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1、,第五章 数 列,第一节 数列的概念与简单表示法,必修第二章,一、数列的基本知识 1数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的通项公式 如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,一定顺序,序号n,1(1)数列是否可以看作一个函数？若是，则其定义域是什么？(2)数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？,3数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,4数列的分
2、类,有限,无限,2如何根据数列的通项公式判定数列的单调性？,5数列的表示法 、 、 、递推法,列表法,图象法,解析法,解析：观察分子、分母得分子的形式为n(nN*)分母为2n1(nN*)的形式，故B选项符合 答案：B,答案：B,答案：A,解析：易知a22，a310，所以a2a320. 答案：20,5数列an的前n项和Snn21，则an_.,【考向探寻】 1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 2运用观察、归纳、猜想的方法求通项公式,由数列的前几项求通项公式,【典例剖析】 (1)(2013宜春模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：,他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这
3、些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A289 B1 024 C1 225 D1 378,(1)先求出三角形数和正方形数的通项公式，然后验证即可 (2)观察an与n的关系，归纳规律，写出an.,答案：C,(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需根据以下几方面的特征进行分析 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等，并对此进行归纳、联想,(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注
4、意代值检验对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整 (3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,【考向探寻】 1利用an与Sn的关系求通项公式an； 2利用递推关系求通项公式an.,根据条件求数列的通项公式,(1)已知数列an中，a10，an1an(2n1)(nN*)，则an_；,解：(1)由题意知an1an2n1. ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 013(2n5)(2n3) (n1)2， 该数列的通项公式为an(n1)2.,(1)根据条件求数列的通项公式时
5、，首先要对所给的条件进行分析，判断所属的类型，然后再结合相应的方法求解 (2)解题中要注意转化、待定系数等方法的运用,利用anSnSn1(n2)求通项公式时，一定要验证n1时的情形若n1时，an适合SnSn1，则通项公式为一个表达式；否则要写成分段函数的形式,【活学活用】 2已知an满足a13，an12an1，则an_. 解析：由条件知an112(an1) 数列an1是以a114为首项，以2为公比的等比数列 an142n12n1， an2n11. 答案：2n11,【考向探寻】 1与数列有关的单调性、最值等问题 2数列与函数、方程的综合问题,数列的综合应用,当n9时，an1an0， 即an1an
6、；当n10时，an1an0， 即an1an.9分 故a1a2a3a9a10a11a12， 数列an中有最大项，为第9项和第10项. 12分,(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，同时转化思想也是解题的常用方法 (2)数列最大项、最小项、数列有界性问题可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法,本例解题过程中易出现只得出a9这一项，而忽视了a9a10，从而导致误解,【活学活用】 4设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f(2an)2n(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)判断数列的单调性,忽视n的取值范围致误,数列是一种特殊的函数，其特殊性在于定义域为正整数集，因此对于an，Sn而言，要求n1，这一点在解题中容易忽视因此在解题中要注意对题目条件及隐含条件的挖掘，避免出现错误,