用诺顿定理求电流I。 解 将待求支路移去，余下含源单口电路作诺顿等效电路。 (1) 求端口短路电流Isc。作对应电路如图3.6-12(a)所示。 将图(a)等效变换为图(b)。由图(b)可知，流过3 和6 电阻的电流为零，断开两电阻支路，于是有 Isc=2+2=4 A,图3.6-11 例3.6-4用图(一),图3.6-12 例3.6-4用图(二),(2) 求等效电阻R0。令含源单口电路内所有的独立源为零，得图3.6-12(c)，有 (3) 作诺顿等效电路，接入待求支路，电路如图3.6-12(d)所示。 由并联电阻分流公式得,【例

38、3.6-5】 电路如图3.6-13所示，试用诺顿定理求电压U。,图3.6-13 例3.6-5用图(一),解 将待求支路移去，余下含源单口电路作诺顿等效电路。 (1) 求端口短路电流Isc。作对应电路如图3.6-14(a)所示。将图(a)等效变换为图(b)。由图(b)可知，流过两个2 电阻的电流为零，断开两电阻支路，有 Isc=I1+4I1=5I1=56=30 A,图3.6-14 例3.6-5用图(二),(2) 求等效电阻R0。此电路含有受控源，本题采用开路、短路法求R0。端口短路电流Isc=30 A已求得，现在求端口开路电压Uoc。作对应电路如图3.6-14(c)所示。该电路含一个独立节点，选

39、节点2为参考节点，应用节点分析法列节点方程 再增列一补充方程，将控制量I1用节点电压表示为,解上述方程组，得 U1=10 V 即 Uoc=U1=10 V 于是,(3) 作诺顿等效电路，接入待求支路，如图3.6-14(d)所示。将图(d)等效变换为图(e)。对图(e)，列KVL方程 解得 I=7.5 A 所以有 U=1I=7.5 A,* 3.7 互易定理 互易定理反映了线性电路的一个重要性质互易性。简略地说，就是一个具有互易性质的电路，当输入(激励)端与输出(响应)端互换后，其响应与激励的比值不变。线性电路的互易性质广泛应用于系统分析、设计和测量技术等方面。 下面我们用一个实际电路来说明互易性的

40、概念。 电路如图3.7-1(a)所示，激励为4 V理想电压源，在6 支路中串入一内阻为零的理想电流表，用于测6 支路的电流，即电路的响应。,图3.7-1 互易性举例用图,互易定理有以下三种表述形式： (1) 在图3.7-2(a)所示电路中，在端口ab施加一电压源激励us1，以另一端口cd的短路电流i2作为响应，将电压源激励us2加在端口cd，以端口ab的短路电流i1作为响应(见图3.7-2(b)，则有 若us1=us2，则 i1=i2 (3.7-2),(3.7-1),图3.7-2 互易定理的第一种表述形式,(2) 在图3.7-3(a)所示的电路中，在端口ab施加一电流源激励is1，以另一端口c

41、d的开路电压u2作为响应; 若将电流源激励is2加在端口cd，以端口ab的开路电压u1作为响应(见图3.7-3(b)，则有 若is1=is2，则 u1=u2 (3.7-4),(3.7-3),图3.7-3 互易定理的第二种表述形式,(3) 在图3.7-4(a)所示的电路中，在端口ab施加一电流源激励is1，以另一端口cd的短路电流i2作为响应，将一电压源激励us2加在端口cd，以端口ab的开路电压u1作为响应(见图3.7-4(b)，则有 若在数值上us2=is1，则 u1=i2 (3.7-6),(3.7-5),图3.7-4 互易定理的第三种表述形式,【例3.7-1】 电路如图3.7-5(a)所示

42、，已知当电流源电流Is=1 A时，测得开路电压U2=1 V。求图(b)电流源互易后，2 电阻的电流I。 解 这是一个互易双口电路，若求图(b)中2 电阻的电流I，则需求出其端电压。根据互易定理的第二种形式，有,图3.7-5 例3.7-1用图,【例3.7-2】 图3.7-6(a)所示的互易电路中，激励为电流源Is，测得I1=0.6Is， I1=0.3Is。若把电路改接为图(b)后，测得I2=0.2Is，I2=0.5Is。试用互易定理求电阻R1。,图3.7-6 例3.7-2用图,解 这是一个互易双口电路，要求R1的阻值，需求出其端电压和端电流。题目已给出R1的端电流是I2=0.2Is，现在需求R1

43、的端电压。 由图(a)可知，端口cd的开路电压 Ucd(a)=10I1=100.3Is=3Is 因激励源为电流源Is，故应用互易定理的第二种形式，得图(b)中端口ab的开路电压 Uab(b)=Ucd(a)=3Is 于是,【例3.7-3】 图3.7-7(a)所示的互易电路中，激励电流源电流Is=2 A，测得Uab=10 V，Ucd=10 V。若将电路改接为图(b)，求流过5 电阻的电流I。,图3.7-7 例3.7-3用图,解 对于图(b)，先把待求的5 电阻支路移去，应用戴维南定理作余下电路(见图3.7-7(c)的戴维南等效电路。根据互易定理的第二种表述形式，由图(a)得图(c)中端口ab的开路

44、电压 Uoc(c)=Ucd(a)=10 V 求等效电阻R0。令图(c)中的独立源为零，得图(d)。图(d)与图(a)对照有 作图(c)的戴维南等效电路，接入待求的5 电阻支路，得图(e)。由图(e)可得,3.8 电路的对偶性 电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，认识到电路的对偶性有助于掌握电路的规律，由此及彼，举一反三。 表3.8-1列出了电路的一部分对偶关系，仅供参考使用。,表3.8-1 对偶关系,习 题 3 3-1 试用支路电流法求题3-1图所示电路中的各支路电流I1、I2和I3。,题3-1图,3-2 用支路电流法求题3-2图所示电路中的电流i。,题3-2图,3-3 试列出题3-3图所示电

45、路的支路电流方程，并计算各支路电流。,题3-3图,3-4 用节点分析法求题3-4图所示电路中的节点电压u1和u2。,题3-4图,3-5 用节点分析法求题3-5图所示电路中的节点电压u1、u2和u3。,题3-5图,3-6 试用节点分析法求题3-6图所示电路中a、b两节点间的电压uab，并求两电源发出的功率。,题3-6图,3-7 用节点分析法求题3-7图所示电路中的电压u和电流i。,题3-7图,3-8 用节点分析法求题3-8图所示电路中的电流i。,题3-8图,3-9 试列出题3-9图所示各电路的节点方程，并整理之。,题3-9图,3-10 试用节点分析法求解题3-10图所示电路中的电压U1。,题3-

46、10图,3-11 试用节点分析法求题3-11图所示电路中的电流i及电压u。,题3-11图,3-12 电路如题3-12图所示，试用回路分析法求流过5 电阻的电流。,题3-12图,3-13 用回路分析法求题3-13图所示电路中的电流i。,题3-13图,3-14 试按题3-14图所示的回路电流方向，列写各电路的回路电压方程。,题3-14图,3-15 试用回路分析法证明题3-15图所示的惠斯登电桥电路中，使Ig=0的平衡条件是R1R4=R2R3。,题3-15图,3-16 电路如题3-16图所示，试用回路分析法计算电路中的电流I。,题3-16图,3-17 电路如题3-17图所示，试用回路分析法求电流I，

47、并求受控源提供的功率。,题3-17图,3-18 试用回路分析法求题3-18图所示电路中a、b两点间的电压uab。,题3-18图,3-19 试用叠加定理求题3-19图所示电路中的电压u。,题3-19图,3-20 试用叠加定理求题3-20图所示电路中6 电阻的电流。,题3-20图,3-21 试用叠加定理求题3-21图所示电路中的电流I。,题3-21图,3-22 电路如题3-22图所示，用叠加定理求电流i。,题3-22图,3-23 题3-23图所示的线性网络NR中只含电阻。已知当us=8 V，Is=12 A时，电压u为40 V；当us=4 V ，Is=2 A时，电压u为20 V。当us=12 V，Is=10 A时，电压u为多少？,题3-23图,3-24 题3-24图所示为线性网络N。已知当Is1=1 A，Is2 =2 A时，I3=0.6 A；当Is1=2 A，Is2=1 A时，I3=0.7 A；当Is1=2 A，Is2=2 A时，I3=0.9 A。试求当Is1=3 A，I3=1.6 A时Is2的值。,题3-24图,3-25 电路