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1、3.7 函数单调性的概念,一，我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。,定义 设函数 f(x)在区间（a，b）上有定义，如果对于区间（a，b）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足 （1）当 x1 x2 时，恒有 f(x1) f(x2),则称函数 f(x)在开区间（a，b）内单调增；,（2）当 x1 f(x2),则称函数 f(x)在开区间（a，b）内单调减；,1.一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线。,2.如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一些子区间上是单
2、调减的，则称函数为分段单调函数。,例 .求 y=f(x)=X2-4X+3的增区间和减区间？,方法一。此函数为二次函数，画出其图象，,找出对称轴，x=2,可知，当x2时，为增函数；当x2时为减函数。所以其增区间为(2, + ),其减区间为(- ，2),方法二，考虑到y=f(x)=X2-4X+3曲线的切线的斜率就是函数的导数，由图象可以看到： 在(2, + )区间内，切线的斜率为正，即 f (x) 0， y=f(x)为增函数；在(- ，2)区间内，切线的斜率为负，即f (x)0 ， y=f(x)为增函数。,设函数y=f(x)在某个区间可导，,如果f (x) 0 ，则f(x)为增函数；,如果f (x
3、)0 ，则f(x)为增函数，,如果在某个区间内恒有f (x) =0， f (x)则为常数,例1 求 f(x)=X2-2X+4的增区间和减区间？,解： f (x)=2x-2,令2x-2 0,解的x1，因此，当x（1 ,+ ）时 ，是增函数,再令2x-2 0,解的x1，因此，当x（-，1）时 ，是函减数,如图,例 2 确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间。,解：该函数的定义域为（-，），由于,f (x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),当 x（-，1)时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为单调增加。,当 x(1，2)时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在该区间内为单调减少。,当 x（2，）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为单调增加。,例 3 证明方程 sin x = x 只有一个实根。,证明：令f(x)= sin x -x，则f (x) = cos x -1 0,且仅在点 x =2n时，有f (x)=0。,从而，当 x（-， ）时，函数 f(x)为严格单调减少。又由于在 x - 时, f(x) +;而在 x+ 时, f(x) -。,因此，函数f(x) 有且仅有一个零点。 即证明了方程 sin x = x 只有一个实根。它就是 x=0。,