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1、1,第三章 动量与角动量,2,往往关心过程中力的效果：,力对时间和空间的积累效应。,力在时间上的积累效应：,平动, 冲量, 动量改变,转动, 冲量矩, 角动量改变,力在空间上的积累效应,功, 能量改变,牛顿定律是瞬时的规律。,在有些问题如宏观的碰撞、微观的散射中，,3,3.1 冲量、动量、质点动量定理,3.2 质点系动量定理,3.3 动量守恒定律,3.4 变质量系统、火箭飞行原理,3.5 质心,3.6 质心运动定理,3.7 质点的角动量,3.8 角动量守恒定律,3.9 质点系的角动量,3.10 质心系中的角动量定理,第三章 动量与角动量,4,3.1 冲量、动量、质点动量定理,定义：,力的冲量,
2、质点动量,质点动量定理,（微分形式）,（积分形式）,5,平均冲力,求：篮球对地的平均冲力,解：,篮球到达地面的速率,【TV】冲力演示,【例】质量为 m = 0.58kg 的篮球从 h = 2m 的 高度下落，到达地面后以同样速率反弹，触 地时间 t = 0.019s 。,8,3.2 质点系动量定理,：质点 i 受的合外力,：质点 j 对 i 的内力,：质点 i 的动量,对质点 i ：,对质点系：,由牛顿III定律有：,9,所以有：,令,得：,或, 质点系动量定理 （积分形式）,用质点系动量定理处理问题可避开内力。,系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。,10,3.3 动量守恒定律, 质点系的
3、动量守恒定律。,几点说明：,质点系所受合外力为零时，质点系的总动量 不随时间改变,3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。,1. 动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。,2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。,11,4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动 量守恒，尽管总动量可能并不守恒。,5. 当外力 内力且作用时间极短时（如碰 撞），可认为动量近似守恒。,6. 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基 本的定律，它在宏观和微观领域均适用。,7. 用守恒定律作题，应注意分析过程、系统 和条件。,12, 粘附 主体的质量增加（如滚雪球）,低速（v c）情况下的两类变质
4、量问题：,下面以火箭飞行为例，讨论变质量问题。,3.4 变质量系统、火箭飞行原理,这属于相对论质量问题，,此处不讨论。,度改变 m = m(v)，,还有一类变质量问题是发生在v c的情况下，,这时即使没有粘附和抛射，, 抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,质量也可以随速,13,条件：燃料相对箭体以恒速 u 喷出,t 时刻：,一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行）,1. 火箭的速度,系统：火箭壳体 + 尚存燃料,参考系：地面,先分析一微过程： t t + dt,t + dt 时刻：,喷出燃料质量 dm = dM,喷出燃料速度 v u,系统质量 M，速度v ，动量 Mv,14,剩余系统质量 M
5、dm = M + dM,剩余系统速度 v + dv,由动量守恒有：,略去2阶小量得：Mdv = udM,速度公式,t + dt 时刻：,Mv = (M + dM)(v + dv) dM(v u),15,引入火箭质量比：,得到,提高 vf 的途径：,为有效提高 N，采用多级火箭，如2、3级：,v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3,(1) 提高 u（现可达 u = 4.1 km/s） (2) 增大 N（单级火箭N 提得很高不合算）,16,t + dt时刻：,由动量定理，dt 内喷出气体所受冲量满足,2. 火箭所受的反推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻：,速度v（即主体速
6、度），动量 vdm,F箭对气dt = dm(v u) vdm,由此得火箭所受燃气的反推力为,= F气对箭dt,速度 v u， 动量 dm(v u),17,二. 重力场中的火箭发射,可得 t 时刻火箭的速度（自己推导）：,忽略地面附近重力加速度 g 的变化，,Mt ： t 时刻火箭壳和尚存燃料的质量,18,一. 质心的概念,定义质点系的质心 C 的位矢：,质心位置是质点位置以 质量为权重的平均值。,3.5 质心,19,二. 几种系统的质心, 两质点系统,m1 r1 = m2 r2, 连续体,20, “小线度”物体的质心和重心重合, 均匀杆、圆盘、环、球的几何中心是质心,【例】如图，求挖掉小圆盘后
7、系统质心坐标。,由对称性分析，质心 C 应在 x 轴上。,解：,令 为质量面密度，,21,3.6 质心运动定理,一. 质心运动定理,质点系的总动量,是质点系“平均”速度,22,由, 质心运动定理,得,球向哪边移动？,质心运动：像一个质点的运动，该质点位于 质心处，且集中了整个质点系的 质量和所受外力。,【思考】,通常所谓“物体”的运动，实际上就是物体 质心的运动。,23,系统内力不会影响质心的运动：, 运动员虽在空中翻转，质心仍做抛体运动。, 光滑水平面上滑动的扳手，质心做匀速 直线运动。,24, 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍 做抛物线运动。,【TV】质心运动1 质心运动2,质心运动,
8、【演示】,25,若合外力为零，,二. 动量守恒与质心的运动,质点系动量守恒,若合外力分量为零，,质点系分动量守恒,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,质心相应分速度不变,例如：,26,质心系：运动速度等于质心速度的平动 参考系。,质心系不一定是惯性系，若质心有加速度， 则质心系是平动非惯性系。,质点系的复杂运动可看成下列运动的组合：,这由质心运动定理决定。,1. 质点系整体随质心的平动：,2. 各质点相对于质心的运动：,三. 质心系,这需要在质心系中考察质点系的运动。,27,质心系的重要特征：零动量参考系,即在质心系中，质点系的总动量为零。,是质点相对质心系的速度，,是质心系中质心的速度，等于
9、零。,证：,两质点系统在其质心系中， 总具有等值、反向的动量。,28,解：,此题可用变质量问题或动量定理求解，,这里用质心运动定理求解。,设绳长 l ，质心坐标：,29,（1）v 恒定，,（2）a 恒定，,质心受力：,支持力,拉力F，,重力lg ，,(l-y)g,（为何？）,根据质心运动定理有：,30,一. 角动量的定义,质点 m 对参考点 O,的角动量定义为：,单位：kg m2/s,大小：,方向：,注意：参考点O 是参考系内一固定点。,3.7 质点的角动量,31,质点作匀速率圆周运动时，,对圆心的角动量的大小为：,方向 圆面不变。,L = mvR，,注意：参考点选择不同，角动量一般也不同，
10、对角动量必须明确参考点。,方向变化,方向竖直向上不变,32,二. 质点的角动量定理、力矩,由,有,定义力对参考点 O 的力矩：,称为力臂,（ 是相对参考点 O 的位矢）,33, 质点角动量定理 （微分形式）, 质点角动量定理 （积分形式）,称为冲量矩, 力矩对时间的积累作用,34,【例】锥摆的角动量,对 O 点：,合力矩不为零，角动量变化。,对O 点：,合力矩为零，角动量大小、方向都不变。,（合力不为零，动量改变！）,35,三. 质点对定轴的角动量定理,1. 力对轴的力矩,把对O点的力矩向过 O点的轴如 z 轴投影：, 力对轴的力矩,36,2. 质点对轴的角动量, 质点对轴的角动量,3. 质点
11、对定轴的角动量定理, 质点对定轴的角动量定理,（ 是固定方向）,37,质点角动量守恒定律：,3.8 角动量守恒定律,通过参考点 O，如有心力场,的条件, 质点对轴的角 动量守恒定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。,如果合力力矩为零，则质点角动量守恒。,38,【讨论】开普勒第二定律,（1）L = mvrsin = 常量,（2）轨道在同一平面内,因为 通过 O 点：,掠面速度：,39,【讨论】 星云的盘状结构,旋转的星云,pc 秒差距，1pc = 3.0861016m,40,星球所需向心力：,星球具有原始角动量,但当 时，,定性解释：,引力使 r 减小，,r 就不变了。,在 z 轴方向无此
12、限制，可在引力下不断收缩。,引力可近似为：,41,3.9 质点系的角动量,质点系的角动量,（自己证）,42,质点系角动量守恒定律：如果外力矩的矢量和 为零，则质点系总角动量守恒。,质点系角动量和动量守恒相互独立吗？, 质点系角动量定理,于是有：,注意：所有 和 都是对同一参考点而言！,如果外力矩的矢量和沿某一方向的分量为零， 则质点系总角动量沿该方向的分量守恒。,【思考】,43,【例1】,一长为l 的轻质杆端部固结一小球 m1 ，,碰时重力和轴力通过 O ，,解：,选 m1（含杆）+ m2为系统,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。,求：碰撞后杆的角速度,角动量守恒：,解得：,（m1
13、+m2 ）的水平动量是否守恒？,【思考】,44,解：,选 m1、m2、m3 为系统，,求：碰后m1, m2, m3 速度，m1和m2的质心速度,水平方向不受外力,水平方向动量守恒,弹性碰撞：动能守恒,设碰后m1、m2、m3 的速度分别为v1、v2、v3,垂直水平方向角动量守恒,45,动量守恒：,动能守恒：,角动量守恒：,选与 O 点重合的定点， 规定垂直页面向外为正：,若选与质心 C 重合的定点有：,46,解得：,若 m1 m2，v1 v2 ，碰后杆、m1、m2系统既平动又转动（角速度会求吗？）。,47,设 O 是 S 系内一固定点，,在 S 系中，质点系对 O 点的角动量为：,3.10 质心
14、系中的角动量定理,一. 质心系中的角动量,在质心系中，质点系对质心 C 的角动量为：,在 S 系中，质心 C 对 O 点的角动量为：,48,利用关系：,可证明,二. 质点系对质心的角动量定理,注意：,是相对固定点 O 的矢量，,是相对质心 C 的矢量。,49, 质心系中质点系对 质心的角动量定理,所以,50,在质心系中，质点系角动量定理成立，与质 心系是否是惯性系无关。,因为若质心系是非惯性系，则惯性力对质心 的力矩为零：,设质心加速度为,则有,若把质点系在瞬间看成一整体，各质 点所受重力对质心的力矩和等于什么？,【思考】,由此可知惯性力对质心的力矩为零。,51,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,必须指定参考点,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,无需指定参考点,52,冲量 impulse 动量 momentum 动量守恒定律 law of conservation of momentum 质心 center of mass 质心系 frame of center of mass 角动量 angular momentum 力矩 moment of force,中英文名称对照表,第三章结束,