微分方程和差分方程简介精简版.ppt

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1、三、利用Matlab求微分方程的解析解,结 果：u = tg(t-c),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin（5x）,解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c

2、1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,返 回,四、微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,返 回,（二）建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉法。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合

3、使用：,此即改进的欧拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔（Runge Kutta）法、线性多步法等方法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。,k越大，则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,返 回,（三）可以用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型),传染病模型

4、,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染

5、病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)可以看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相

6、轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,五、 微分方程稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的 变化趋势 是什么？,微分方程模型中 , 方程 ( 组 ) + 初始条件 解,初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的

7、解，换言之，对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 .,问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的 , 还是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ” ?,（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义,有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ;,有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。,也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远

8、来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。,的 平衡点 是指代数方程,的根 （可

9、能不止一个根） ；,的 平衡点 是 指代数方程组,的解 （可能不止一组解）。,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) 从这个邻域 内的某个点 x ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) ， y ( t ) 从这个邻域内的某个点 x ( 0 ) ， y ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：,非线性方程 ( 一个方程 ) 情况,形式 : x( t ) = f ( x( t ) ),平衡点 : 解 f

10、 ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有时该方程的 根不止一个.,稳定意义 : 当 t 时, 如 x x0 , 则称 x0 是稳定的 平衡点; 否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此 , 当 f ( x0 ) 0 时, x x0 ; 当 f ( x0 ) 0 时, x +.,(c) 一阶非线性问题的稳定性结论 : 根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) =

11、f ( x0 )( x - x0 ) ;,(b) 线性问题研究: 求解 x = f ( x0 )( x x0 ) , 解得,非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况,平衡点: 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 .,y ( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ),形式 : x ( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) ,稳定意义 : 当 t + 时, 如 x x0 , y y0 , 则称 ( x0 , y0 ) 是稳定的平衡点 ; 否则称 ( x0 , y0 ) 是不稳定平衡点.,上面的

12、方程组有时可能不止一组解.,研究方法 : 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二元函数 的泰勒展开式）:,f ( x , y ) fx( x0 , y0 )( x - x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y - y0 ) ; g ( x , y ) g x( x0 , y0 )( x - x0 ) + g y ( x0 , y0 )( y - y0 ).,(b) 线性问题研究: 记 a1= f x( x0, y0 ) , a2 = f y ( x0, y0 ) , b1 = g x ( x0, y0 ) , b2 = g y ( x0, y0 )

13、 ,p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 - a2 b1 , 并无妨设 x0 = 0 , y0 = 0 ;,求解,其中 1 , 2 为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 .,这里 1 +2 = - p , 1 2 = q,或写为,(1) 当 p 0 , q 0 时,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , 1 2 = q , 推得 1 与 2 均为负数 ，,故当 t + 时，e 1 t 与 e 2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ;,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , k = i 中 为负数 （ k = 1 ，2 ） ，,故当 t

14、+ 时，ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；,(2) 当 p 0 时,如果 p2 4q 0 ，由 1 +2 = - p , 可推出 1 与 2 中至少有一个为正数，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个 趋于 + ，系统不稳定 ;,如果 p2 4q 0，仍由 1 +2 = - p , 可推出 k = i （ k = 1 ，2 ） 中 为正数 ，,故当 t + 时, ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 趋于 + ，仍可推出 系统不稳定 。,(3) 当 q 0 时 , 此时必

15、定有 p2 4q 0 ，,此时 系统也必不稳定 。,由 1 2 = q , 可推出 1 与 2 中至少有一个为 正数，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个趋于 + ，,当 p 0 , q 0 时 , 相应的平衡点是稳定的；,当 p 0 或当 q 0 时 , 相应的平衡点是不稳定的。,综述之，在线性方程组非临界（p 0 ) 情况中,(C) 非线性问题的 稳定性结论 :,(i) 若相应的线性问题是 稳定 的 , 则对应非线性问题也 是 稳定 的 ；,(ii) 若相应的线性问题是 不稳定 的, 则对应非线性问题 也是 不稳定 的.,在非临界情况下 （p 0 ) ，,稳定性模型,对

16、象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,捕鱼业的持续收获,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件,r固有增长

17、率, N最大鱼量,h(x)=Ex, E捕捞强度,x(t) 渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,不求x(t), 判断x0稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,产量模型,稳定性判断,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R

18、(E)最大,渔场鱼量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,种群的相互竞争,一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。,当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。,建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。,模型假设,有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律;,两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。,模型,模型分

19、析,(平衡点及其稳定性),模型,判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法直接法,(1)的近似线性方程,仅当1, 2 1时，P3才有意义,模型,平衡点稳定性分析,平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,21,11,P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P3 是两种群共存的平衡点,11, 21,P1稳定的条件 11 ?,11,21,稳定条件,结果解释,对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。,P1稳定的条件：11,21 甲的竞争力强,甲达到最大容量，乙灭绝,P2稳定的条件：11, 21,P3稳定的条件：11, 21,

20、通常1 1/2，P3稳定条件不满足,六、差分方程建模,处理动态的离散型的问题,处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题,对于k阶差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (3-6),若有xn = x (n), 满足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程(3-6)的解, 包含个任意常数的解称为(3-6)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(3-6)的初始条件,

21、通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3-6)的特解.,若x0, x1, , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(3-6)的解, 即,F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(3-6)的平衡点. 又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a +

22、 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.,二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.,当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r 0, 且a + b + 1 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方程 2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2., 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时,二

23、阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n; 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的.,则,对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡点x*由代数方程 x = f (x) 解出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,Application:常微分方程可化为差分方程,用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程-差分方程,以二阶常微分方程边值问题为例,目的求,差分法,差分方程,