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1、3.4生活中的优化问题举例,生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.,复习：如何用导数来求函数的最值？,一般地，若函数y=f (x)在a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：,（1）求y=f (x)在a，b内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。,问
2、题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,-,+,减函数,增函数,-1.07p,解：每个瓶的容积为:,每瓶饮料的利润：,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是
3、瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,当r(0，2)时， ，f (r)是减函数 当r(2，6时， ，f (r)是增函数,解：设每瓶饮料的利润为y，则,-,+,减函数,增函数,f (r)在(0，6上只有一个极值点 由上表可知，f (2)=-1.07p为利润的最小值,-1.07p,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每
4、瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,解：设每瓶饮料的利润为y，则,当r(0，2)时，,而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值,答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.,例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？,解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决
5、在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具，其基本思路如以下流程图所示,优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,问题情景二：汽油使用效率何时最高,我们知道，汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 车速慢的时候省油呢？,一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 这里的w是汽
6、油消耗量，s是汽车行驶的路程,如何计算每千米路 程的汽油消耗量？,例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？,问题1：可用哪个量来衡量汽油的使用效率？ 问题2：汽油的使用效率与 g、v有什么关系？,(w是汽油消耗量， s是汽车行驶的路程),例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位
7、: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？,分析：每千米平均的汽油消耗量 ，这里 w是汽油 消耗量，s是汽车行驶的路程 w=gt，s=vt,P(v，g),的几何意 义是什么？,如图所示， 表示经过原点 与曲线上的点 P(v，g)的直线 的斜率k,所以由右图可知，当直线OP 为曲线的切线时，即斜率k取 最小值时，汽油使用效率最高,例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速
8、度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为 升; （II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为: . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,17.5,例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为： 若已知甲、乙两地相距100千米。 (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,若要使平
9、均成本最低，则每天应生产多少件产品？,解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则,每天应生产1000件产品,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,变题1：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？,解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则,练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为,变题1：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？,函数在(0，1000)上是减函数,故每天应生产800件产品,变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？,练习：已知某厂每
10、天生产x件产品的成本为,基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最值”； 导数法： 一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。,小结：,在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可 使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通 常称为优化问题.,在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。,(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)
11、解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案 注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键,例 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解析 设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0. 当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3),答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm3. 点评 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较,