《第四章 地球椭球数学变换(8-9节).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 地球椭球数学变换(8-9节).ppt（77页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1,4.8 地图数学投影变换的基本概念,1、地图数学投影变换的意义和投影方程,所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。,投影变换的基本概念,2,2 、地图投影的变形 1.长度比 : 长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。 不同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同,投影变换的基本概念,3,2.主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在
2、平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。,投影变换的基本概念,4,投影变换的基本概念,以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。,5,3.投影变形 1）长度变形,投影变换的基本概念,6,2）方向变形,投影变换的基本概念,7,3）角度变形： 角度变形就是投影前的角度u 与投影后对应角度u之差,投影变换的基本概念,8,4）面积变形：P-1 4.8.3 地图投影的分类 1.按变形性质分类 1）等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。 2）等积投影：
3、投影前后的面积不变形. 3）任意投影：既不等角，又不等积.,投影变换的基本概念,9,2.按经纬网投影形状分类 1）方位投影 取一平面与椭球极点相切， 将极点附近区域投影在该 平面上。纬线投影后为以 极点为圆心的同心圆，而 经线则为它的向径，且经 线交角不变。,Light Source,投影变换的基本概念,10,2）圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。,投影变换的基本概念,11,3）圆柱(或椭圆柱)投影 取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。,投影变换的基本
4、概念,12,3.按投影面和原面的相对位置关系分类 1)正轴投影：圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影，称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。 2)斜轴投影：投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。 3)横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。 除此之外，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥，割圆柱投影等。,投影变换的基本概念,13,4.9 高斯平面直角坐标系 1、 高斯投影概述 控制测量对地图投影的要求 （1）采用等角投影(又称为正形投影) （2）长度和面积变形不大 （3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式
5、把各区域联成整体 高斯投影描述,高斯平面直角坐标系,14,高斯平面直角坐标系,想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面 。,15,投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围； 1）分带原则 （1）限制长度变形使其不大于测图误差； （2）带数不应过多以减少换带计算工作。,我国规定按经差6和3进行投影分带。,高斯平面直角坐标系,2）分带方法,16,高斯平面直角坐标系,6带: 自0子午线起每隔经差
6、6自西向东分带，依次编号1，2，3，60。我国6带中央子午线的经度，由73起每隔6而至135，共计11带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示。 带号及中央子午线经度的关系： ,3带: 自东经1.5子午线起，每隔3设立一个投影带， 依次编号为1，2，3， ， 120带；中央子午线经度依次为3, 6, 9, , 360。,带号及中央子午线经度的关系：,17,.5带或任意带: 工程测量控制网也可采用.5带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6或3带相联系。,n=L/3(四舍五入) 3,高斯平面直角坐标系,18,高斯平面直角坐标系,例：某控制点 P 点,按3带：,按6带：,19,高斯平面直角坐标
7、系,试分别计算北京与武汉两点在3带和6带其所属的带号及中央子午线经度。,北京：,武汉：,北京：3带,6带,20,武汉 ：3带,6带,高斯平面直角坐标系,21,高斯平面直角坐标系,22,在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。,高斯平面直角坐标系,23,6带与3带的区别与联系区别 6带：从 0子午线起划分，带宽6 ，用于中小比例尺（1：25000以下）测图； 3带：从 1.5子午线起划分，带宽3，用于大比例尺（如1：10000）测图。 3带是在6带的基础上划分的，6带的中央子午线及分带子午线均作
8、为3带的中央子午线，其奇数带的中央子午线与6带中央子午线重合，偶数带与分带子午线重合。,高斯平面直角坐标系,24,高斯平面直角坐标系,国家统一坐标,在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。,例如： Y=19 123 456.789m 该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去 500 000m，最后得 y = -376 543.211(m)。,25,高斯平面直角坐标系,分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不
9、能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。,26,高斯投影特点： 正形投影，保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。 由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。,高斯平面直角坐标系,27,2、椭球面元素化算到高斯投影面,28,3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的。,椭球面三角系归算到高斯投影面的计算,1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平
10、面直角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角及方向改化实现的。,29,因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。,当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。,4) 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化实现的。,30,正形投影的一般条件,4.9.2 正形投影的一般条件 1、长度比的通用公式,31,正形投影
11、的一般条件,32,正形投影的一般条件,将上述两式代入（4-334）式，整理，令,33,正形投影的一般条件,34,正形投影的一般条件,2、柯西.黎曼条件,35,正形投影的一般条件,正形条件m与A无关，即满足：,36,正形投影的一般条件,则有：,柯西-黎曼条件,37,正形投影的一般条件,考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为,38,把 代入（4-347），考虑下式,正形投影的一般条件,39,柯西-黎曼条件的另一种解释方法,正形投影的一般条件,40,正形投影的一般条件,如果点在子午线上：L=常数，dl=0,如果点在平行圈上：B=常数 dB=0,41,正形投影的一般条件,三角形ABB与ACC相似,42
12、,高斯投影坐标正算,4.9.3 高斯投影坐标正反算公式,1、高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件： (1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。,高斯投影坐标正算公式推导如下：,43,高斯投影坐标正算,1) 由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。,2) 由第三个条件正形投影条件,44,由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式,高斯投影坐标正算,45,高斯投影坐标正算,m0=? ) 由第二条件可知，位于中央子午线
13、上的点，投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。,即当 l=0 时,46,高斯投影坐标正算,47,高斯投影坐标正算,将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m,48,高斯投影坐标反算,2、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐标 (B，L)，相应地有如下投影方程：,同正算一样，对投影函数提出三个条件。,49,高斯投影坐标反算,1) 由第一个条件可知,2) 由第三个条件，正形条件,50,高斯投影坐标反算,51,高斯投影坐标反算,3) 由第二条件,依次求各系数,因为,所以,52,高斯投影坐标反
14、算,53,高斯投影坐标反算,54,高斯投影几何解释,3、高斯投影正反算公式的几何解释,55,高斯投影几何解释,56,高斯投影的特点,高斯投影的特点 (1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。,57,高斯投影的特点,(2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。 (3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。,58,4.
15、9.4高斯投影坐标计算算例,1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) A001 2463376.6502 49592.0721 2) GDZ80 (6378140,298.257) A001 2463377.7973 49592.0955 3) BJ54 (6378245,298.3) A001 2463420.5657 49592.9084,A001：,59,平面子午线收敛角,4.9.5 平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义,60,2、公式推导 1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角的公式,平面子午线收敛角,61,(1)为l的奇函数，而且l愈大，也愈
16、大； (2)有正负，当描写点在中央子午线以东时，为正；在西时，为负； (3)当l不变时，则随纬度增加而增大,平面子午线收敛角,62,平面子午线收敛角,2.平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角的公式,63,方向改化公式,4.9.6 方向改化公式,64,方向改化公式,1、方向改化近似公式的推导 在球面上四边形ABED的内角之和等于360+ 由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即,65,方向改化公式,66,方向改化较精密公式,方向改化公式,67,方向改化公式,68,4.9.7 距离改化公式,69,1) s与D的关系,70,当取最大40，s=50km时，代入上式得。因此，用D代替s在
17、最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D,71,2、长度比和长度变形,1）用大地坐标 (B , l) 表示的长度比m的公式,72,2）用平面坐标 (x , y)表示的长度比m的公式,73,(1)长度比m只与点的位置 (B，l)或 (x ,y) 有关。 (2)中央子午线投影后长度不变。 (3)当y0(或l)时， m恒大于1。 (4)长度变形(m-1)与y（或l）成比例地增大 ,而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形 。,74,3、距离改化公式 将椭球面上大地线长度S描写在高斯
18、投影面上，变为平面长度D。,75,4.9.8 高斯投影的邻带坐标换算 (1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带)的控制网,76,邻带换算方法：,(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 (3)当大比例尺(110 000或更大)测图时，特别是在工程测量中，要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带(或1.5带、任意带)之间的相互坐标换算问题。,77,算例： 已知点 x=2789505.2662 y=67803.3799 L0=114o30 a=6378245, f=298.3 求该点在中央子午线L0=115o30的坐标？ 参考答案：B=25.1235 L=115.1022 X=2789375.8156, y=-32977.4906,