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1、313 空间向量运算的坐标表示,1了解空间向量基本定理、意义及其表示,2理解空间向量的正交分解、长度公式、夹角公式和空间,两点间距离公式,3掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底 表示其他向量能用向量的坐标运算解决简单几何体中的问题,4.预习并自主完成书上例题。,1设 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任 一向量 p，存在一个_，使得_， 我们称_为向量 p 在 i，j，k 上的分向量,2空间向量基本定理,如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，,存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p_.,有序实数组(x，y，z),pxiyjzk,xi，yj，z
2、k,xa+yb+zc,3如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间向量所组 成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR这个集合可看 作是由 a，b，c 生成的，我们把_叫做空间的一个 基底 ，_ 都叫做基向量 空间任何_ 都可构成空间的一个基底,4设 e1，e2，e3 为有公共起点 O 的三个两两相互垂直的单,位向量，称它们为_,a，b，c,a，b，c,三个不共面的向量,单位正交基底,5在空间选定一个单位正交基底e1，e2，e3 ，以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为_，分别以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的_建立空间直角坐标系 Oxyz.那么对于空间任意一
3、个 向量 p ，一定可以把它平行移动，使它的起点_， 得到一个向量_由空间向量分解定理可知，存在有序实 数组x，y，z，使得_我们把_称作向 量p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作_,原点,正方向,与原点O重合,pxe1ye2ze3,x，y，z,p(x，y，z),设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a3i 2jk，b2i4j2k，则向量 a，b 的坐标分别是_，,_.,(3,2,1),(2,4,2),6一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有,向线段的_,7设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab_； ab_；,a_；ab_； ab_； ab_
4、.,终点坐标减去始点坐标,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3(R),a1b1a2b2a3b30,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,思考：当 及 时， 的夹角在什么范围内？,题型1 空间向量的坐标运算,例1：已知 a(2，1，2)，b(0，1,4)，求 ab；,ab；ab；(2a)(b)；(ab)(ab),自主解答：ab(20，11，24)(2,2,2)； ab(20，11，24)(2,0,6)； ab20(1)(1)(2)
5、47； (2a)(b)2(ab)2(7)14；,(ab)(ab)22(2)02(6)8.,思维突破：计算时注意运算法则和公式的灵活应用,例2 已知 、 ，求： （1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,（2）到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。,解：点 到 的距离相等，则,化简整理，得,即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是,并求MN，DC的坐标,题型2 坐标表示空间向量,例2：已知 PA 垂直于边长为 1 的正方形 ABCD 所在的平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA AD.建立直角坐标系, ,思维突破：空间直角坐标系建立的关键
6、是寻找三条两两互,相垂直的直线,例3 如图，在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,(2)求cosBA1，CB1的值,题型3 空间向量的夹角、距离公式的应用,例3：已知如图 3110，在直三棱柱 ABCA1B1C1 的底 面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，点 N 是 A1A 的中点,(1)求 BN 的长；, ,图 3110,【变式与拓展】 3已知 a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值,是(,),C,课堂小结：,1.基本知识：,（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；,（2）两个向量的夹角公式。,2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。,