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1、1、纯弯曲,一般情况下，梁的横截面上既有剪力，又有弯矩。剪力是相切于横截面的内力系的合力；弯矩是垂直于横截面的内力系的合力。因此，剪力只与横截面上的切应力 有关；弯矩只与横截面上的正应力有关。,若梁的某段上各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲称为纯弯曲。而既有剪力，又有弯矩的梁的弯曲，称为横力弯曲。,AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力横力弯曲,CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力纯弯曲。,44梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,2 纯弯曲时横截面上的正应力,矩形截面梁实验观察,考虑一段纯弯曲梁，若只用静力平衡条件，不能找出应力分布规律，因此先来
2、做一个实验。,2 纯弯曲时横截面上的正应力,实验观察结果,变形前,变形后,（1）变形后 mm nn 仍为直线，但相互倾斜了一个角度，并仍然垂直于弯曲后的纵向线aa,bb,（2）所有纵向线都弯曲成曲线，靠近底面的纵向线伸长，靠近顶面的纵向线缩短，而位于其间某一位置的一条纵向线长度不变。,2 纯弯曲时横截面上的正应力,（3）原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。,假设,根据实验观察到的纯弯曲梁外表的变化，可以推断梁的内部变形，从而启发人们提出如下假设：,（1）梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，但仍垂直于梁变形后的轴线平面假设。,2 纯弯曲时横截面上的正应力
3、,（2）所有与轴线平行的纵向纤维都是轴向拉伸或压缩的（即纵向纤维之间无挤压）。,变形前,变形后,根据平面假设，把梁看成是由无数根纤维所组成的。因为梁的上部纤维缩短，下部纤维伸长，所以其中必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，把它叫做中性层。,中性层和横截面的交线，叫做中性轴。这样一来，弯曲变形的特点可以归结为：各横截面绕中性轴转动，中性层以下的纤维伸长，中性层以上的纤维缩短。,3、纯弯曲时正应力公式的推导,变形应变应力应变关系应力,变形几何关系 物理关系 静力学关系,3、纯弯曲时正应力公式的推导变形几何关系,从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段:,中性层位于CC,mm 变形前长度:,mm 变形后长度:
4、,mm 位置的线应变:,表明: 距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比,3、纯弯曲时正应力公式的推导物理关系,纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，满足胡克定律:,代入几何关系,得到,3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系,前面推导了横截面上的正应力分布规律，但还不能计算正应力，主要是因为曲率半径和中性轴的位置均还未知。还需要从静力学关系求出。,取对称轴为y轴，中性轴为z轴，过y，z轴的交点并与梁的纵向线平行的轴为x轴。,纯弯曲梁上只有正应力。把横截面分成无数微面元，在坐标（y，z）处的微面元dA上作用着微内力dA。横截
5、面上这些微内力构成空间平面力系，并且可以组成三个内力分量：,3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系,由截面法可知：纯弯曲情况下,即横截面对 z 轴的静矩等于零,表明Z轴（中性轴）通过截面形心,由此确定了中性轴的位置。,该式自动满足。,3、纯弯曲时正应力公式的推导静力学关系,横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩,1 / r 为梁轴线变形后的曲率,EIz越大 1 / r 越小,EIz 梁的抗弯刚度,3、纯弯曲时正应力公式的推导,M 该点的弯矩,Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩,3、纯弯曲时正应力分布关系,对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则s ( y )沿截面高度的
6、分布规律:,受压一侧正应力为负， 受拉一侧正应力为正,3、纯弯曲时正应力分布关系,由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。,取,Wz 抗弯截面系数（抗弯截面模量）,3、纯弯曲时正应力分布关系,实心矩形截面的抗弯截面系数,实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数,4、梁横力弯曲时横截面上的正应力,梁在横力弯曲时，横截面上既有正应力又有切应力。,在横力弯曲下，横截面不再保持平面，而且往往也不能保证纵向纤维之间没有挤压。虽然横力弯曲和纯弯曲之间存在这些差异，但进一步的分析表明，用纯弯曲梁的正应力公式计算细长梁横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差，其计算结果仍能够满足工程问题的精度要求
7、，因此下面的式子仍然适用:,1、梁横力弯曲时横截面上的正应力,对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:,弯矩最大的截面并不一定是危险截面。,梁的最大正应力不仅和弯矩M 有关，而且和截面的形状尺寸有关。,例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1-1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,求应力,(压应力),求曲率半径,5、梁的正应力强度条件,等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处，而该点的切应力等于零或与该
8、点的正应力相比很小。此外，纵截面上由横向力所引起的挤压应力可略去不计。因此，可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单轴应力状态。于是，可以按照单轴应力状态下的强度条件的形式来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力不超过材料的许用弯曲正应力。即,按上式可对弯曲梁进行强度校核，选择梁的截面，或确定梁的许可荷载。,5、梁的正应力强度条件,关于材料的许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆的横截面上正应力的变化规律不同，材料的弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉应力略高。
9、,对于用铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的许用拉应力和许用压应力不同，而梁横截面的中性轴往往也不是对称轴，因此，梁的最大工作拉应力和工作压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。,设有一受任意横向荷载作用的梁，在距左端x处取梁中长为dx的微段进行受力分析,在一般情况下，左右两横截面上的弯矩并不相同，因而在同一y坐标处的正应力也不相同。,1、横力弯曲矩形截面梁的切应力,1.1 切应力公式推导*,45 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,1.1 切应力公式推导*,为推导横截面上的切应力的表达式，还需要知道切应力沿截面宽度的变化规律以及切应力的方向。对狭长矩形截面，切应力沿截面宽度的变化不
10、可能很大，于是，可有下面的假设：,1）横截面上各点处的切应力必与侧边平行。,2）横截面上距中性层等远处各点处的切应力大小相等。,1.1切应力公式推导*,为了研究横截面上距离中性层 y 处的切应力 的数值，可在该处用一个平行于中性层，并与中性层距离为y的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。,根据上面的假设，可得分离体各面上的应力如图所示：,1.1 切应力公式推导*,研究 x 方向的平衡,距中性轴为 y 处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。,同理可得,1.1切应力公式推导*,研究 x 方向的平衡,顶边分布的切应力的合力 dF的大小,由,1.2 矩形截面梁的切应力公式,横截面上的剪力,整个截
11、面对中性轴的惯性矩,梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,所求切应力点的位置的梁截面的宽度。,上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。,1.2 矩形截面梁的切应力公式,对于矩形截面梁，公式可以进行转换,这样，公式可以改写为,在截面的两端，y = h/2,在中性层，y =0,如图切应力分布规律,1.3 横力弯曲时其他形状截面梁的切应力-工字形截面梁,工字形截面由翼缘和腹板组成,上翼缘,下翼缘,腹 板,由于腹板截面是狭长矩形，因此前面的假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。,经计算可得公式为,沿高度的分布规律如图,结果表明，腹板
12、几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。,1.4 横力弯曲时其他形状截面梁的切应力-圆形、圆环形截面梁,根据分析结果，圆形和圆环形截面梁的最大弯曲切应力发生在中性轴上，并且沿中性轴均匀分布，其值分别为:,圆形截面,圆环形（薄壁）截面,1.5 横力弯曲时其他形状截面梁的切应力-T形截面梁,T形截面梁上的切应力分布规律如图所示：,最大切应力位于中性轴，大小为:,横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩）,腹板宽度,1.6 组合矩形截面,如图所示，倒T形截面，若求图示A点的切应力，则在应用公式时 b 和 Sz*应该如何计算？,b 指的是A点截面宽度,S
13、z* 指的是某块面积对中性轴的静矩，图示应为哪个面积?,例 1,如图所示矩形截面梁，已知,求 危险截面上a、c、d、e、f 五点的正应力和切应力,1）确定危险截面，首先画出剪力弯矩图,危险截面位于B截面右侧,2）计算截面惯性矩,FS (kN),3）计算正应力,拉,拉,位于中性轴,压,压,FS (kN),3）计算切应力,FS (kN),对于横力弯曲下的等直梁，其横截面上一般既有剪力，又有弯矩。梁除满足正应力强度条件外，还要满足切应力强度条件。,2 切应力强度条件,等直梁的最大切应力一般发生在最大剪力所在的截面的中性轴上各点处，这些点处的正应力为0，在略去纵截面间的挤压应力后，最大切应力所在点处于
14、纯剪切应力状态。于是，可按照纯剪切应力状态下的强度条件来建立梁的切应力强度条件：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Fs较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。,在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。在选择危险截面时，通常先按正应力强度选择截面，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再进行切应力校核。除非碰到以下特殊情况：,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.
15、9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理，反之失效。,46 梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座 二、合理选择截面形状 三、合理设计梁的外形,按强度条件设计梁时，主要是依据正应力强度条件。,可见，降低最大弯矩，提高弯曲截面系数，或局部加强弯
16、矩较大的梁段，都能有效降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力，使梁的设计更加合理，工程中经常采用的措施有：,一、合理配置梁的荷载和支座 合理布置载荷,降低,（）,（）,（）,（）,（）,合理布置支座位置,（）,（+）,（-）,（-）,二、合理选择截面形状,合理截面：, 矩形截面,z,z,空心圆截面比实心圆截面合理,z, 工字形截面是由矩形演变而成,的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。,z,z,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 h/b = 1.5。,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为 时，强度最
17、大。,例4 试用弯曲正应力强度证明：从圆木（设d已知） 锯出的矩形截面梁合理高宽比为 时，强度最大。 解：要求锯出的矩形截面梁的弯曲 强度最大，则截面的W应最大。,将式（2）代入式（1）得：,等强度梁,等截面梁：W = 常数，,等强度梁是变截面梁，且各截面上的最大正应力都等于许用应力：,三、合理设计梁的外形,例5 图示悬臂梁为等强度梁，截面为矩形，宽度b = 常数， 求高度 。,解：,（绝对值）,弯曲应力小结 习题讨论,本章主要讨论了直梁弯曲时横截面上的正应力和切应力， 以及相应的强度条件。 （1）弯曲正应力及其强度条件：,（2）弯曲切应力及其强度条件,题1、已知图示简支梁， , , , 试为
18、梁选择四种截面，并比较它们的用料。,题2、一简支梁由材料及尺寸相同的两根矩形截面杆 叠合而成，两杆间无联系，为光滑接触，试求当两杆竖 叠时和横叠时的最大正应力。,对轴向拉压杆，一定要画出轴力图（注意正负号） 对扭转轴，一定要先算出扭矩或画出扭矩图（注意正负号） 对弯曲梁，一定要先算出弯矩（如有必要，还要算出剪力） 或画出弯矩图（剪力图）,几点忠告,2. 在计算轴力、扭矩，剪力和弯矩时，一定要预设出正的轴力、扭矩、剪力和弯矩方向。,3. 在计算拉压杆的总伸长，扭转轴的总扭转角，弯曲梁的挠度和转角时，一定要注意轴力、扭矩和弯矩的正负号。,4. 一些公式要四记住。,5. 代入数值进行计算时，一定要统一转换成国际单位制单位。计算完成后，在转换为工程单位。,