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1、偏微分方程的数值方法,刘 铭,偏微分方程定解问题，是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一，应用十分广泛。 遗憾的是，绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示，因而其数值解就显得尤为重要。,虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究，但是，它们发展成为一门理论上严谨，实用上有效的学科，还是20世纪50年代以来的事，这主要得益于电子计算机的诞生。,偏微分方程的分类,（1）椭圆型方程 （2）抛物型方程（如热传导方程） （3）双曲型方程（如波动方程）,三种类型的边界条件： （1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条件）：边界上的函
2、数值已知； （2）纽曼型边界条件（第二类边界条件）：边界上函数的法向导数值已知或是一种连续函数。 （3）混合边界条件：边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。,边界条件,数值求解偏微分方程定解问题的主要方法,1.差分方法 2.有限元方法,共同点：都是将连续的偏微分方程进行离散，采取适当形式将其化为线性代数方程组，通过求解代数方程组给出其数值解。,差分方法,无论是常微分方程还是偏微分方程，初值问题或边值问题，椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶方程或非线性方程，通常均可利用此法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。,目前，对于线性偏微分方程定解问题，差分方法已经形成
3、了较成熟的算法格式，对于非线性问题，有效的算法正在迅速发展之中。,差分方法的准备工作,（1）把求解的区域划分成网格； （2）把求解区域内连续的函数用网格节点上的离散的数值代替。 网格的划分有不同的方法，有正方形和三角形网格等划分方法。,差分方法的基础，即泰勒级数展开：,差分方法的基本概念 -用差商代替导数,一阶导数的差分表达式： 二阶导数的差分表达式：,随着精度的不断提高，可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其优点、缺点： （1）缺点：高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一步都需要更多的计算时间。 （2）优点：要得到相同精度的解，如果使用高阶差分格式，网格点的总数可以更
4、少一些；高阶差分格式可以给出质量更高的解。,例如，方程 有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变量 。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。,差分方程的显式方法与隐式方法,显式方法,时间导数 x方向导数 差分方程：,隐式方法,整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已知量放到右边，得 隐式格式可化成三对角形式的方程组。,显式方法：每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。,隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量，必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大
5、型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更复杂的计算。,显示方法和隐式方法的优缺点,1）显式方法 优点：方法的建立及编程相对简单。 缺点：对取定的x，t必须小于稳定性条件对它提出的限制。在某些情形，t必须很小，才能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值，就需要很长的计算机运行时间 。,2）隐式方法 优点：用大得多的t值也能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值，需要少得多的时间步，这将使计算机运行时间更短。 缺点：方法的建立和编程更复杂。而且，由于每一时间步的计算通常需要大量的矩阵运算，每一时间步的计算机运行时间要比显式方法长得多。,求解偏微分方程的一些差分方法,有限元方法,有限元方法属于变分法的范畴，是古典的变分法和分片多项式插值相结合的产物。 由于差分法通常采用方形网格，很难适应区域形状的任意性，而有限元方法可以用多种多样的网格对区域作剖分，可以适应各种形状的区域。,MATLAB的偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）提供了空间二维问题高速、准确的求解过程。用户只要使用界面或M文件，画出所需要的区域，输入方程类型和有关系数，就可显示解的图形和输出解得数值。,谢 谢！,