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1、动量部分复习动量部分复习 牛顿第二定律 牛顿第二定律： 质点的动量对时间的一阶导数等于作用在质点上的力 当质点的质量为常量（经典力学）时： 式中F为（汇交力系的合）力，m为质量（质点惯性的度量） 质点的质量与质点加速度的乘积等于作用在质点上的力 质量为 m 的质点在有阻尼介质（例如空气、水、油）中无初 速自由下落。已知阻力R 的大小与质点下落的速度成正比，比 例系数为 c，求质点的运动规律。 解：这是已知力（重力和阻尼）求运动规律，故为第二类动力 学问题。 建立一维坐标Ox，原点为质点的下落起点，x 轴竖直向下，则 质点受力为mg，阻力为-cu，建立质点的运动微分方程： 初始条件为 x(0)=
2、0; u(0)=0，其中u =dx/dt x m 令 u0 =mg/c，将质点的运 动微分方程改写为： 分离变量积分： x(0)=0; u(0)=0 设 u u 0 ，积分后得： 即： 由此知，当 t时，有u u 0，所以 u 0 为极限速度 为便于分析，令 = u 0/g =m/c， 可将上式改写为无量纲形式： 将速度方程 进一步积分，得到质点的运动方程： 下面进一步讨论质点的运动方程。 其中 = u 0/g =m/c （1）当 t时，有： （2）当 t 时，将质点的运动方程按幂级数展开： 即： 这表明质点几乎作匀速直线运动 这表明质点近似作自由落体运动，这里 为特征时间 质点系动量定理质点
3、系动量定理 1. 1. 质点系的动量定理质点系的动量定理 其中： 动量定理的微分形式 即 质点系的动量(主矢)对时间的导 数，等于作用于 该质点上所有外 力的主矢。 微分形式 质点系动量 或： 积分形式 质点系动量定理的积分形式质点系动 量在一段时间间隔内的改变量，等于质点系所 受全部外力在同一时间间隔内冲量的矢量和。 3. 3. 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，若作用于质点系的外力的主矢恒等于零， 则质点系的动量保持不变。则质点系的动量保持不变。 若作用于质点系的外力的主矢在某一轴若作用于质点系的外力的主矢在某一轴 上的投影恒等于零，则质点系的动量在
4、该上的投影恒等于零，则质点系的动量在该 轴上的投影保持不变。轴上的投影保持不变。 质心运动定理质心运动定理 m1 m2 mn z o x y rC C ri mi 一. 质量中心 质量中心即是表征质点系中 各质点的质量及位置的分布情况的一 个几何点。 上式对时间求导数，有 于是，质点的动量为 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用 于质点系外力的矢量和。 直角坐标轴上的投影式直角坐标轴上的投影式 二. 质心运动定理 三三. . 质心运动质心运动守恒定律 质心作匀速直线运动；若初始静止，则质心的 位置始终保持不变。 uCx =常数；若初始时速度投影等于零，则质 心沿该轴的坐标保持不变。 质量m1
5、的物块沿倾角为 的光滑楔块（质量 m2 ）斜面滑下，楔块放在光滑水平面上当 t = 0时系统静止。 求：1. 物块水平方向的加速度。 2. 楔块的加速度。 3. 楔块对物块的约束力F1和水平面对 楔块的约束力F2。 解： 由于水平面光滑，系统在水平方向动量守恒。如图所示 ，首先以整体为对象。当 t = 0时系统静止，p0 = 0；对于 物块，在 t 时刻由点的合成运动： 可知，物块的加速度在坐标轴的投影为： 由水平方向动量守恒： 代入（1），得： （2） （1）即： 式（2）表达了物块的两个加速度分量之间的关系。 再以物块为对象，运动微分方程： 以上两式与（2）联立，得物块在水平方向 的加速度
6、： （3） 利用（3），得楔块 对物块的约束力： 楔块的加速度为： 最后以楔块为对象，运动微分方程： 将F1代入（4），得水平面对楔块的约束力： （4） 讨论： 由水平方向动量守恒，只能列出一个方程，因此要确定系统 的运动，除了运动学条件外，还需分别取研究对象，补充其他 动力学方程才能求解。 O ri ui y x z m1 mi m2 1. 质点系的动量矩 质点系的动量矩转动惯量 质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量 和，称为质点系对点O的动量矩。 ui ri mi y x z 令： Jz刚体对 z 轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转 轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
7、 定轴转动刚体对转轴的动量矩 刚体对 转 轴的转动惯量 转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而 且与质量的分布情况有关。 其单位在国际单位制中为kgm2 刚体对转轴的转动惯量回转半径 对于其质量为连续分布的刚体，则上 式成为定积分 若设想刚体的质量集中于 离z轴距离为 处，令Jz=M ，则称之为对z轴的回转半径 。 4. 4. 转动惯量平行移轴定理转动惯量平行移轴定理 两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行 JZC 必须是通过质心的 zz1 x1 y,y1 x C O d m r r1 y y1 x=x1 z=z1 1. 质点系的动量矩定理 其中： 质点系对某定
8、点 的动量矩对时间的导数，等于作用于 质点系的外力 对同一点的矩的矢量和。 质点系动量矩定理 2. 质点系动量矩守恒定律 如果作用于质点系的全部外力对于某一点的主矩 恒等于 0，则质点系对这一点的动量矩为常矢量。 如果作用于质点系的全部外力对于某一轴z之 矩恒等于 0，则质点系对这一轴的动量矩为常数。 刚体定轴转动微分方程 刚体对于z轴的转动惯量 ui ri mi F1 F2 Fn Fi y x z 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于 刚体的主动力对该轴的矩的代数和。 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 mi ri O y x z ri y x z C vi
9、 rC 质点系相对于质心质点系相对于质心 ( ( 平移系平移系 ) ) 的动量矩对时间的导数的动量矩对时间的导数 ，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，等于作用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是，这就是质点质点 系相对于质心系相对于质心 ( ( 平移系平移系 ) ) 的动量矩定理的动量矩定理。 这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。这一表达式只有将质心取为定点才是正确的。 当外力对质心的主矩为当外力对质心的主矩为0 0时，时， mi ri O y x z ri y x z C vi rC 由质心坐标公式，有由质心坐标公式，有 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 O y x x y
10、 C D F1 F2 Fn 由质心运动定理和相对于质由质心运动定理和相对于质 心的动量矩定理，有：心的动量矩定理，有： 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 例例 题题 已知已知： m m ，R, fR, f ， 。 就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。 C FN mg ( (a a) ) 斜面光滑斜面光滑 aC 解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象 圆盘作平动圆盘作平动 ( (b b) ) 斜面足够粗糙斜面足够粗糙 C FN aC mg F 由 得： 满足纯滚的条件： ( (c c) ) 斜面介于上述两者之
11、间斜面介于上述两者之间 C FN aC mg F 圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑 F C 例例 题题 已知已知： m m 1 1 , , m m 2 2 , , R, fR, f , , F F 。 求：求： 板的加速度。板的加速度。 F C F1 FN1 FN2 F2 FN2 F2 m1g m2g a aCar 解：解：取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象 对板：对板： 对圆轮：对圆轮： 解得： 质量为m、半径为R、惯性半径为c 的均质鼓轮，半径 r 处缠有细 绳，在水平拉力FT 的作用下发生纯滚动，不计滚动摩阻。 求：（1）鼓轮与地面的摩擦力FS及质心C 的加速度。 （2）鼓轮纯滚动的条件。
12、 解：以鼓轮为对象，受力为P、 FT 、 FN 、 FS 。 平面运动微分方程： 共有四个未知量，需补充运动学条件（纯滚动）： 纯滚动的条件为 ： 纯滚动时，摩擦力FS一般并未达到最大值，需通过方程求解。 纯滚动问题往往都需要补充运动学条件： NA NB A B C 0 P x y 式中有 acx， acy， ，NA ， NB 五个未知量 解：研究对象为杆 AB 杆作平面运动，加速度 acx，acy， 作用力： P = mg，NA，NB 列方程： 补充运动学方程（ B点） ： acx acy aBC aBCn aB 0 C B 已知：均质细直杆质量为m，长AB=l，初始位置0，由静止开始靠着墙
13、下滑。 求：杆开始下滑的加速度及墙和地面的约束力（各处的摩檫忽略不计）。 acx acy A点： 将 acx和 acy 代入前式得： 联立解得： acx acy aAC aACn aA 0 C A 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续， 加速度与角加速度将发生突变。加速度与角加速度将发生突变。 突然解除约束问题的特点突然解除约束问题的特点 系统的自由度一般会增加；系统的自由度一般会增加； WW= =m mg g O A B C 已知已知： OA=OB=AB=lOA=OB=AB=l 。 求：求：剪断剪断OB OB 绳瞬时，绳瞬时，OAOA绳的张力。绳的张力。 B WW= =m mg g A C F FA A 解：解：取取AB AB 杆为研究对象杆为研究对象 应用平面运动微分方程应用平面运动微分方程 60 aA aCA aA 应用平面运动加速度分析，取应用平面运动加速度分析，取 A A 为基点。为基点。 A CB B WW= =m mg g A C F FA A 60 A C aA aCA aA解得：解得： 请问能否直接对请问能否直接对 A A 点列写动量矩方程？点列写动量矩方程？