第2章：控制系统的数学模型.ppt

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1、1,第二章 控制系统的数学模型,2-1 引言 2-2 微分方程的建立及线性化 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图 2-5 信号流图 2-6 反馈控制系统的传递函数,2,1.数学模型定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。,3,2.为什么要建立数学模型：,我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。,4,另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规

2、律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。,5,3.表示形式 a.微分方程 b.传递函数 c.频率特性,同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响应时可以用传递函数，研究频域响应时则要用频率特性。,6,4.建立方法 目前工程上采用的方法主要是: a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学

3、模型适用于简单的系统。,7,b.工程实验法 工程实验法：它是利用系统的输入-输出信号来建立数学模型的方法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用这种建模方法。,但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。,8,实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。,9,二.线性系统 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。 非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件

4、称为非线性元件。,10,2-1 引言,一.数学模型 工程控制中常用的数学模型有三种：,微分方程-时域描述 传递函数-复域描述 频率特性-频域描述 本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型,11,如果元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t）， 对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t） 如果r（t）=r1（t）+r2（t）时， c（t）=c1（t）+c2（t） 满足迭加性 如果r（t）=ar1（t）时， c（t）=ac1（t） 满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。,12,线性系统重新定义：若组成系统的各元件均为线性元件，则系统为线性系统。 例如y=kx是线性元件 线性元件一定

5、满足迭加性和齐次性。 输入x1y1输出 x2y2 输入x1 x2 对应输出y1 y2 满足迭加性 k为常数， kx1ky1 满足齐次性,所表示的元件为 线性元件,13,y=kx+b(b为常数0)线性方程， 但所表示的元件不是线性元件. 为什么呢？ 输入x1y1输出 y1kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入x1 x2输出y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性,14,k为常数:kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1不满足齐次方程。 线性方程不一定满足迭加性和齐次性。 所表示的元件不是线性元

6、件。,15,又例如：元件的数学模型为：,元件的数学模型为：,16,2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用： 欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。,17,齐次性表明：,当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题。,18,一.微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理

7、规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。,2-2 微分方程的建立及线性化,19,动态微分方程式的编写,目的：确定被控量与给定量或扰动量间的函数关系。 机理法建立数学模型的一般步骤： 分析系统工作原理和能量、信号变换过程，确定系统和各元件的输入输出量。 由输入开始依次由物理规律列写各部分方程。 消去中间变量，得到描述系统输入输出变量关系的数学模型（微分方程）。 标准化（如输入在右，输出在左，降幂排列导数等）,20,例1.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。,21,求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程.输入量

8、为外力F，输出量为位移x。(p.22),解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中， m为质量， f 为粘性阻尼系数， k 为弹性系数。,22,首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。,23,写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的 左边，输入写在方程右边，而且微分的次数 由高到低排列 。 机械平移系统的微分方程为：,这也是一个两阶定常微分方程。x为输出量，F为输入量。,24,例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)

9、作用下，电容上电压uc(t)的变化。,25,依据：电学中的基尔霍夫定律,由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t),（两边求导）,26,这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟 机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的， 看似完全不同的系统，具有相同的运动规律， 可用相同的数学模型来描述。,整理成规范形式,机械平移系统的微分方程为：,27,需要讨论的问题之一： 1、相似系统和相似量：,我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。,可见, 不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,若令 （电荷），则例2-2的结果变为：,28,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂

10、的系统，实现仿真研究。,定义 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 分别与 为相似量。,29,30,整理 (消去中间变量i=ia, ea , m,保留输入和输出的关系)得:,电枢电路电压平衡方程,电机反电势方程,电磁转矩方程,电机轴上转矩平衡方程,31,工程上允许忽略La时,方程变为:,这是一阶微分方程.,工程上进一步允许忽略Ra,J时,方程变为:,这是代数方程,表示电机为一个线性元件.,需要讨论的问题之二：由上例可见,经不同的适当的工程处理,同一物理系统可以有不同形式的数学模型.(输入输出不变),这是二阶微分方程。,32,二 非线

11、性数学模型线性化,实际的物理元件都存在一定的非线性，例如：电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关; 电动机本身的摩擦、死区 若所得模型为非线性方程，因非线性系统一般不能应用叠加原理，数学上处理困难，为了便于理论分析，经常采用线性化方法，得到系统的线性模型（对于非线性函数，在其工作点处展开成台劳级数，略去二次以上得高阶项，得到线性化方程）,得到系统的小信号偏差线性模型后，就可解线性常微分方程得到系统运动规律。,33, 将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法，称非线性微分方程的线性化。 小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小，这种线

12、性化通常称为小偏差线性化。,34,二.非线性元件的线性化 1.几种常见的非线性,35,非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。 2.线性化的方法 （1）.忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）,36,例:单摆运动.输入:外力为0,输出:摆动幅度(角度) (t),M摆质量,l-摆长,f-阻尼系数,g-重力加速度,摆的位移x(t)=l*(t),线速度 ,加速度,由牛顿定律,得,这是二阶非线性微分方程.

13、当很小时, 代入上式,得,这是一种局部线性化处理方式.,37,（2）.偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。,38,需要讨论的问题之三： 若描述系统的数学模型是非线性(微分)方程,则相应的系统称为非线性系统,这种系统不能用线性叠加原理.在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的.但在工程应用中,除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况,一

14、般采用近似的线性化方法。对于非线性方程,可在工作点附近用泰勒级数展开,取前面的线性项.可以得到等效的线性环节。,39,小偏差线性化法,设连续变化的非线性函数为:y=f(x), 若取某一平衡状态A(x0,y0)为工作点,A点附近有点B(x0+x,y0+y) , 当x 很小时，AB段可近似看做线性的。,40,A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型,41,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,42,（3）.平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，

15、可用平均斜率法得线性化方程为,(死区)电机,43,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,44,归纳,1.分析法建模必须清楚系统内部的运动规律 2.建模步骤: 定输入,输出变量 根据有关定律列写微分方程 消去中间变量,并写成数学模型的标准形式 (输出在左,降幂排列) 3.数学模型是对实际系统的抽象,为仿真奠定了基础,也使研究更有效 4.系统具有相对性(相似系统:一个模型多种系统;一个系统多种模型.有时,系统是一个更大系统的一个环节;有时,它又可以分解成若干个小系统),45,线性定常微分方程的求解： 研究

16、控制系统在一定的输入作用下,输出量的变化情况。方法有经典法,拉氏变换法和数字求解。 自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。,1.拉氏变换求微分方程解的步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换,将时域微分方程转换为s域的代数方程。 对代数方程解求拉氏反变换,求得输出函数的时域解。,46,例2-6:RLC串联电路的微分方程求解.(课本 p.25,电路图见例2-1),已知:L=1H,C=1F,R=1,输入ui(t)=1(t) v 初始条件为:u0(0)=0.1 v, i(0)=0.1A.求输出电压u0(t).,解：采用拉氏变换求解.,记输入,输出的拉氏变换分别为:Ui(s)=ui(t),Uo(s)=uo(

17、t) 由微分定理,有:,其中,47,以上关系代入原方程,整理得:,48,求拉氏反变换:,原方程的拉氏变换解:,其中,第一项与输入有关,与初始条件无关,叫零初始条件响应,第二项与初始条件有关,而与输入无关,叫零输入响应.,直接查反变换表无结果,可采用部分分式分解.化成反变换表上找得到的形式,如:,对右式通分,整理后的分子为: ,应等于上式左边的分子1.,再解方程组,有:A=1,B=-1,C=-1.,49,1(t),对于 还要变化一下,才能查表:,查表A-3: 22, 20,50,由拉氏反变换得:,其中,前两项与输入有关,与初始条件无关,叫零初始条件响应或零状态响应,末项与初始条件有关,而与输入无

18、关,叫零输入响应.总称单位阶跃响应.,51,2.求单位脉冲响应: 输入 时的响应 (t)可看作1(t)的导数 单位脉冲响应就是单位阶跃响应的导数.承上例单位脉冲响应为:,52,3.关于(运动的)模态的概念 (课本p.29):,1)微分方程的解分为特解和通解两部分,特解就是零初始条件响应,通解就是零输入响应(自由解)。,2)微分方程的特征方程,特征根 承上例,特征方程为 特征根为,53,5)系统的模态与输入量无关,与输出量也无关.,3)可见,微分方程的解和特征根有关.由特征根 , ,构成的函数 称为运动的模态,4)齐次微分方程的特征根无重根时,方程的通解 为其模态 的线性组合。,当有重根时,则有

19、模态,当特征根为复数时(=+j),则有模态,54,2-3 传递函数,线性系统满足叠加原理（叠加性、齐次性） 线性定常系统的两个性质： 线性定常系统输出端不会产生新的频率成分，但幅值和相位会改变。 输出的变化规律与输入及时间起点有关。,回顾：,55,拉氏变换是求解线性微分方程的简捷方法。,通过拉氏变换将线性微分方程转换成传递函数，进而用根轨迹，频率特性等方法间接分析、设计系统。,56,传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量 的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。,定义:,57,零初始条件下有两个含义：,输入量在t=0时才作用于系统，因此t=0-时，输入量及其各

20、阶导数为0; 输入量加于系统之前，系统处于稳态，即输出量及其各阶导数也为0。,58,c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入.,设线性定常系统的微分方程是,59,零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中S的最高阶次n即为系统的阶次。,60,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,61,2.性质 (1)传递函数与微分方程一一对应。 传递函数是复变量s的有理真分式函数。 1)具有复变量函数的所有性质, 2)所有系数为实数, 3)mn.,62,(2)传递函数表征了系统本身的动态特性。 G(s

21、)取决于系统或元件的结构和参数,与输入量的形式,幅度大小无关。传递函数表现系统固有的特征。 当G(s)未知时,通过对系统施加某种输入R(s),再检测系统输出C(s),就可以求出G(s)。加不同的输入,得到不同的输出,但比值相同。,63,(3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 传递函数是系统的一种外部表达, 它不能反映系统内部的各种状态. (建模时的中间变量就是一些系统状态),64,(4) 不同的物理系统可以具有完全相同的传递函数。传递函数反映了数学模型的抽象性质.,65,(5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。

22、 传递函数和微分方程都是系统的数学模型.传递函数的运算符(算子)是S,微分方程的运算符(算子)是d/dt,可互相置换.不过传递函数要求零初始条件.,66,(6) 当系统不变,选择不同的位置引入(施加)输入信号或引出输出信号时,显然,得到的是不同的传递函数. 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统.若系统有多个输入信号,在求传递函数时,每次施加一个输入,其它的输入量一概视为零. 如给定和扰动是两个输入,它们共同作用时,输出可以通过叠加原理求得.(分别求,再叠加) 注意,输出响应可以叠加而传递函数不能叠加!,67,(7)脉冲响应是传递函数的拉氏反变换 脉冲响应(脉冲过渡函数) g(t)是系统在单

23、位脉冲输入时的输出响应。 可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，通常称为脉冲响应函数。,68,建模:通常由微分方程经拉氏变换求传递函数。电路的运算阻抗法可以不通过微分方程,直接求传递函数:电阻R的运算阻抗就是R,电感L的运算阻抗是Ls,电容C的运算阻抗是1/(Cs),用运算阻抗置换电路中的相关量,根据电路定律直接写出:,69,例5:求双T网络的传递函数,70,解：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组：,方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：,71,72,注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：,73,

24、与双T网络相比少一个交叉项 ，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到 两端时， 已不再是原来的 ，也就是说 中的电流= 中的电流+ 中电流，不再等于 中的电流。只有当 与其余值相比很小可略而不计时，双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联。,74,例6：求下图所示运算放大器的传递函数。 图中Rf是反馈电阻，if是反馈电流，Ri是输入 电阻，ur和ir是输入电压和电流，uc是输出电 压,i0是进入放大器的电流。,75,运算放大器具有高增益k=105109,而通常uc小于10伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压u近似等于0，这种

25、反相输入端电位为0的现象，是运算放大器的共同特点，叫做“虚地”，又因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器的电流i0也近似等于0。这个现象叫做“虚断”，ir=if , 由此导出： ，即: 所以运算放大器的传递函数为:,76,这个结论可以推广为： 运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗与输入复阻抗之比。,77,例7：求图b所示有源网络的传递函数,。,78,3 传递函数的表达式 传递函数一般是复变函数，可以变换为各种形式。 (1). 有理分式形式 (2). 零极点形式 (3). 时间常数形式,79,(1)有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的

26、特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。 分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。,80,( 2)零极点形式（根轨迹法使用较多） 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 ; nm,81,式中 ，称为系统的零点； 为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“ ”表示极点位置，用“ ”表示零点,82,

27、例如，传递函数 的零极点图如图2.9所示。,83,( 3)时间常数形式（频率法中使用较多 ） 将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得,84,4. 典型环节的数学模型,什么是典型环节? 不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。,常见典型环节: 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。,85,(1). 比例环节,特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系,传递函数：,86,比例环节的图形表示,87,88,负载效应：

28、输出端有负载的影响,89,(2). 惯性环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程,环节中有一个贮能元件，当输入做阶跃变化时，其输出不是立即达到相应的平衡状态，其变化律用指数曲线表达 。,90,在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当 时输出量才接近稳态值。,单位阶跃响应：,91,注：以下用输入输出象函数代替时间函数，将线性微分方程变换成线性代数方程来求传递函数 R,C,L等元件电压电流间的约束关系：,92,例：,暂态特性： 若输入为单位阶跃，则,93,惯性环节的单位阶跃响应,94,求传递函数,95,96,97,98,当输入为单位阶跃函数时,有 ，可解得： ，式

29、中：k为放大系数，T为时间常数。,传递函数：,99,(3). 积分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：,100,暂态特性： 若输入为单位阶跃，则,101,常见物理系统：电机拖动系统 设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴角位移为输出量，则 电动机角速度与角度间的传递函数为积分环节,102,(4). 微分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：,103,微分环节： 微分环节的时域形式有三种形式： ,相应的传递函数为： ,分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实

30、数和一对共轭复数（当 ）。在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节。,104,常见物理系统：RC电路,纯微分环节和惯性环节的串联组合,105,式中：,一阶微分环节和惯性环节的串联组合,106,(5). 振荡环节,包含两个储能元件，输入发生变化时，两个储能元件能量互相交接 。阶跃输入下，暂态响应可能作周期性的变化。,107,108,典型二阶系统的暂态特性分析：,109,令：,单位阶跃响应：,110,振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则振荡衰减越快。,111,振荡条件：

31、,112,常见物理系统：弹簧阻尼系统,机械旋转系统,RLC电路,113,(6). 纯滞后环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,又称时滞/时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号。,114,延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：,115,（7）其他环节：,还有一些环节,如,它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。,116,传递函数小结,传递函数的基本概念(定义及性质) 建模传递函数(由微分方程和系统原理图出发) (电路系统可直接应用复数运算阻抗来求传递函数) 典型环

32、节及其传递函数(单位阶跃响应及其零极点分布),117,2-4 控制系统的结构图,一.结构图的概念和组成 1.概念,控制系统的结构图是描述系统各元件之间信号传递关系的数学图形。系统结构图能反映系统的组成和信号流向,还能表示信号传递过程中的数学关系.系统结构图也是系统的数学模型,是复域的数学模型。,118,2. 组成 (1) 信号线(带箭头的直线或折线),箭头表示信号流向. (2)引出点：引出点表示信号引出的位置。 一条信号线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,119,(3)比较点：比较点表示对两个以上的信号进行加减运算。 加号常省略 负号必须标出,120,(4)方框：方框表示对信号进

33、行的数学变换。 有输入信号，输出信号，信号线，方框内的函数为输入与输出的传递函数。,121,系统的结构图由以上4个基本单元组成。结构图中的方块内写传递函数，方块与实际环节或系统并非完全一一对应,可多对一,一对一或一对多.,122,物理系统的结构图绘制方法:,二.结构图的绘制,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的 因果关系（输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的结构图。,123,例1：绘制无源网络的结构图,124,画方块图(建模) 例2：绘制下列R-C双T网络的结构图,125,解:(1)根据电

34、路定理列出方程,写出对应的拉氏变换,也可直接画出该电路的运算电路图如图(b),(2)根据列出的算式作出对应的框图。 (3)根据信号的流向将各方框依次连接起来。,126,127,对上述图形求输入到输出的传递函数,还须作等效变换,化简方块图。 等效变换: 即变换前后,输入和输出变量保持不变,方块得到简化。 1)三种基本连接形式:串联,并联,反馈,三.结构图的等效变换,128,特征:前一环节的输出量就是后一环节的输入量.由定义,结论：总的等效传递函数等于所有串联环节传递函数的乘积,串联,129,特征:输入信号是相同的,均为R(s),输出C(s)为各环节的输出之和.,结论：总等效传递函数等于所有并联环

35、节传递函数的和,并联,130,前向通道传函G(s), 反馈通道传函H(s), 误差或偏差信号E(s),开环传函G(s)H(s), 闭环传函(s).,注意:当正反馈时,上述公式中的“+”号应改为“-”号.,开环传函 指在输入信号与反馈信号的比较点处断开反馈回路,以反馈信号B(s)作为输出信号时,所得到的传函.,注意:“开环控制系统”和“开环传函”两个概念中“开环”的区别:前者指无环(无反馈)的系统,后者指打开闭环得到的传函.,反馈,131,(4)比较点和引出点的移动规则 在系统简化过程中为便于进行串联,并联,反馈三种基本连接形式，需要移动比较点和引出点的位置。 根据移动前后所得的信号保持不变的等

36、效原则，可将比较点和引出点顺着信号流向或逆着信号流向移动。,132,分支点前移示意图,133,分支点后移示意图,134,引出点移动前后，分支路信号是保持不变的。 结论： 引出点前移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数的函数方框； 引出点后移时，必须在分出支路串入具有相同传递函数倒数的函数方框。,135,比较点前移动示意图,136,比较点后移动示意图,137,相加点移动前后，分出支路信号保持不变。 结论： 相加点前移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数倒数的函数方框。 相加点后移时，必须在移动的相加支路中，串入具有相同传递函数的函数方框。,140,141,(6)、结构图简化法求系统

37、的传递函数,步骤: （1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路； （2）确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。 （3）通过比较点和引出点的移动消除交错回路。 （4）先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。,142,例9: p51 例2-15 试简化系统结构图，并求系统传递函数。,143,144,例10：试用结构图等效化简图a所示系统的传递函数,146,147,148,149,150,例利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,总的结构图如下：,151,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过

38、程如下：,152,153,解：结构图等效变换如下：,例3系统结构图如下，求传递函数 。,154,155,2-5 信号流图,结构图 优点：直观完整的表达变量间的关系（方块图） 缺点：关联性复杂的系统化简繁杂，费时 信号流图 优点：无需化简，可用梅逊公式。,156,信号流图可以表示系统的传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。,方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。,15

39、7,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成。每一个节点表示系统的一个变量，而每两个节点间的连接支路为该两个变量之间信号的传输关系。信号流向由支路上的箭头表示，而传输关系（增益，传递函数）则标注在支路上。,158,一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图：,信号流图的概念,节点：节点表示变量。以小圆圈表示。 支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号。,159,上图中， 两者都具有关系: 。

40、支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支路。,信号流图的概念,160,信号流图的术语,几个术语：,输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： C,混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q 。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。,前向通路：信号从输入节点到输出节点传输时，每个节点只通过一次的通路叫前向通路。,输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如： R，N。,161,回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。,互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路

41、。,信号流图的术语,通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。,回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。,162,信号流图的等效变换,163,信号流图的等效变换,164,信号流图的性质,节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任

42、意的，因此信号流图不是唯一的。,信号流图的性质,165,信号流图的绘制： 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。 由系统结构图绘制。 根据结构图绘制信号流图，可在结构图上标出节点，然后画出信号流图。,166,书上例2-18，见书P57 ，画出图2-31(书图2-43)所示系统方块图的信号流图。,图2-31系统方块图,解： 在结构图的信号线上用小圆圈表示各变量对应的节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方块，便得到支路,注意：在比较点之后的引出点只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。,在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的

43、,167,Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅森公式方便的写出系统的传递函数。 由于系统结构图和信号流图信号流图之间有对应关系，所以梅森公式也可直接用于系统结构图。,梅森（Mason）公式,168,梅逊公式的推导,梅逊公式的来源是根据克莱姆法则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。,169,梅逊公式的推导,由信号流图得一组代数方程式,整理为：,170,用克莱姆法则求解以上线性联立方程组的解 ，可求得该方程组的系数行列式,171,根据克莱姆法则得传递函数为,分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，信号流图的

44、主要特点取决于回路的类型和数量。,172,梅逊公式,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数） 其表达式为：,式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：,二、梅逊公式,173,第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；,梅逊公式,174,梅逊公式,信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。,175,应用梅森公式求传递函数步

45、骤： 1） 观察信号流图，找出所有的回路，并写出它们的回路增益L1，L2，L3 ， ； 2） 找出所有可能组合的2个，3个， 互不接触（无公共节点）回路，并写出回路增益； 3） 写出信号流图特征式； 4） 观察并写出所有从输入节点到输出节点的前向通道的增益； 5） 分别写出与第k条前向通道不接触部分信号流图的特征式； 6） 代入梅森增益公式。,176,解：先在结构图上对应每个信号(线)标出节点,原结构图上的比较点和分支点也是节点,结构图上的方块改为支路上的增益,负反馈移到增益中,改画出信号流图如下,有把握时再考虑合并一些点：,例：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。

46、,比较点后添加的节点可简化,177,有两个互不接触回路:,（因为三个回路都与前向通道接触。）,总传输为：,有一个前向通道:,有三个回路:,178,讨论：信号流图中，如a点和b点之间的传输为1，但是这两点不可以合并。因为a点输出和b点输入的信号数量不一样。如果合并的话，总传输将不一样，不等效。,上图中,a和b可以合并(u i和ue , I1和I 也可以合并)。(串联关系),应用Mason公式可以不考虑流图的化简,但是由结构图转换为信号流图时,要注意转换无误!,179,2-6 反馈控制系统的传递函数,自动控制系统在工作过程中受到参考输入和扰动输入这两类输入的作用，参考输入通常作用在控制装置的输入端

47、，而干扰输入一般作用在受控对象上，但也可能出现在其它元部件上，甚至在输入信号中。反馈控制系统一般如图2.18所示。,180,闭环系统的输出信号对于参考输入信号的传递函数称为闭环传递函数。为了求取系统闭环传递函数，令 ，即,一. 参考输入作用下闭环传递函数,(参考输入作用下的结构图),181,由结构图简化规则，系统的闭环传递函数为: 可见，系统的闭环传递函数的分子是前向通道传递函数，分母是开环传递函数与1之和。,182,(扰动输入作用下的结构图),二. 扰动输入作用下闭环传递函数,183,为了求取扰动作用下的闭环传递函数，令 r(t)=0，即R(s) =0，由结构图简化规则，系统的闭环传递函数为:,184,三.参考输入和扰动输入共同作用下系统的输出,在参考输入和扰动输入单独作用下的输出信号分别为:,185,因为系统是线性的，满足叠加原理，所以，在参考输入和扰动输入共同作用下，系统的输出为:,186,四.系统在参考输入和扰动输入作用下的误差信号,1. 参考输入单独作用下的误差传递函数,2. 扰动输入单独作用下的误差传递函数,系统在参考输入和扰动输入共同作用下的误差信号为:,187,梅逊公式|例6,注意：信号流图与结构图的对应关系；仔细确定前向通道和回路的个数。,例画出结构图对应的信号流图，数数有几个回路和前向