《线性代数》课件1.3.ppt

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1、第三节第三节 方阵的行列式方阵的行列式一、二、三阶行列式一、二、三阶行列式二、排列与逆序二、排列与逆序三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义四、行列式的性质四、行列式的性质五、行列式按行（列）展开五、行列式按行（列）展开六、行列式的计算六、行列式的计算七、方阵的行列式七、方阵的行列式3 方阵的行列式一、二阶和三阶行列式设有二元线性方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb用加减消元法可得112212211122212112212212211121()()a aa axbab aa aa axb aba当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即.,2112221

2、11122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx 上式给出了二元线性方程组的公式解但公式解的表达式比较复杂，不便于记忆，引进新的符号来表示这个结果.,211222111122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx我们称由4个数组成的记号1112112212212122aaa aa aaa为二阶行列式它含有两行、两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫作行列式的元素当0D 时，二元线性方程组求解公式表示为 2221121122212111aaaaababDDx2221121122111122aaaababaDDx利用二阶行列式记号，

3、取1112112212212122aaDa aa aaa2122212221211baabababD2112112211112abbababaD 二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线（主对角线）上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线（副对角线）上两个元素的乘积，取负号 11122122aaaa 需要注意的是二阶方阵和二阶行列式是两个不同的概念，二阶方阵是按确定方式排成的一个数表，而二阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数 二阶行列式的对角线法则：例 解二元线性方程组 1212232121xxxx解 由于2412123,1411212,07122321

4、DDD因此，二元线性方程组的解为3,22211DDxDDx 为了进一步讨论线性方程组的需要，下面给出三阶行列式的概念定义 由个数)3,2,1,(jiaij组成的记号 111213212223313233aaaaaaaaa 称为三阶行列式，它表示代数和 1122331223311321 32a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa 即 112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 三阶行列式对角线法则：实线上三元素的乘积取正

5、号，虚线上三元素的乘积取负号.111213212223313233aaaaaaaaa例计算三阶行列式 243122421D解按对角线法则有4)2()4()3(12)2(21D14)3(2)4()2()2(2411111213212223313233aaaaaaaaa实线上三元素的乘积取正号，虚线上三元素的乘积取负号.例解方程 094321112xx解 方程左端的三阶行列式 6512291843222xxxxxxD由0652 xx解得2x或3x.二、排列与逆序 定义 由正整数1,2,n组成一个有序数组称为一个n级排列记为12nj jjL 例如，312是一个3级排列，3214是一个4级排列，而25

6、134是一个5级排列一个n级排列其实就是正整数1,2,n的一个全排列，因此n级排列共有!n个.例如，由 1,2,3 组成的所有 3 级排列为：123，132,213,231,312,321.共有 3!=6 个 数字由小到大的n级排列123n称为自然序排列 定义 在一个n级排列12nj jjL中，如果有较大的数sj排在较小的数tj的前面(tsjj)，则称sj与tj构成一个逆序，记为tsjj一个n级排列12nj jjL中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作12()nj jjL 例如:在 4 级排列 3214 中 31,32,21 各构成一个逆序数，排列 3214 的逆序数为3)3214(同样可计

7、算排列 52341 的逆序数为7)52341(自然序排列的逆序数为 0 定义 如果排列12nj jjL的逆序数12()nj jjL是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列 例如，排列 3412 的4)3412(，故排列 3412是偶排列；排列 52341 的7)52341(，故排列52341 是奇排列；自然排列123n是偶排列 三、n阶行列式的定义三阶行列式的特征分析112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 三阶行列式具有如下规律：(1)三阶行

8、列式是3！项的代数和；(2)三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号，为奇排列，则取负号三阶行列式可表示为1 2 31231 2 3111213()212223123313233(1)j j jjjjj j jaaaaaaa aaaaa112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa 按此结构规律可将三阶行列式概念的推广到n阶行列式定义由排成n行n列的

9、2n个元素ija(,1,)i jn L 组成的记号 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLMMML 称为n阶行列式它是!n项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，每一项中各元素的行标排成自然序排列1212njjnja aaL，该项符号当12nj jjL为偶排列时，则取正号，为奇排列，则取负号即 121212,1112121222(,)12,12(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaa aaaaaLLLLLMMML其中12,njjjL表示对所有的n级排列12nj jjL求和 需要注意的是n阶方阵和n阶行列式是两个不同的概念，n阶方阵是按确定方

10、式排成的一个数表，而n阶行列式是按照一定运算法则确定的一个数例 计算上三角形行列式11121222000nnnnaaaaaDaLLMMML其中0iia(1,2,)inL 解 由n阶 行 列 式 的 定 义，展 开 式 中 只1122nna aaL一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是(123)0nL，故取正号因此，由行列式的定义有 111212221122000nnnnnnaaaaaa aaaLLLMMML上三角形行列式 112122112212000nnnnnnaaaa aaaaaLLLMMML11221122000000nnnnaaa aaaLLLMMML下三角形行列式 对角形行列

11、式 结论：上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积例 计算n阶行列式 12 11000000000nnnaaDaLLMMMML解 121212,(,)12,(1)nnnjjjjjnjjjjDa aaLLL(1)1)1211(1)n nnnna aa LL(1)(1)(2)21)(1)(2)2 12n nn nnnn LL所以(1)21211(1)n nnnnDa aa L四、行列式的性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为TD即 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMML112111222212nnTnnnnaaaa

12、aaDaaaLLMMML性质 1 行列式转置后，其值不变，即DDT 表明:行列式中的行列的地位是对称的，因此对于行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然 性质 交换行列式的某两行(列)，行列式改变符号即 1112111121121212121212 nniiinknknkkkniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa LLMMMMMMLLMMMMMMLLMMMMMMLL 推论 如果行列式某两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零 性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即111211112112121212 nniiiniiinnnn

13、nnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaaLLMMMMMMLLMMMMMMLL推论 如果行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行列式的值等于零 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 性质 如果行列式的某一行(列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即 11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaaLLLMMMMMMMMMLLLMMMMMMMMMLLL性质 5 把行列式的某一行(列)的所有元素乘

14、以数m加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变即 111211112112112212121212nniiinikikinknkkknkkknnnnnnnnnaaaaaaaaaamaamaamaaaaaaaaaaaaaLLMMMMMMLLMMMMMMLLMMMMMMLLikrmr符号说明：用ir表示行列式的第i行，ic表示行列式的第i列 交换ji,两行记作ijrr，交换ji,两列记作ijcc；第i行乘以k记作irk，第i列乘以k记作ick；以数k乘以第j行加到第i行上记作ijrkr，以数k乘以第j列加到第i列上记作ijckc 例 计算行列式 1111111210110123D解 利用行列式

15、的性质将行列式化为上三角形行列式1111111210110123D121101321021111111rr213141(3)(2)(1)1101011301130012rrrrrr 32(1)1101011300200012rr 431211010113400200002rr 例 试证明：01111cbadbadcdacbdcbaD 证 把行列式的第、列同时加到第列上去，则得011111111)(1111addccbbadcbadcbaaddcbadcdcbacbdcbabaD例 计算行列式 3111131111311113D解 行列式的特点是各列个数的和都是，把第,各行同时加到第行，提出公因

16、子，然后把第行乘1加到第,行上就成为三角形行列式 3111131111311113D1213146666131111311113rrrrrr111113116113111132131411111020064800200002rrrrrr五、行列式按行（列）展开对于三阶行列式，有 112233122331132132a a aa a aa a a322311332112312213aaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a2223212321221112

17、13323331333132aaaaaaaaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaa 三阶行列式可以展开成二阶行列式的形式.111213212223313233aaaaaaaaa2223212321221 11 21 3111213323331333132(1)(1)(1)aaaaaaaaaaaaaaa 为了表述这种展开形式下面引入余子式和代数余子式的概念.定义 6 在n阶行列式中划去元素ija所在的第i行与第j列，留下来的1n阶行列式称为元素ija的余子式，记为ijM，记ijjiijMA)1(

18、，则ijA称为元素ija的代数余子式.由代数余子式，三阶行列式可表述为 111213212223111112121313313233aaaaaaa Aa Aa Aaaa 这种表述不但对行列式的第一行成立，对于行列式的任意行（列）而言均有类似结论.余子式为 12a2123123133aaMaa代数余子式为 12a21231 2123133(1)aaAaa 111213212223313233aaaaaaaaa定理 1（行列式展开定理）n阶行列式D的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL1122jjjjnj

19、njDa Aa Aa AL(1,2,)jnL 结论：任何行列式均可展开成某行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即有为了证明行列式展开定理，我们先证明一个引理.定理 1 表明，n阶行列式可以用1n阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理 引理 一个n阶行列式D，如果其中第i行所有元素除了元素0ija外其它元素全为零，则这个行 列 式等 于ija与 其 代数 余子 式的 乘积，即ijijAaD 证 先证D的第n行元素除0nna外，其余元素全为零的情形.即 111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaLLMMMMLL由于行列式

20、D第n行元素 除0nna外，其余元素全 为零,由行列式的定义知 12112112,1(,)121,(1)nnnnnnjjjjjjnjnjjjjjDa aaaLLL12112112,1(,)121,(1)nnnjjjnjjnjnnjjjna aaaLLL12112112,1(,)121,(1)nnnjjjnnjjnjjjjaa aaLLLnnnnnnnnAaMa111211121222121112111000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaLLMMMMLL对于一般情况 1111100jnijnnjnnaaaaDaaaLLMMMLLMMMLL为了利用前面结果，把D的行列作如下交

21、换：先将D中第i行依次与1i行，2i行，,nL行交换，交换次数为in 次；然后再将第j列依次与1j列，2j列，,nL列交换，交换次数为jn 次，即对D进行了)(2jin次行、列互换，由行列式性质 2 及前述结果可得 ijijijijjiijijjinAaMaMaD)1()1()(2定理 1（行列式展开定理）n阶行列式D的值等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.即 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL证 设 111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMML由行列式

22、性质4及引理，可得1112112120000000niiinnnnnaaaDaaaaaaLMMMLLLLMMML1112111200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML1112121200ninnnnaaaaaaaLMMMLMMML111211200ninnnnnaaaaaaaLMMMLLMMML1122iiiiinina Aa Aa AL(1,2,)inL同理可证 1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL推论 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即 11220isisinsna Aa Aa AL)(si 112

23、20jtjtn jnta Aa Aa AL)(tj 11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMMML证 只证行的情形，将D的第s行元素换成第i行元素，有1D 111211211212niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMML11121121212niiinsssnnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMMML111211211212niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaaLMMMLMMMLMMML显然，01D且1D的第s行元素的代数余子式与D的第s行对应各元素代数余子式相同，因

24、此将1D按第s行展开，即得 11220isisinsna Aa Aa AL)(si 列的情形同理可以证明.定理及其推论可以合并表述为：定理 对于n阶行列式D有 11220isisinsnDisa Aa Aa AisL 11220jtjtn jntDjta Aa Aa AjtL 1122iiiiininDa Aa Aa AL(1,2,)inL定理推论1122jjjjnjnjDa Aa Aa AL(1,2,)jnL11220isisinsna Aa Aa AL)(si 11220jtjtn jnta Aa Aa AL)(tj 拉普拉斯（Laplace,17491827）法国著名数学家和天文学家，拉

25、普拉斯是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。拉普拉斯在数学的许多领域都有突出的贡献，行列式展开定理就是拉普拉斯提出的。利用展开定理计算行列式的步骤：（1）选择某一元素简单的行（列），利用行列式性质，将选择的行（列）化简为仅有一个非零元素元素的行（列）；（2）再由定理1按该行（列）展开，将行列式变为低一阶行列式；（3）如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶行列式，以此简化行列式的计算例 计算行列式 解 选择第列保留一个非零元素其余元素化为零5021011321014321D5021011321014321D1343227014101231101025rrrr3 2714(1)(1)11272

26、5 12322602112901rrrr2 2621(1)6 182491 例 证明 22211211222112112221222112111211222112110000bbbbaaaabbccbbccaaaa证 将等式左端的行列式按第1行展开，得2221211211112112222122121112221122212221121112112221121100000000bbcbbcaabbcbbcaabbccbbccaaaa111211121122122121222122bbbba aa abbbb11121112111211221221212221222122()bbaabba aa

27、 abbaabb六、行列式计算 1.三角化方法 三角化方法是利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式，利用三角形行列式结果来进行行列式计算的方法例 计算行列式 bbaaD1111111111111111(0)ab 解 先将行列式的第 1行乘以1加到,3,4行上，然后前两列提取a，后两列提取b，再将 2,3,4列分别加到第 1 列上.即 babaaaabbaaD00000011111111111111111111111111100()()10101001aabbaa bb22221111010000100001abba ba b将行列式的第 1 行乘以1加 到,3,4 行上 前两列提取a 后两列

28、提取b 将 2,3,4 列分别 加到第 1 列上.例 计算行列式nabbbbabbDbbabbbbaLLLMMMML分析：行列式中每一列 元素之和均为bna)1(.把每一行均加到第 1 行 上提出公因子bna)1(，然后将行列式化为三角 形行列式.(1)(1)(1)(1)nanbanbanbanbbabbDbbabbbbaLLLMMMML解 将行列式化为三角形行列式 从第2行起，把每一行均加到第1行上.1111(1)babbanb bbabbbbaLLLMMMML100000(1)0000babanb babbabLLLMMMML1(1)()nanb ab提出公因子bna)1(每一列各减去第1

29、列将行列式化为下三角行列式 计算三角行列式 2.降阶展开法 降阶展开法是利用行列式的性质将某几行或某几列尽可能多的元素变为零，然后按行（列）展开，将行列式化为较低阶行列式进行计算的方法0000000000000000nababaDabbaLLLMMMMMLL例 计算行列式 解 将行列式按第列展开 1 110000000000(1)(1)0000000000nnabbaabDababbaabLLLLMMMMMMMMLLLLnnnnnnbabbaa1111)1()1(例 计算行列式 111111111111D解 将第4行分别乘以)(,1,1加到第1,2,3行上，提取公因式再展开，得 1111100

30、10101110)1(11111001010111032D110101210)1(110101111)1()1(3143)3()1(1121)1()1(3123 3.递推法 递推法是将行列式从高阶向低阶变形，找出递推公式，利用递推公式将行列式降阶进行计算的方法例 计算行列式 2nababDcdcdONNO解 将行列式先按第 1 行展开，展开后的行列式再按最后一行展开，有递推公式 21 122(1)2(1)2(1)22(1)()()nnnnnnDad DbcDadbc Dadbc D 12222()()()nnnnDadbc DadbcDadbcL七、方阵的行列式定义 7 对n阶方阵)(ijaA

31、，将A中的元素按原来顺序构成一个n阶行列式，称此行列式为方阵A的行列式，记为Adet，或A.例 方阵 的行列式为 310021001A1001206013A注:方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是2n个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定运算法则所确定的一个数.设BA,为n阶方阵，k是常数，则由方阵确定的行列式满足下列运算规律：(1)TAA;(2)AAnkk；(3)BAAB(4)若12,mA AAL为同阶方阵，则 1212mmA AAA AALL 例 设 ，验证 2101A0113BBAABBA证 因为 22101A10113B所以 2BA111301132101AB又 2

32、1113AB而 012221010113BA20122BA所以 BAABBA定义 8 设A为n阶方阵，若0A，则称A为非奇异方阵，否则称A为奇异方阵.定理 2 设A,B为n阶方阵，则AB为非奇异的充分必要条件是A与B都是非奇异的 证 充分性 若A与B都是非奇异矩阵，则,0A0B，因此0BAAB,所以AB为非奇异矩阵.必要性 若AB为非奇异矩阵，则 0BAAB，因此,0A0B，所以A与B都是非奇异矩阵.例 已知A为n阶方阵，且TAA是非奇异的，证明A是非奇异的 证 因为TAA为非奇异的，所以0TAA，即02AAAAATT，则,0A即A是非奇异的 例 设n阶方阵BA,满足OBABA22，且B为非奇异方阵，证明BAA,为均非奇异方阵.证 由OBABA22，即2)(BBAA，得 222)1()1()(BBBBAAnn 由于B为非奇异方阵，即0B，有 0)(BAABAA 由此得0,0BAA，所以BAA,为均非奇异方阵.