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1、第二讲 数列的极限,数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质,数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质,一、数列极限的概念,(一) 引例 (二) 数列极限的定义,一、数列极限的概念,(一) 引例 (二) 数列极限的定义,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形
2、,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,
3、1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,当n无限增大时,1/2n的变化趋势为0,江泽民主席在哈佛大学的演讲 江泽民文选第二卷第59页,（一）引例,求半径为r的 圆的
4、面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,当n无限增大时,1/2n的变化趋势为0,极限：,变量的变化趋势,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,当n无限增
5、大时,1/2n的变化趋势为0,极限：,变量的变化趋势,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,当n无限增大时,1/2n的变化趋势为0,极限：,变量的变化趋势,极限 方法：,在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法.,精确值,精确值,（一）引例,求半径为r的 圆的面积S,1.,作圆的内接正多边形,正三角形：,S1,正六边形：,S2,
6、正十二边形：,S3,Sn,当n无限增大时,Sn的变化趋势为S,“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”,2.,第一天后：,1/2,第二天后：,1/22,第三天后：,1/23,1/2n,当n无限增大时,1/2n的变化趋势为0,极限：,变量的变化趋势,极限 方法：,在考察变量的变化趋势用到的，用以解决近似与精确、变量与常量等矛盾的方法.,常量,常量,一、数列极限的概念,(一) 引例 (二) 数列极限的定义,一、数列极限的概念,(一) 引例 (二) 数列极限的定义,（二）数列极限的定义,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,定义：,表示：,(a) 数轴上的一系列点,
7、(b) 平面上的一系列点,实质：,自变量为正整数的函数,（二）数列极限的定义,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,（二）数列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,（二）数列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,例：,增减性,依次递减,依次增大,来回摆动,来回摆动,来回摆动,变化趋势,1,1,1,无限大,无,变化趋势为常数,数列极限的描述性定义,（二）数列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,（二）数
8、列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,对于任意给定的正数，,都可以找到一项，,使得该项以后的所有项，,小于上述给定的正数,当n无限增大时，,无限接近于1,取,例,欲使,给定0，,欲使,取,数列极限的精确定义：,即：,正整数,1.关于,任意变小，,描述了 与 的无限接近程度.,相对固定，根据给定的找N,2.关于N,依赖于，有时可记作N（）.,不唯一.,注,例1,证明,例2,证明,例3,证明,注,1.记住重要结论,2.证明的关键：,依据找N（N可以不同）,3.找N的方法：,常用“适当放大”的方法,4.放大的技巧：,利用各种不等式,歌谣：,证明规
9、律遵,执果索其因,依据找N,N能找到,结论断言真,如何找N,适当放大身,若把技巧问,不等式来寻,关键要把准,（二）数列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,（二）数列极限的概念,1数列的概念 2数列极限的描述性定义 3数列极限的精确定义 4数列极限的意义,1几何意义,2粗略说法,数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质,数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质,二、收敛数列的性质,（一）极限的唯一性,如果数列 收敛,那么它的极限唯一.,定理1,（二）收敛数列的有界性,数列有界的定义,定理2,注,(1),(2),二、收敛数列
10、的性质,（三）收敛数列的保号性,定理3,推论,二、收敛数列的性质,（四）收敛数列与其子数列间的关系,在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.,例如,注,子数列概念,第nk项,第k 项,二、收敛数列的性质,（四）收敛数列与其子数列间的关系,注,定理4,如果数列xn收敛于a，那么它任一子数列也收敛,且极限也是a.,如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，,那么xn是发散的,例,发散,数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质,您知道吗？,刘徽(225295）用割圆术算到了内接正3072边形的面积,求得=3.1416 祖冲之（429500）用割圆术算到了内接正24576边形的面积,求得在3.1415926与3.1415927之间,