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1、第三节 单因素方差分析,在第八章第二节中，我们讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较的假设检验问题，而在实际应用中还经常需要对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的假设检验问题.方差分析就是解决这类问题的有效方法，在实际中有着广泛的应用。,一、基本概念,二、单因素方差分析的数学模型,四、部分总体均值j 和方差2的估计,三、单因素方差分析的假设检验,一、基本概念,我们将要考察的对象的某种特征称为指标，影响指标的各种因素称为因子，一般将因子控制在几个不同的状态上，每一个状态称为因子的一个水平.,若一项试验中只有一个因子在改变，而其它的因子保持不变，称这样的试验为单因素试验.多于一个因子在改变的的试
2、验为多因素试验.这里，我们只讨论单因素试验.,实例1. 对某种型号的电池进行抽查，随机抽取了来自A,B,C三个工厂的产品，测得其寿命（h )见下表，设各工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布，问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？,电池的寿命（h）,试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均寿命是否有显著差异。如果有显著差异，表明生产工厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.,在此实例中，,指标：,电池的寿命；,因子：,生产电池的工厂；,水平：,工厂A1、A2、A3,在此试验中，除生产电池的工厂这一因子外，其它因子不变，这是一个单因素试验。,实例2. 为了比较各个工作日进入某一商
3、场的顾客人数，测得各工作日下午4时5时进入商场的顾客人数如下表，问各个工作日对顾客人数有无显著影响？,试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是否有显著差异。如果有显著差异，表明工作日这一因子对顾客人数的影响是显著的.,在此实例中，,指标：,顾客人数；,因子：,工作日；,水平：,周一、周二、周一、周四、周五,在此试验中，除工作日这一因子外，其它因子不变，这是一个单因素试验。,二、单因素方差分析的数学模型,设在单因素试验中，影响指标的因子A 有 s 个水平A1， A2 ，As ，将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部分总体，仍记为Aj ，则共有s个总体，假设,假设前提：,2）部分总体的方
4、差都相等，即：,1）每个部分总体都服从正态分布，即：,3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。,在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本,则,记 称其为随机误差，则,由此得：,单因素方差分析的数学模型:,各个随机误差 相互独立， 和 未知.,对每个水平Aj下的样本 引进统计量：,样本和：,样本均值：,将单因素试验的数据列表如下：,样本总均值：,单因素试验数据表,（1）检验假设：,不全相等.,（2）求出未知参数 和 的估计量,单因素方差分析的任务:,根据样本提供的信息，,三、单因素方差分析的假设检验,单因素方差分析法是将样本全部偏差的平方和分解成两个平方和，通过这两个平方和之间的比较，导出假设检验
5、的统计量和拒绝域.,偏差平方和及其分解,总平方和：,效应（组间）平方和：,说明：,SA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以，称SA是因子A的效应（组间）平方和.,误差（组内）平方和：,平方和分解公式：,说明：,SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是误差（组内）平方和.,证明：,又,所以,即：,总平方和=效应（组间）平方和+误差（组内）平方和,SA和 SE 的统计特征,在单因素方差分析的模型下，,（2）SA 和 SE 相互独立。,定理：,（1）,由定理（1），有,即,结合定理(1)(2)(3)
6、，有,ST ，SA ，SE 的计算方法,记,化简得,单因素方差分析的假设检验：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）取假设统计量,（3）拒绝域：,说明：如果组间差异比组内差异大得多，则说明各水平间有显著差异，H0不真。,单因素方差分析的假设检验的步骤：,（1）提出统计假设,不全相等.,（2）编制单因素试验数据表,（3）根据数据表计算,（4）填制单因素方差分析表,单因素方差分析表,（5）检验，若,否则接受H0 ，认为因子A对指标没有显著影响.,则拒绝H0，,例1. 在显著性水平=0.01下，用单因素方差分析法判断实例1中，三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？,解：,提出统计假设,不全相
7、等.,编制单因素试验数据表,184,46,498,267,83,89,单因素方差分析表,所以拒绝H0，,因为,认为三个工厂所生产的电池的平均寿命有显著差异.,四、部分总体均值j 和方差2的估计,前面已说明：,又,所以,可以证明，,例2. 试验4种不同的农药，观察它们的杀虫率有无明显的不同，试验结果如下表所示:,1）在显著性水平=0.01下，问4种农药的杀虫率的均值是否有明显不同？2）分别求4种不同农药的杀虫率的均值和方差的估计值。,解：,编制单因素试验数据表,252.6,84.2,361,90.25,59.3,118.6,103.2,51.6,(1)提出统计假设,不全相等.,单因素方差分析表,所以拒绝H0，,因为,认为4种农药的杀虫率的均值是有明显不同的.,(2),