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1、第五讲 非线性方程模型实验 购房贷款的利率,问题：如下是一则房产广告。不难算出，你向银行共借了25.2万，30年内共要还51.696万，约为当初借款的两倍，这个案例中贷款年利率是多少？,分析,有人可能会这样算 年利率=(51.696-25.2)/30/25.2=3.5% 错的，因为你并不是等到30年后一次性还款。,设xk第k个月的欠款数；a月还款数；r为月利率，我们得到迭代关系式 xk+1=(1+r)xk-a (2.1) 那么 xk=(1+r)xk-1-a=(1+r)2xk-2-(1+r)a-a= = =(1+r)kx0-a(1+r)k-1/r,根据a=0.1436,x0=25.2,x360=
2、0得到 25.2(1+r)360-0.1436(1+r)360-1/r=0 (2.2) 关于月利率r的高次代数方程。 年利率R=12r.,非线性方程（组）简介 若方程是未知量x的多项式，称为高次代数方程；若方程包含x的超越函数，称为超越方程。 一元非线性方程的一般形式为 f(x)=0 (2.3) 若对于数a有f(a)=0,则称 a 为方程（2.3）的解或根，也称为函数f(x)的零点。方程的根可能是实数也可能是复数。相应地称为实根和复根。如果对于数a有f(a)=0,f (a)0,则a称为单根，如果有k1,f(a)=f (a)=f(k-1)(a)=0 但f(k)(a)0,称为k重根，对于高次代数方
3、程，其根的个数与其次数相同（包括重数），至于超越方程，其界可能是一个或几个甚至无穷多，也可能无解。,常见的求解问题有如下两重要求：一种是要求定出在给定范围内的某个解，而解的粗略位置事先从问题的物理背景或应用（作图等）其他方法得知；另一种是定出方程的全部解，或者给定区域内的所有解，而解的个数未知。除少数特殊的方程可以利用公式直接求解（如4次以下代数方程），一般都没有解析求解方法，只能靠数值方法求得近似解。常见的数值方法有二分法等。 n元非线性方程组的一般形式为 fi(x1,x2,xn)=0, i=1,m (2.4) 非线性方程组的解极少能用解析法求得。常用的数值方法是Newton法、拟Newto
4、n法和最优化方法等。,解方程和方程组的MATLAB命令,roots 求多项式的根 fsolve 方程（组）数值解 fzero 求一元函数实根 solve 符号方程（组）求解,1. 多项式的根,roots(p) 多项式p的所有复根。例 x3+2x2-5的根 roots(1 2 0 -5) ans = -1.6209 + 1.1826i -1.6209 - 1.1826i 1.2419,2. 一元函数零点,fzero(F,X,tol) F为字符串表示的函数或M函数名； x为标量时，作为迭代初值；X为向量a,b时，返回F在a,b中的一个零点，这时要求F在a,b两点异号；tol为精度（缺损值1e-4)
5、. 例: y=sin(x)-0.1x, fzero(sin(x)-0.1*x,6) ans = 7.0682 fzero(sin(x)-0.1*x,2,6) ans = 2.8523,注：fzero 只能求零点附近变号的根，试用fzero求解(x-1)2=0, 看看发生了什么？,3. 非线性方程组求解,fsolve 用法与fzero类似,例：解方程组 写M函数eg2_1fun.m function y=fun(x) y(1)=4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1; y(2)=-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8;,然后用 x,y,f=fsolve(eg2_2fun,0,0)
6、x = 0.2326 0.0565 y = 1.0e-006 * 0.0908 0.1798 f = 1 注：X返回解向量,y返回误差向量，f0则解收敛。,或直接用 x,y,f=fsolve(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1).2/8,0,0) x = 0.2326 0.0565 y = 1.0e-006 * 0.0908 0.1798 f = 1 注意：fsolve采用最小二乘优化法，稳定性比fzero好，但fsolve 可能陷入局部极小。试用fsolve解x2+x+1=0,看会发生什么？不要完全相信计算机。,4.解析求解solve,例 解
7、 ax2+bx+c=0 solve(a*x2+b*x+c,x) ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2), x,y=solve(4*x-y+exp(x)/10=1,-x+4*y+y2/8=0,x,y) x = .23297580773115396971569236570313 y = .58138324907069742242891748561961e-1 注意所得的解与fsolve的不同。 注意：虽然solve可用于求数值解，但速度很慢，且有很大的局限性，不提倡使用。,数值解法：图解法和迭代法,1. 图解法 例 解方程
8、 sin(x)=0.1x （2.5),显然，解在-10,10内，函数y=sinx-0.1x的零点就是(2.5) 的解， 作出y=sinx-0.1x 在-10,10范围内的图象（图2.1）,可看出根的大致位置。 作图可使用如下MATLAB语句： close;fplot(sin(x)-0.1*x,-10,10);grid;,可知8.5,7,3,0 附近各有一解。,（在figure窗口用matlab的zoom命令演示）,2、迭代法（牛顿法，切线法）,求f(x)=0的解，从几何上说xk+1为用f(x)在xk处的切线代替f(x)求得的解，故也称为切线法。当初值x0与真解足够靠近，Newton迭代法敛。单
9、根快，重根慢。迭代格式：,例 求如下方程的正根（要求精度=10-6） x2-3x+ex=2,解：令f(x)=x2-3x+ex-2,f(0)=-12, f(x)0,f(x)0,即f(x)单调上升，根在 0，2，先用图解法找初值。 fplot(x2-3*x+exp(x)-2,0,2);grid on;,唯一正根在1附近，取x0=1,迭代格式,M脚本eg2_2.m clear,e=1e-6;format long; x1=1 x0=x1+2*2;%使while成立 while(abs(x0-x1)e) x0=x1,x1=x0-(x02-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0)
10、end;format 得x1 = 1.44623868596643,贷款利率问题求解,考虑方程(2.2). 常识上，r应比当时活期存款月利率略高。用活期存款月利率0.0198/12作为迭代初值，用fzero求解。 （使用Matlab) r=fzero(25.2*(1+x)360-(1+x)360-1)/x*0.1436,0.0198/12), R=12*r r = 0.0046 R = 0.0553,练习,1、作出f(x)=xsin(1/x)在-0.1,0.1 内的图，可见在x=0附近f(x)=0有无穷多个解，并设法求出它的解。 2、（月还款额）作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答用户各方面
11、的问题。现在有个客户看中了贵公司一套建筑面积为120m2,单价5200元/m2的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（年利率5.58%)。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。,补充：混沌 线性迭代要么收敛于它的不动点，要么趋于无穷大；而不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大，也可能趋于一个周期解，但也可能在一个有限区域内杂乱无章地动弹，由确定性运动导致的貌似随机的现象称为混沌现象。下面就Logistic迭代研究这一现象。,1. 昆虫数量的Logistic模型,xk表示第 k代昆虫数量（1表示最大值）。(2.7) 式反映了下一代对上一代的既依赖又竞争的关系。当上一代很少
12、，繁殖能力不够，从而后代很少；当上一代很多，会吃掉很多食物，后代难以存活，从而后代很少。 a为资源系数，0 a 4保证了 xk 在区间(0,1)上封闭。,2. 平衡与稳定 称 a为映射g(x)的平衡解或不动点，若g(x)=ax(1-x). 解方程 x=ax(1-x) 得(2.7)式两个不动点0和1-1/a. 若初始值恰好为不动点，迭代式(2.7)的只永不改变。如果对于不动点x0附近的初始值，(2.7)收敛与此不动点，我们称这一不动点是稳定的。 当0x1, 不动点0不再稳定，而由|g(1-1/a)|=|2-a|1可知1a3时不动点1-1/a 稳定，说明资源适当时，昆虫稳定于一定数量。,3. 周期
13、解、分叉和混沌 称a为映射g(x)的周期k点，若gk(a)=a,而对任意 jk,gj(a) a（这里gj表示g的j次复合）。并称 a,g(a), ,gk-1(a)为周期 k轨道。 我们来求(2.7)的周期2轨道：解x-a2x(1-x)(1-ax(1-x)=0,solve(x-a*a*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x)=0) ans = 0 (-1+a)/a (1/2*a+1/2+1/2*(a2-2*a-3)(1/2)/a (1/2*a+1/2-1/2*(a2-2*a-3)(1/2)/a,可见当a2-2a-30,即a3,出现两个周期2解，可以证明3a ,(2.4)是的迭代序列几乎杂乱无章，
14、即所谓混沌。 下列例子可形象地显示上述现象。 例 （分叉图）对 a在0,4的不同值，画出Logistic迭代的极限形态图。 如下M文件对于每一个a值，随机产生一个初值。文件显示前20步迭代的变化。最后用第180200步迭代值表示极限形态，最后结果见图2-3。,%M脚本2_3.m clear;close;a=0:0.01:4; M=length(a);K=200;X=zeros(K,M);x(1,:)=rand(1,M); for m=1:M,for k=1:K-1 x(k+1,m)=a(m)*x(k,m)*(1-x(k,m); end,end for k=1:20, plot(a,x(k,:)
15、,.);title(k=,int2str(k);pause(2); end; plot(a,x(180:K,:),.);xlabel(a);ylabel(x);hold off;,4. 混沌的特征 混沌是由确定性系统产生的貌似随机的现象。一般认为混沌有如下几个特征 初值的敏感性：两个任意近的点出发的两条轨迹迟早会分得很开； 遍历性：任意点出发的轨迹总会进入0,1内任意小的开区间。 例 （初值的敏感性）如下M文件eg2_4.m验证了Logistic 迭代序列的初值敏感性。对于靠得很近的两个初值（相差仅1e-4),画出了两个序列50步内的误差图（图2-4)。可见10步以后，差异增大，有时甚至接近1
16、。,%M脚本eg2-4.m clear;close;a=4;e=1e-4; x=zeros(50,2);x(1,:)=0.4,0.4+e; for i=2:50 x(i,:)=a*x(i-1,:).*(1-x(i-1,:); end y=x(:,1)-x(:,2);plot(y),例子：（蛛网图）混沌的遍历性 昆虫数量的Logistic模型(eg2_5.m) xk表示第k代昆虫的数量（1表示最大可能数量）。平面迭代式：,蛛网图正好显示迭代计算x0,y0,x1,y1,的一系列变化过程。 如下M函数eg2_5.m是一个通用的logistic 蛛网图函数。作 出系数为a，初值为x0,从第m步到第n步
17、的迭代过程,function f=eg2_5(a,x0,m,n) x=0:0.01:1;y=a*x.*(1-x); plot(x,x,r,x,y,r);hold on; clear x,y;x(1)=x0;y(1)=a*x(1)*(1-x(1);x(2)=y(1); if mm, plot(x(i),x(i),x(i+1),y(i-1),y(i),y(i);end end hold off,在命令窗口执行 subplot(2,2,1);eg2_5(2.7,0.1,1,100); %收敛迭代 subplot(2,2,2);eg2_5(3.4,0.1,50,500);%周期2 subplot(2,2,3);eg2_5(3.5,0.1,50,500);%周期4 subplot(2,2,4);eg2_5(4,0.1,50,500); %混沌,可见混沌迭代对于初值为0.1，轨迹遍历了0,1区间（图 2-5）,作业 (Henon 吸引子）混沌和分形的著名例子，迭代模型为,取初值x0=0,y0=0,进行3000次迭代，对于k1000,在(xk,yx) 初亮一点（注意不要连线）可得所谓Henon引力线图。,