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1、统计、统计案例,一、主干知识 1.三种抽样方法：_、_和_. 2.利用样本估计总体： (1)利用样本的频率分布估计总体分布. 频率分布表和频率分布直方图；茎叶图.,简单随机抽样,系统抽样,分层抽样,(2)利用样本的数字特征估计总体的数字特征. 两差：_与_.,最多,方差,标准差,二、必记公式 1.数据x1,x2,，xn的平均数，方差与标准差公式： (1)平均数： (2)方差：s2= . (3)标准差：s= .,2.回归直线方程： 一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn). 其回归方程 的截距和斜率分别为 其中 其过样本点中心_.,3.独立性检验： (其中n=a+
2、b+c+d为样本容量).,1.(2013长春模拟)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( ),【解析】选B.因为平均数是： 所以 所以,2.(2013福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表： 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 若某同 学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( ),【解析】选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为y=2x2, 画出六点的散点图,回归直线的大概位置如图所示, 显然,3.(2013湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调 查，发现其用电量都在50至350
3、度之间，频率分布直方图如图 所示. (1)直方图中x的值为_. (2)在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为 _.,【解析】(1)50x=150(0.001 2+0.002 42+ 0.003 6+0.006 0)=0.22,x=0.004 4. (2)100(0.18+0.3+0.22)=70. 答案：(1)0.004 4 (2)70,4.(2013重庆模拟)某商场有来自三个国家的奶制品，其中A国、B国、C国的奶制品分别有40种、10种、30种，现从中抽取一个容量为16的样本进行三聚氰胺检测，若采取分层抽样的方法，则抽取来自B国的奶制品_种. 【解析】分层抽样即按比例抽样，共需
4、抽取B国奶制品 答案：2,热点考向 1 抽样方法 【典例1】(1)从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是_. 5,10,15,20,25 3,13,23,33,43 1,2,3,4,5 2,4,6,16,32,(2)(2013合肥模拟)某校500名学生中，O型血有200人，A型 血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与 色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本，按照分层抽样 方法抽取样本，则从O型血、A型血、B型血、AB型血的人中分 别抽_人. 【解题探究】
5、 (1)本题用系统抽样抽取的间隔为_. (2)本题分层抽样比为 .,10,【解析】(1)用系统抽样的方法抽取的导弹编号应该是k,k+d, k+2d,k+3d,k+4d,其中 k是1到10中用简单随机抽样方 法得到的数，因此只有选项满足要求. 答案：,(2)由已知得分层的抽样比为： 所以抽取O型血人数为： 抽取A型血人数为： 抽取B型血人数为： 抽取AB型血人数为： 答案：8，5，5，2,【方法总结】 1.进行系统抽样的关键及关注点 (1)关键：根据总体和样本的容量确定分段间隔，根据第一段确定编号. (2)关注点：当总体不能被样本整除时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获取整数间隔.,2.
6、分层抽样的适用条件及注意点 (1)适用条件：适用于总体由差异明显的几部分组成时的情况. (2)注意点：分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠； 为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同； 在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.,【变式训练】(1)从2 014名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 014人中，每人入选的概率( ) A.不全相等 B.均不相等 C.都
7、相等，且为 D.都相等，且为,(2)(2013天津模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入3 000,3 500)(元)段中抽取了30人，则这20 000人中共抽取的人数为( ) A.200 B.100 C.20 000 D.40,【解析】(1)选C.设个体为a,a入选必须同时具备不被剔除和按 照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是 a按照系统抽样入选的概率是 这两个事件同时发生则 a入选，故个体a入选的概率是 (2)选A.由题意得，月收入在3
8、000,3 500)(元)段中的频率 是0.000 3500=0.15，该收入段的人数是20 0000.15= 3 000，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1人，故共抽 取,热点考向 2 样本的频率分布、数字特征 【典例2】(1)甲、乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎 叶图所示， 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的 平均数，s1,s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标 准差，则有( ),(2)(2013北京模拟)某市电视台为了宣传环境保护举办问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了n人回答问题.统计结果如所给频率分布表和频率分布直方图所示.,分别求出a,b,x,y的值.
9、 从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？,【解题探究】 (1)本题甲运动员的8次成绩为_, 乙运动员的8次成绩为_. (2)由频率分布直方图知第15组的频率分别为_,_,_,_,_;n=_. 第2，3，4组回答正确的人数比为_.,8,9,14,15,15,16,21,22,7,8,13,15,15,17,22,23,0.1,0.2,0.3,0.25,0.15,100,231,【解析】(1)选B.由已知茎叶图知， 故有,(2)第1组人数50.5=10,所以n=100.1=100. 第2组人数1000.2=20,所以a=200.9=18, 第3
10、组人数1000.3=30,所以x=2730=0.9, 第4组人数1000.25=25,所以b=250.36=9, 第5组人数1000.15=15，所以y=315=0.2. 第2，3，4组回答正确的人数比为18279=231, 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.,【互动探究】题(2)在的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，则抽取人中第2组至少有一人获得幸运奖的概率为多少？ 【解析】记抽取的6人中,第2组的记为a1,a2,第3组的记为b1,b2,b3,第4组的记为c,则从6人中任取2名的所有可能的情况有15种,它们是: (a1,a2),(a1,b1),(a1
11、,b2),(a1,b3),(a1,c), (a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c), (b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c), (b3,c), 其中第2组至少有1人的情况有9种,它们是: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c), (a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c) 故所求概率为,【方法总结】 1.用样本估计总体的两种方法 (1)用样本的频率分布(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等)估计总体的频率分布. (2)用样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差、标准差)估计总体的数
12、字特征.,2.方差的计算与含义 计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大. 3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.,【变式备选】(2013辽宁高考)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，
13、且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_.,【解析】由定义知,样本的方差是各个数据与平均数之差的平 方的平均数,若设互不相同的样本数据分别为x1,x2,x3,x4,x5, 且x1x2x3x4x5(xiN,i=1,2,3,4,5),则有 (x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=4,即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,若样本数据中 的最大值为11,不妨设x5=11,则可得(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+ (x4-7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;若样本 数据为4,6,7,8,10,代入
14、验证可知符合题目要求,此时x5的最大 值为10. 故样本数据中的最大值为10. 答案：10,热点考向 3 线性回归分析与独立性检验在实际中的应用 【典例3】(1)(2013广州模拟)某工厂的某种型号的机器的使 用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料： 根据上表可得回归方程 据此模型估计，该型号机 器使用年限为10年时维修费用约_万元.,(2)(2013合肥模拟)某校高一年级理科有8个班，在一次数学考试中成绩情况分析如下： 求145分以上人数y对班级序号x的回归直线方程.(精确到0.000 1) 能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下(或有99%的把握)认为7班与8班的成绩
15、是否优秀(大于145分)与班级有关系.,【解题探究】 (1)本题样本点中心为_; =_. (2)求回归直线方程的步骤. ()计算 =_, =_， ()求 _, _， ()得回归直线方程.,(4,5),0.08,4.5,5,-0.214 3,5.964 4,【解析】(1)由表知 又 在回归直线上， 所以 所以当x=10时， =1.2310+0.08=12.38. 答案：12.38,(2) = 所以回归直线方程为, 因为1.86.635, 不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为7班与8班的成绩 是否优秀(大于145分)与班级有关系.,【方法总结】 1.求回归直线方程的关键及实际应用 (1)关
16、键：正确理解计算 的公式和准确的计算. (2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.,2.独立性检验的关键 根据22列联表准确计算K2，若22列联表没有列出来，要先列出此表.,【变式训练】(2013厦门模拟)某班同学利用国庆节进行社会 实践，对25，55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为 “低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年 龄段人数频率分布直方图.,(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值.
17、,(2)为调查该地区的年龄与生活习惯是否符合低碳观念有无关系，调查组按40岁以下为青年，40岁以上(含40岁)为老年分成两组，请你先完成下列22列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下(或能否有99.9%的把握)认定该地区的生活习惯是否符合低碳观念与人的年龄有关？,参考公式:,【解析】(1)第一组的人数为 频率为0.045=0.2,所以 由题可知，第二组的频率为0.3， 所以第二组的人数为1 0000.3=300, 所以 第四组的频率为0.035=0.15, 所以第四组的人数为1 0000.15=150, 所以a=1500.4=60.,(2)完成表格 代入公式 在犯错误的概率不超过
18、0.001的前提下(或有99.9%的把握)认为 该地区的生活习惯是否符合低碳观念与人的年龄有关.,数形结合思想 解决与频率分布直方图、茎叶图有关的问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)由频率分布直方图或茎叶图估计总体分布或其数字特征(三“数”、两“差”).(2)由频率分布直方图各矩形的面积得出各段的频率.(3)由频率分布直方图各段的频率得出各段的个体数.,2.解题思想：结合给出的频率分布直方图或茎叶图，搜索出我们需要的数据信息，进而通过计算求解问题. 3.注意事项：(1)认真观察图表，准确将图形语言转化为数字语言. (2)频率分布直方图中的每一个矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形
19、的面积之和等于1.,【典例】 (12分)(2013惠州模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40，50)，50，60)，90，100后得到如图所示的频率分布直方图.,(1)求图中实数a的值. (2)若该校高一年级共有640名学生，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数. (3)若从数学成绩在40,50)与90，100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：根据面积和等于1构建方程. 关注点：注意各小矩形
20、的高. (2)切入点：人数为640人与成绩不低于60分的频率的积. 关注点：图中成绩不低于60分的频率. (3)切入点：分别计算从两个分数段内随机抽取2名学生的取法总数与所取两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的取法数. 关注点：将这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，分类计数.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以 10(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)=1. 解得a=0.030.2分 (2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 1-10(0.005+0.010)=0.85. 由于该校高一年级共有640名学
21、生，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的学生数约为6400.85=544(名).5分,(3)成绩在40,50)分数段内的学生数为400.05=2(名)， 成绩在90,100分数段内的学生数为400.1=4(名)， 7分 设从40,50分数段的2名学生分别为A1,A2,从90,100分数段 的4名学生分别为B1,B2,B3,B4,则从6名学生中抽取2名学生的情 况为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B
22、3), (B2,B4),(B3,B4)共15种.9分,如果两名学生的数学成绩都在40，50)分数段内或都在 90，100分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对 值一定不大于10.如果一名学生的数学成绩在40,50)分数段 内，另一名学生的数学成绩在90,100分数段内，那么这 2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10. 10分 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有：(A1,A2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4) 共7种.11分 所以所求概率为 12分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移 (2
23、013北京模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶). (1)若从这6天的数据中随机抽出2天，求至多有一天空气质量超标的概率.,(2)根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？,【解析】由茎叶图可知:6天有4天空气质量未超标,有2天空气 质量超标. 记未超标的4天为w1,w2,w3,w4,超标的两天为c1,c2,则从6天抽 取2天的所有情况为: w1w2,w1w3,w1w4,w1c1,w1c2,w2w3,w2w4,w2c1,w2c2,w3w4,w3c1,w3c2, w4c1,w4c2,c1c2,基本事件总数为15.,(1)记“至多有一天空气质量超标”为事件A，则“两天都超标” 为事件 易得 所以 (2)6天中空气质量达到一级或二级的概率为 所以估计一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级. (说明：答243天，244天也正确),