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1、导学引领，树梁中学对标检测”尝试教学导学案 八年级上第十九章轴对称授课教师： 主备教师： 王继勇 审核校对：初四数学组【学习目标】（1） 认识轴对称及探索其基本性质；（2） 能利用轴对称作图，并能指出对称轴；（3） 探索基本图形的轴对称及其相关性质；（4）了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计【知识梳理】一、轴对称图形的概念：如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如：正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形；三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形；平行四边形一
2、定不是轴对称图形。注意：（）一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，如正方形有条对称轴、长方形有条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有条对称轴、正n边形有n条对称轴。（）轴对称图形需要注意的重点：一个图形； 沿一条直线折叠，对折的两部分能完全重合（即重合到自身上）。二、轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。注意：（）两个图形成轴对称和轴对称图形的概念，前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。（）成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有
3、关。三、轴对称的性质：（）关于某条直线对称的图形是全等形；（）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。注意：（）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。（）性质（）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。四、轴对称作（画）图：（）画图形的对称轴观察分析图形，找出轴对称图形的任意一组对称点；连结对称点；画出以对称点为端点的线段的垂直平分线。（）如果一个图形关于某直线对称
4、，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。注意：对于（）来说，对称点要找准，特别是较复杂的轴对称图形，要认真地观察、分析，必要时要动手操作实践一下；对于对称轴有两条或两条以上的图形，要从各个角度找对称点，对于（）是找一个轴对称图形的对称轴的方法。（）画某点关于某直线的对称点的方法过已知点作已知直线的（对称轴）的垂线，标出垂足；在这条直线的另一侧从垂足出发截取相等的线段，那个截点就是这点关于该直线的对称点。（）画已知图形关于某直线的对称图形画出图形的某些点关于这条直线的对称点；把这些对称点顺次连结起来，就形成了一个符合条件的对称图形。注意：“某些点”是指能确定图形形状和大小及位置的关
5、键点。如果是多边形， “某些点”就是指所有的顶点；如果是线段，“某些点”就是指线段的两个端点；如果是直角，“某些点”就是指角的顶点与角两边上每一边一个任意点，其余类推。五、轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：轴对称轴对称图形区别指两个图形而言；指两个图形的一种形状与位置关系。对一个图形而言；指一个图形的特殊形状。联系都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。六、轴对称几何图形的对称轴：名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是条垂直平分线或线段所在的直线角是条角平分线
6、所在的直线长方形是条对边中线所在的直线正方形是条对边中线所在的直线和对角线所在的直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是条七、轴对称变换的概念：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。八、轴对称变换的有关知识点：规律：对称轴方向、位置发生变化，得到的图形的方向、位置也发生变化；性质：（）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；（）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；（）连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分；（）成轴对称的两个图形中的任何一个可以看做由另一个图形经过轴对称变换后得到的；（）一个轴对称图形也可以看做
7、以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。九、线段垂直平分线的概念：（）垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；（）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。十、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。 注意：（）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；（）若垂直平分线段，可得到：是等腰三角形； 是底边上的高和中线，也是顶角的平分线； 不仅，取上任意一点都有。十一、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：和线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。注意：（）“和线段两个端点距离
8、相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；（）等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上；（）如果两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。十二、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。注意：（）“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等。”的作用是：证明线段相等；（）三角形两边的垂直平分线的交点必在第三边的垂直平分线上；（）证明三线共点，可先找到两直线交点，再证明第三条直线也过这一点即可；（）锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边垂直平分
9、线的交点恰是斜边中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部；（）此定理给出了作一个点到三个不共线的点距离相等的作图方法，只需顺次连结这三点组成一个三角形，作这个三角形的两边的垂直平分线，交点即为所求。十三、等腰三角形的概念、性质、判定：概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，顶角是直角的等腰三角形叫做直角等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。性质：（）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线是对称轴；（）等腰三角形的两底角相等（简写为“等边
10、对等角”）；（）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）。（）等腰三角形的两边相等，即两腰相等。判定（）有两边相等的三角形叫做等腰三角形；（）如果一个三角形有两个角相等，那么，这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。注意：（）等腰三角形的判定和性质的关系：等腰三角形的定义既体现了等腰三角形的性质，也可以作为判定，等腰三角形的性质定理“等边对等角”和等腰三角形的判定定理“等角对等边”互为逆定理；（）“等角对等边”在同一三角形内证两条边相等的应用极为广泛，往往通过计算三角形各角的度数得角相等，则可得边相等；（）底角为顶角倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等
11、腰三角形分成两个等腰三角形。十四、等边三角形的定义、性质、判定：定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形。注意：（）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说等腰三角形包括等边三角形，因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质；（）等边三角形有三条对称轴，故三边上均有“三线合一”的性质，其三条中线交于一点，称其为 “中心”。性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于，每一个外角都等于。判定：（）三条边都相等的三角形是等边三角形；（）三个角都相等的三角形是等边三角形；（）有一个内角是的等腰三角形是等边三角形；（）任意一腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形。注意：（）
12、四个判定定理的前提不同，判定（）和判定（）是在三角形的条件下，判定（）和判定（）是在等腰三角形的条件下；（）计算出三角形的各个内角的度数都相等（或都为），然后根据“等角对等边”可说明一个三角形是等边三角形。十五、含角的直角三角形的性质：如果在直角三角形中有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边的一半。注意：性质是由等边三角形的性质得出的，它的主要作用是能解决直角三角形中的有关线段长度、线段关系、角的度数等的计算问题，特别在以后的学习中应用更广泛。【对标检测】一选择题：(每小题3分，共24分)1、下列说法正确的是 （ ）A 轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形B 如果两条线段互相垂直平分，
13、那么这两条线段互为对称轴C 所有直角三角形都不是轴对称图形D 有两个内角相等的三角形不是轴对称图形2、若等腰三角形的一边长为10，另一边长为7，则它的周长为 （ ）A 17 B 24 C 27 D 24或273、若一个三角形的三个外角的度数之比为545，则这个三角形是（ ）A 等腰三角形，但不是等边三角形，也不是等腰直角三角形B 直角三角形，但不是等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形4、等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线分其周长的两部分的差为3cm，则腰长为 （ ）A 2cm B 8cm C 2cm或8cm D 以上答案都不对5、下列说法正确的个数有（ ）等边三角形有三条对称轴 四边
14、形有四条对称轴 等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22 一个三角形中至少有两个锐角A 1个 B 2个 C 3个 D 4个6、若一个三角形一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么这个三角形一定是（ ）A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 不确定在平面直角坐标系中，直线y=2x-3关于x轴对称的直线是（ ）A y=2x+3 B y=-2x+3C y=-2x-3 D y=-3x+2CADEFB第7题图7、如图，BAC=90o，ADBC，DEAC，DFAB，AC=BC,除图中AC和BC外，关系形如a=b的线段对还有（ ）A 2对 B 4对 C 6对 D 7对ACB
15、图18(2008台州市)把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）A对应点连线与对称轴垂直B对应点连线被对称轴平分C对应点连线被对称轴垂直平分D对应点连线互相平行二、填空题：（每小题3分，共24分)1、等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是_.BCEDA第3题图2.点A（3，-12），B（3，12）关于_轴对称，点C（-5.4，-10），D
16、（5.4，-10）关于_轴对称。3、如图所示，AB=AC，B=50o,CED=20o，则BDE=_.4、从镜子中看到电子表的时刻为10点51分，则实际时间是_.5、一个三角形一边上的中线和另一边上的高分别是这个三角形的对称轴，则这个三角形的形状是_.6、已知点（2，x）和点（y,3）关于y轴对称，则（x+y）2007=_.7、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为_.ABC（第8题）8（2008山东淄博）如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含本身）共有_个三、解答题
17、：（每小题8分，共32分）1.（2008年贵阳市）如图5，在平面直角坐标系中，（1）求出的面积（4分）（2）在图5中作出关于轴的对称图形（3分）（3）写出点的坐标（3分）（图5）xyABCO5246-5-2（图5）xyABCO5246-5-2A1C1B12、如图所示，AB=AF，BC=FE，B=F，D是CE中点求证：ADCE连接BF后，还能得出什么结论？请你写出两个。（不要求证明）30o60o60o北BACD东30o3、如图，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60o，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，再观测海岛B在北偏东30o，船航行到D处，观测到海岛B在北偏西30o，当轮船
18、到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.ABO如图，在墙角O处有一个老鼠洞，小猫在A处发现自己的“美餐”老鼠在B处正往洞口方向逃窜，小猫马上堵截过去。若小猫与老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？BAFEDC4、如图所示，AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.求证：FAC=B四、拓广探索（每题10分，共20分）1. （2008年广东省中山市）（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图7AE
19、2 下面是数学课堂的一个学习片断阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形的角等于，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是和”；王华同学说：“其余两角是和”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）参考答案：一、选择题：1、A 2、D 3、A 4、B 5、B 6、B 7、C 8、B二、填空题：1、20cm 2、6 3、100o 4、12点01分55o 5、等边三角形 6、1 7、3、3、4或4、4、2 8
20、、3 三、1.（1）（或7.5）（平方单位）（2）如图5 （3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）2、证明：连接AC、AEABFCDE在ABC与AFE中ABCAFE AC=AE 又D是CE中点 ADCE结论：ADBF，AD平分BF，BFCE.3、解：BCD=60O,BAC=30oAC=BC=202010=2(小时) 到C处的时间为13时30分.BCD为等边三角形CD=BC=20到达D处的时间为15时30分.4、证明：DAF=CAF+DACADF=B+BAD，BAD=DACFAC=B四1.解：（1） BOC和ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， OD=OC=OB=OA,1=2=60, 4=5. 又4+5=2=60, 4=30. 同理，6=30. AEB=4+6, AEB=60.2（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是和或和 理由如下： （i）当是顶角时，设底角是， 其余两角是和（ii）当是底角时，设顶角是，其余两角分别是和（2）（感受中答有：“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的给2分，回答出“积极发言”、“参与讨论”等与数学问题联系不紧密的语句给1分）12