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1、1.2.1 任意角的三角函数（第1课时）江门市中小学教研室 李义仁一、教材分析本课时是在必修4“任意角和弧度制”和义务教育“锐角三角函数”的基础上学习任意角的三角函数。三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，是继必修1指数函数、对数函数和幂函数之后另一个基本初等函数，而三角函数又是学习其他数学知识（三角变换、向量、解析几何等）的重要基础，三角函数的图象和性质在研究简谐运动、波等周期性变化现象中以及实际生活中，都有广泛应用。三角函数概念是研究三角函数图象与性质的基础，为帮助学生奠定三角函数概念的良好基础，本课时以人教A版必修4 P11-P13及例1例3为基本教学内容。二、学情分析学生基本
2、具备了学习本课时的知识基础和思想方法基础：锐角三角函数、函数概念、任意角和弧度制等是本课时的知识基础，任意角和弧度制知识形成过程中数形结合的思想方法、指数函数知识形成过程中抽象概括的逻辑方法等是本课时的方法基础。因此，只要有序地呈现学习材料组织学习活动，学生就能较好调动知识与方法储备，参与任意角的三角函数的“再发现”过程，建构对任意角的三角函数的理解。三、教学分析教学目标1知识与技能：理解任意角的三角函数的概念，理解三角函数在各象限的符号，会求角的各三角函数值，了解三角函数的定义域。2过程与方法：在概念形成与探究三角函数值符号的过程中，进一步体会抽象概括的逻辑方法和数形结合思想，提高逻辑推理能
3、力。3情感态度与价值观：在新旧概念比较中，体会数学知识的发展；在探讨定义域与解决问题的过程中，培养理性精神和科学态度。重点与难点重点：理解任意角三角函数的定义。难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数。教法与学法1教法：引导发现法。以APOS理论为指导，以问题为主线，让学生在问题解决过程中亲历任意角的三角函数的形成过程，理解任意角的三角函数。2学法指导：指导学生适时转化新旧转化、数形转化等，让学生充分体验不同象限角对应的三角函数值，指导学生抽象概括将感性认识提升为理性认识。教具与学具1教具：直尺、圆规、PowerPoint课件。2学具：直尺、圆规。四、教学过程概念引入：初中学习了锐角三角函数，如图
4、1，锐角的正弦、余弦、正切分别是什么？引导学生回顾锐角三角函数的概念、符号、表达式。在中，。概念形成：如何在直角坐标系中用点的坐标表示角的正弦、余弦与正切？1用角终边上点的坐标表示、与1.1将（角）放入适当的直角坐标系中。如图2，以的顶点为原点，边所在的直线为轴（点在轴正半轴上）建立平面直角坐标系。1.2用点的坐标表示、与。在图2中，若点，则，从而，。2用单位圆上的点的坐标表示、与2.1单位圆的概念，如图3，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。2.2由相似三角形的知识，对于确定的角，的值不会随点在角的终边上的位置的改变而改变。如图4，将点取为角的终边（即射线）与单位圆
5、的交点，此时，。概念明晰：任意角的三角函数的定义。这是教学的重点：从函数角度看待，明确定义任意角的三角函数，揭示任意角的三角函数的本质。1在弧度制下，锐角三角函数的自变量、对应关系分别是什么？在弧度制下，锐角的弧度数等于单位圆中圆心角所对的弧长，为角的终边与单位圆的交点，因此，在弧度制下，锐角唯一地确定单位圆上的点，点唯一地确定实数与，从而唯一地确定，。所以，锐角三角函数是以实数（角的弧度数）为自变量，以角终边与单位圆交点的坐标或坐标比值为函数值的函数。2将锐角三角函数推广到任意角的三角函数如图5，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则叫做的正弦（sine），记作，即；叫做的余弦（cosi
6、ne），记作，即；叫做的正切（tangent），记作，即（）。，分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看作自变量为实数的函数。对应关系直观表示如下（讲解正弦函数的对应关系，其他由学生完成）：（）终边与单位圆的交点唯一确定唯一确定唯一确定正弦函数角及其终边（）终边与单位圆的交点唯一确定唯一确定唯一确定余弦函数角及其终边终边与单位圆的交点唯一确定唯一确定唯一确定正切函数角及其终边（）3三角函数的定义域当（）时，角的终边在轴上，点的横坐标，无意义，除此之外，对于确定的角，、和的值都是唯一确定的，所以，正弦函数和余弦函数的定义域
7、都是实数集、正切函数的定义域为。概念巩固：例题3个例题，分别是直接应用代数式（定义）求三角函数值，解直角三角形求三角函数值，定义及其形成过程中思想方法结合运用求三角函数值。例1由学生口答。例1如图6，已知角的终边与单位圆的交点是， 求角的正弦、余弦和正切值。解：根据三角函数定义得：，。例2求的正弦、余弦和正切值。解：如图7，在直角坐标系中，作，易知，的终边与单位圆的交点坐标为。所以，。例3已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值。解：由已知得。如图8，设角的终边与单位圆交于点，分别过、作轴的垂线段、，则，。由得：，。注：一般地，设角的终边上任意一点的坐标为，它与原点的距离为，则，（）。概念
8、内化：将新概念（任意角的各个三角函数）系统化，并与角、坐标系相联系。例4探究证明：探究三角函数值在各象限的符号；求证：当不等式组成立时，角为第三象限角。反之也对。问题以填图的方式完成，并说理讨论：角在第二象限角终边上的点在第二象限，。，依此类推。问题以练习讲评方式完成，关注学生问题解决的完备性与严谨性。若为第三象限角，由可得，。若成立，则角的终边可能位于第三或第四象限或与轴的非正半轴重合；若成立，则角的终边可能位于第一或第三象限。因为与同时成立，所以角的终边只能位于第三象限，角为第三象限角。五、课外练习必做：P15练习1，2，3；选做：P20习题1.2 A组第2题。六、板书设计 1.2.1 任意角的三角函数1.锐角三角函数 3.任意角的三角函数2.用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数 4.例题