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1、指数函数教案富源县第六中学 宋泽顺三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质.2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a0，且a1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到
2、现代信息技术是认识世界的有效手段.教学重点指数函数的概念和性质.教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、以生活实例，引入新课（多媒体显示如下材料）材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？（生思考，师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中与下列结论有关的信息，并简单板书）结论：材料1中y和x的关系为y=2x.材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据
3、此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?（生思考）生：P=（）.师：你能发现关系式y=2x，P=（）有什么相同的地方吗？（生讨论，师及时总结得到如下结论）我们发现：在关系式y=2x和P=（）中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y=2x和P=（）都是函数关系式，且函数y=2x和函数P=（）在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上.师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？（生交流，师总结得出如下结论）生：用字母a来代替2与（）.结论：函数y=2x和函数P=（）都是函数y=ax的具体形
4、式.函数y=ax是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型指数函数.（引入新课，书写课题）二、讲解新课（一）指数函数的概念（师结合引入，给出指数函数的定义）一般地，函数y=ax（a0，a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.合作探究：（1）定义域为什么是实数集？（生思考，师适时点拨，给出如下解释）知识拓展：在a0的前提下，x可以取任意的实数，所以函数的定义域是R.（2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a0，a1？（生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R）知识拓展：这是因为（）a=0时
5、，当x0，ax恒等于0；当x0，ax无意义.（）a0时，例如a=，x=，则ax=（）无意义.（）a=1时，ax恒等于1，无研究价值.所以规定a0，且a1.（3）判断下列函数是否是指数函数：y=23x；y=3x1；y=x3；y=3x；y=（4）x；y=x；y=4；y=xx；y=（2a1）x（a，且a1）.生：只有为指数函数.方法引导：指数函数的形式就是y=ax，ax的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y=ax+k（a0，且a1，kZ）；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例如y=ax（a0，且a1），这是因为它的解析
6、式可以等价化归为y=ax=（a1）x，其中a10，且a11.如y=23x是指数函数，因为可以化简为y=8x.要注意幂底数的范围和自变量x所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.（二）指数函数的图象和性质师：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？（生思考）师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？生：函数y=2x的图象.师：作图的基本方法是什么？生：列表、描点、连线.借助多媒体手段画出图象.师：研究函数要考虑哪些性质?生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解
7、析式分析函数y=2x的性质应该如何呢?生：图象左右延伸，说明定义域为R；图象都分布在x轴的上方，说明值域为R+；图象上升，说明是增函数；不关于y轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：图象在数值上有些什么特点?生：通过图象不难发现y值分布的特点：当x0时，0y1；当x0时，y1；当x=0时，y=1.合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y=2x的图象类似？画出函数y=8x，y=3.5x，y=1.7x，y=0.8x的图象，你有什么发现呢?（生思考，师适时点拨，给出如下结论）结论：y=0.8x的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y=2x的图象有点类似，说明还有一类指数函
8、数的图象与y=2x有重大差异.师：类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?生：我们选择函数y=（）x的图象作典型.作出函数y=（）x的图象.合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象的异同点.（生思考，师适时点拨，给出如下结论）一般地，指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质（1）定义域为（，+）；值域为（0，+）（2）过点（0，1），即x=0时，y=a0=1（3）若x0，则ax1；若x0，则0ax1（3）若x0，则0ax1；若x0，则ax1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数合作探究：函数y=2x的图象和函数y=（）x的
9、图象有什么关系？（生观察并讨论，给出如下结论）结论：函数y=2x的图象和函数y=（）x的图象关于y轴对称.师：理由是什么呢？能否给予证明?证明：因为函数y=（）x=2x，点（x，y）与（x，y）关于y轴对称，所以y=2x的图象上的任意一点P（x，y）关于y轴的对称点P1（x，y）都在y=（）x的图象上，反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y=2x的图象得到函数y=（）x的图象.方法引导：要证明两个函数f（x）与g（x）的图象关于某一直线成轴对称图形，要分两点证明：（1）f（x）图象上任意一点关于直线的对称点都在g（x）的图象上；（2）g（x）图象上的任意一点关于直线的对称点都在f（x）的图象
10、上.合作探究：思考底数a的变化对图象的影响.例如：比较函数y=2x和y=10x的图象以及y=（）x和y=（）x的图象. （生观察并讨论，给出如下结论）结论：在第一象限内，底数a越小，函数的图象越接近x轴.合作探究：如何快速地画出指数函数简图？（学生讨论，交流各自的想法，师适时地归纳，得出如下注意点）（1）要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；（2）注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点（0，1）；（3）注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x轴，但不能和x轴相交.（三）例题讲解【例1】 求下列函数的定义域：（1）y=8；（2）y=.（多媒体显
11、示，师组织学生讨论完成）师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验，你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？（生交流自己的想法，师归纳，得出如下结论）（1）分式的分母不能为0；（2）偶次根号的被开方数大于或等于0；（3）0的0次幂没有意义.师：这些注意点在我们所要解决的问题中又没有出现，是否还有其他新的要求或限制条件？（生讨论交流，并板演解答过程，师组织学生进行评析，规范学生解题）解：（1）2x10，x，原函数的定义域是x|xR，x；（2）1（）x0，（）x1=（）0.函数y=（）x在定义域上单调递减，x0.原函数的定义域是0，+）.【例2】 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.7
12、2.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1.师：你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？（生讨论，师适时点拨，得出如下解析过程）解：（1）1.72.5，1.73可看作函数y=1.7x的两个函数值.由于底数1.71，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.因为2.53，所以1.72.51.73.（2）0.80.1，0.80.2可看作函数y=0.8x的两个函数值.由于底数0.81，所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.因为0.10.2，所以0.80.10.80.2.（3）因为1.70.3、0.93.1不能看作同一
13、个指数函数的两个函数值，所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系.由指数函数的性质知1.70.31.70=1，0.93.10.90=1，所以1.70.30.93.1.师：问题解决了，通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？（生交流解题体会，师适时归纳总结，得出如下结论）方法引导：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值，利用函数的单调性比较之.当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系.三、巩固练习课本P68练习1、2（生完成后，同桌之间互相交流解
14、答过程）1.略.2.（1）x|x2；（2）x|x0.四、课堂小结师：通过本节课的学习，你觉得你都学到了哪些知识?请同学们互相交流一下自己的收获，同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.（生交流，师简单板书，多媒体显示如下内容）1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征.2.指数函数简图的作法以及应注意的地方.3.指数函数的图象和性质.一般地，指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a10a1图象性质（1）定义域为（，+）；值域为（0，+）性质（2）过点（0，1），即x=0时，y=a0=1（3）若x0，则ax1；若x0，则0ax1（3）若x0，则0ax1；若x0，则ax1（4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法数形结合思想（方法）.5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提.五、布置作业课本P69习题2.1A组第5、6、7、8、10、11题.板书设计2.1.2 指数函数及其性质（1）一、1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质二、例题评析三、课堂小结四、布置作业7