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1、第八章 平面解析几何,第一节 直线的倾斜角与斜率,一、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x 轴 与直线l 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜 角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . (2)倾斜角的范围为 ,正向,向上,0，),0,2直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角的 叫做这条直线 的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ，倾斜 角是90的直线斜率不存在 (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公 式为k .,正切值,tan,二、两条直线平行与垂直的判定 1两条直线
2、平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则 有l1l2 .特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在 时l1与l2的关系为 ,2两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1l2 .,k1k2,平行,k1k21,两条直线l1，l2方程分别为A1xB1yC10 A2xB2yC20，则l1l2的充要条件是什么？,提示：A1A2B1B20.,1若直线x2的倾斜角为，则 ( ) A等于0 B等于 C等于 D不存在,解析：k不存在， .,答案：C,2.过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值 为 ( ) A1 B4 C1或3 D 1或4,解析：由
3、 1， 4mm2，m1.,答案：A,3直线xay10,2xy30平行，则a为 ( ) A- B. C2 D2,解析：由,答案：A,4若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点 (2,1)，斜率为 的直线垂直，则实数a的值为_,解析：由条件可知 即3a2，a,答案：,5已知l1的倾斜角为45，l2经过点P(2，1)，Q(3，m)， 若l1l2，则实数m_.,解析：由已知得k21， 1，m15，m6.,答案：6,1求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率ktan的取值范围 (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜 角的取值范围 2求倾斜角时要注意斜率是否存在,直线2xc
4、osy30( )的倾斜角的变化范围是 ( ),先求斜率的范围，再求倾斜角的范围.,【解析】 直线2xcosy30的斜率k2cos，由于 ，所以 因此k2cos1， 设直线的倾斜角为，则有tan1， ，由于0，)，所以 ，即倾斜角的变化范围是 ,【答案】 B,1直线2sinxy30( )的倾斜角的变化范 围是 ( ),解析：k2sin， ， 1k ，即1tan ， ,答案：B,1斜率公式：k (x1x2)与两点顺序无关，即两点 的横纵坐标在公式中的前后次序相同 2求斜率的一般方法： (1)已知直线上两点，根据斜率公式k (x1x2)求 斜率 (2)已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据ktan来
5、求斜率,3利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1x2x3或kAB kAC，则有A、B、C三点共线,【注意】 斜率变化分两段，90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论,已知点A(1，5)，B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率,由斜率的定义和斜率公式分别求直线l和AB的斜率,【解】 由于A(1，5)，B(3，2)， kAB 设直线AB的倾斜角， 即tan ， 直线l的倾斜角为2， tan2 即l的斜率为,2已知点A(2，3)，B(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线 段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k
6、的取值范围是( ) Ak 或k4 B4k Ck 或k D k4,解析：如图所示，过点B(-3，-2)，P(1,1)的直线斜率为 过点A(2，-3)，P(1,1)的直线斜率为 从图中可以看出，过点P(1,1)的直 线与线段AB有公共点可看做直线 绕点P(1,1)从PB旋转至PA的过程， k ，+)(-，-4,答案：A,已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值 (1)l1l2，且l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等,由条件可知，直线l2的斜率为1a，可通过对1a的取值情况的讨论来解决该题.,【解】 (1)由已知可得l2的斜
7、率必存在，k21a. 若k20，则1a0，a1. l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0. 又l1过点(3，1)， 3ab40，即b3a410(不合题意)， 此种情况不存在，即k20. 若k20，即k1、k2都存在， k21a， k1 ，l1l2， k1k21， 即 (1a)1. 又l2过点(3，1)，3ab40. 由联立，解得a2，b2.,(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在， k1k2，即 1a. 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2， l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即 b， 则联立解得或,3直线l1：axy3，l2：xbyc0，则ab1是l1l2的 (
8、) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件,解析：当ab1且c3时，虽然满足ab1，但l1与l2不 平行，而是重合；若l1l2，则a ，即ab1.,答案：C,对直线的倾斜角和斜率及两直线位置关系的考查主要有： （1）求已知直线的倾斜角,特别要注意斜率k不存在,即倾斜角为90的情形. （2）利用斜率知识解决三点共线问题. （3）将两直线平行或垂直的条件与充要条件的判断相结合,这是近几年高考的热点.解决时要注意平行或垂直满足的充要条件.2009年上海卷考查了两直线平行的条件的应用.,(2009上海高考)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是 ( ) A1或3 B1或5 C3或5 D1或2,解析 法一：k3时，l1：y10，l2：2y30显然平行； k4时，l1：x10，l2：2x2y30，显然不平行； k3，k4时，要使l1l2，应有 综上所述k3或5. 法二：由(k3)(2)2(k3)(4k)0 且21(4k)30 知k3或5.,答案 C,本例主要考查了两直线平行的条件，方法一是利用斜率，方法二是利用了系数关系相比较而言，法二比法一少了分类讨论更加简捷，且不易出错,