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1、第六章 无限脉冲数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器结构的基本概念,6.2 模拟滤波器设计,6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器, 6.5 数字高通、带通和带阻滤波器设计, 6.6 IIR滤波器的直接设计法,6.1 数字滤波器的基本概念,1，什么是数字滤波器？,首先输入、输出都是数字信号，通过一定的运算关系(通常是指一种算法，或指一种数字式处理设备)改变输入信号所含频率成份的比例或滤除某些频率的器件。,还可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能,2，数字滤波器分类,理想滤波器不可能实现，因为其单位脉冲响应均是非因果且是无限长，可作为逼
2、近标准,N 阶,N1阶,理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,3. 数字滤波器的技术指标与要求,数字滤波器的传输函数,4. 数字滤波器设计方法概述,IIR滤波器设计法两类，（1）借助模拟滤波器的设计方法，先设计出模拟滤波器得到传输函数 ，然后将传输函数按照某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,（2）另一类是直接在频域或者时域进行设计的，由于要解联立方程，需要计算机做辅助设计。,FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率采样法。,模拟滤波器设计方法已经很成熟不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅，还有一些典型的滤波器类型供使用。,设计滤波器时，
3、总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。,下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。,6.2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器设计技术成熟，有相当简便的公式和图表，有几种典型的 模拟滤波器，如Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、椭圆滤波器、Bessel滤波器等可以依照不同要求和指标进行选择。,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s) Butterworth（巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近,模拟低通滤波器的设计指标,模拟低通
4、滤波器的设计指标有,为通带截止频率,为阻带截止频率,为3dB截止频率,对于单调下降的幅度特性，可表示成：,如果 处幅度已归一化到1，即,逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近,滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用。,给定模拟低通滤波器的技术指标,由幅度平方函数得象限对称的s平面函数,将 因式分解，得到各零极点,对比 和 ，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,2、Butterwort
5、h 低通的设计方法,幅度平方函数 1）幅度函数特点 2）幅度平方函数的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤,当,称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽,N为滤波器的阶数,为通带截止频率,1）幅度平方函数,2）幅度函数特点：,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制,3dB不变性,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,2）幅度平方函数的极点分布：,2N个极点等间隔分布在半径为 的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是N rad。,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttte
6、rworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,一半极点在左半平面,一半极点在右半平面,？,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个，它们分别为,令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,3）归一化系统函数,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为,式中，s/c=j/c。,上式为Butt
7、terworth低通滤波器的归一化系统函数，分母多项式的系数有表可查。,pk为归一化极点，用下式表示：,将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：,4）阶数N与技术指标的关系,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,技术指标转化为阶数,取大于等于N的最小整数,关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可由下式求出,因为反归一时要用此参数,5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤,(1)根据技术指标p,p,s和s，求出滤波器的阶数N。 (2)求出归一化极点pk，由pk构造归一化传输函数Ha(p)。 (3)将Ha(p)反归一化，,阻带指标有富裕,
8、通带指标有富裕,此环节可由查表得到,Butterworth AF 的特点：,（3）3dB不变特性,（2）N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器,（1）,例：要求设计一个巴特沃斯低通滤波器，其通带截止频率为fp2kHz，通带最大衰减p2dB；阻带截止频率fs10kHz，阻带最小衰减s20dB。,解： 1）确定滤波器阶数N：,取N2,2）计算Ha(p)的极点：,由 得：,3）求得归一化系统函数为：,4）对Ha(p)去归一化,先求3dB截止频率：,将 代入Ha(p)得：,3.Chebyshev低通滤波器的设计方法,提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频
9、率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数,N：滤波器的阶数,Chebyshev型滤波器幅度平方函数：,：截止频率，不一定为3dB带宽,，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大,：N阶Chebyshev多项式,当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 2 -1； 当N=3时，C3(x)=4x
10、3 -3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,1）幅度函数特点：,通带外：迅速单调下降趋向0,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,：通带截止频率，给定,：表征通带内波纹大小,由通带衰减决定,2）Chebyshev滤波器的三个参量：,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为 ：,令s=s/p，由s1，有,可以解出,滤波器阶数N 的确定,阻带衰减越大所需阶数越高,3dB截止频率c的确定,按照(6.2.19)式，有,通
11、常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,令,以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,3）幅度平方特性的极点分布,上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp ，短半轴为ap的椭圆上的点。,(6.2.32),式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为,(6.2.33a),去归一化后的传输函数为,设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即,(6.2.33b),图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,5.滤波器的设计步骤:,归一化：,1）确定技术指标：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：,其中：,或者由N和 ，直接查表得,其中极点由下式求出：,4）去归一化,3）求出归一化系统函数：,