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1、深化数学课程改革 落实数学核心素养,人民教育出版社 章建跃 ,一、课改的背景和面临的任务,教育改革是社会发展改革整体的有机组成部分，以国家社会发展改革为背景，要结合国家社会发展与改革的需要来思考。 国家治理最根本的着眼点是深化综合改革，理顺各方面的关系。教育改革也要抓住“深化”、“综合”的要求而持续推进。,五中全会精神,十八届五中全会公报中，强调创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念。 坚持创新发展，必须把创新摆在国家发展全局的核心位置，不断推进理论创新、制度创新、科技创新、文化创新等各方面创新，让创新贯穿党和国家一切工作，让创新在全社会蔚然成风。,推动物质文明和精神文明协调发展，加快文化改革
2、发展，加强社会主义精神文明建设，建设社会主义文化强国，加强思想道德建设和社会诚信建设，增强国家意识、法治意识、社会责任意识，倡导科学精神，弘扬中华传统美德。,开放发展，提高教育质量，推动义务教育均衡发展，普及高中阶段教育，逐步分类推进中等职业教育免除学杂费，率先从建档立卡的家庭经济困难学生实施普通高中免除学杂费，实现家庭经济困难学生资助全覆盖。,提高教育质量,“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，加强社会主义核心价值观教育，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。深化教育改革，把增强学生社会责任感、创新精神、实践能力作为重点任务贯彻到国民教育全过程。” “推动义务教育均衡发展，全
3、面提高教育教学质量。”,我国教育的规模问题已经解决。2010年教育发展与改革的中长期规划纲要中提出，我国教育面临的主要任务是解决内涵质量的问题，解决育人模式改革的问题。这就需要在已有课改的基础上深化改革，而我们面临的问题错综复杂，许多都是两难问题，因此改革具有综合性，需要整体考虑。,二、数学课改的主要任务,十八大提出的“教育的根本任务在于立德树人”就是整个教育改革的核心任务。 如何把这个要求在数学教育中落实下来，在教学中体现出来，在课堂中实施下去？ 要把“立德树人”的要求具体化，体现在教学内容和教学过程中，转化为一种可操作的行动，转化为数学育人的具体措施。,从教育部的顶层设计看，数学学科的“立
4、德树人”目标，首先体现在数学学科的核心素养上。 义教课标中提出了八个“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想； 高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。 数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，要有具体措施，要把数学学科核心素养的培育落实在数学教育的各个环节。,三、提升学生核心素养的思考点,“学科育人”要依靠学科的内在力量。 “数学育人”要在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用。 要从数学的学科本质出发开展思考和研究：数学到底是一门怎样的学科？
5、其独特的、别的学科不能替代的育人功能到底在哪里？怎样教才能实现这些育人功能？这样教的效果如何？,树立课程意识,（1）我教的是一门怎样的课？ （2）它能发挥怎样的育人功能，在学生发展中所起的不可替代的作用是什么？ （3）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？ （4）这样教在多大程度上实现了它的育人功能？,数学是思维的科学，数学教学是思维的教学数学对于发展学生的思维是至关重要的。 数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式阅读、表达的工具。,数学学科育人的独特功能，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考，使
6、生成为善于认识问题、善于解决问题的人才。 学会使用数学语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。,具体如何做？,数学对象的抽象，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从这两个方面发现和提出问题，提升数学抽象、直观想象等素养； 对数学对象的研究，要注重通过数学的推理、论证获得结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养； 应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析实际问题，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。 从数学知识中寻找发展学生数学核心素养的落脚点。,“两个过程”的合理性,从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这
7、是落实数学学科核心素养的关键点。 前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。,四、发挥一般观念的引领作用,数学教学的高立意。 使学生明白数学思维之道的关键点： （1）明确研究对象； （2）明确研究目标； （3）明确到达目标的思路概要。,几何教材呈现的“研究之道”,一般按“背景（实际背景、数学背景）定义（内含、表示）分类（以要素为标准）性质（要素、相关要素的相互关系）特例（性质和判定）联系（应用）”的逻辑展开，在定性研究的基础上进行定量研究。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“使学生学会思
8、考”的关键之一。,如何激发学生独立思考,有效数学学习的两个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是“使学生学会思考”的又一关键。,平面几何的研究思路和方法,平面图形中，三角形是最简单的，圆是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三角形是最基本的。 得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范研究其他几何对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个“工具”，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质。,三角形性质的
9、研究思路和方法,以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究。,思考一 几何图形的性质指什么？ 思考二 你认为可以怎样构建三角形性质的研究框架？怎样引导学生独立发现三角形的性质？ 思考三 类比三角形的研究思路和方法，你认为可以怎样引导学生独立构建四边形的研究路径，得到平行四边形的有关结论？ 思考四 圆又该如何研究？,“性质就是一类事物共有的特性”之类的说法过于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如： 运算中的不变
10、性（规律性）就是性质研究代数性质，“算算看”是基本方法； 变化中的不变性（规律性）就是性质研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法； 要素和要素之间确定的关系就是性质观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法； ,思考五：如何提出“解三角形”的课题,首先，从定性到定量，提出研究课题。由S.A.S.，A.S.A.，S.S.S.可知，三角形的形状、大小已经由这三组要素分别唯一确定。这是定性的结论。 数学研究往往是先做定性探究，再做定量分析。这是一个由表及里、逐步精确、精益求精的自然进展。从定量的角度看，上述三个定理表明，三角形的任意元素可由这三组要素
11、分别唯一确定。,三角形的三边边长、三个内角的角度、面积、高、外径、内径等等几何量都可以用这三组要素分别表示。这些几何量之间存在的基本函数关系就是三角定律。那么，如何推导这些基本关系？,由S.S.S.求三内角，对RtABC，C=90，有cosB=a/c，cosA=b/c。对锐角三角形、钝角三角形，与直角三角形联系起来，可以发现如下关系： 锐角ABC就是将RtABC1的直角顶点C1沿BC1方向“外移”到C；钝角ABC则是将RtABC1的直角顶点C1沿C1B方向“内移”到C。因为“内外有别”，因此需要分类讨论。,还可以研究哪些问题,（1）三角形的其他元素，如外径、内径、高、中线、角平分线，如何求解？
12、 （2）还有哪些推导两个定理的方法？联系已有知识，给出不同证明方法，通过建立知识的联系，发展数学认知结构，增进数学理解。 而在不同推导方法的探求中，一个自然的想法是：上述余弦定理的推导需要分类讨论，能避免吗？,方法的改进与素养的发展,方法的改进源于对已有方法的反思。 分析引起分类的原因时，把三类三角形放在一起，用连续变化的观点看待而发现借助向量可统一三种情况。这里需要很好地把握向量的本质，其中对“方向”的敏感性起到关键作用。 F克莱因：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”
13、,小结,数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服“做得到但想不到”的尴尬，使数学的发现更具“必然性”，是实现数学育人目标的重要途径。,五、为学生创造归纳的机会,唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事物的本来面目设计教学过程，才能真正达成教学方式的实质性变化。 在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过“归纳演绎”而学习数学概念，关键是让学生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是学生能掌控自身学习过程的必要条件。 当前应更加强调归纳。,例 函数概念的
14、归纳过程,四个基本问题 （1）函数的现实背景各是什么？刻画了哪类运动变化现象？ （2）决定这些运动变化现象的要素是什么？ （3）要素之间的相互关系如何？ （4）可以用什么数学模型来刻画？,（1）是搞清楚这类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程； （2）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系”常常要借助于运算而建立对应关系； （4）是以“依赖关系”为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确。,一次函数,现实背景：物体作匀速直线运动，其特征是运动的速度（即位移与时间
15、的比值）是一个定值。 决定运动状态的要素：速度v、时间t和位移S。这里，v是常量，t和S是变量；“速度是一个定值”是此类运动区别于它类运动的关键点，它的实际意义是在相同的时间段上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。,要素之间的相互关系,数学模型：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了各种各样的一次函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到一次函数模型y=kx+b。这里，特别要注意k和b的意义：b是初始条件；函数值y随自变量x的变化而变化的过程中，函数值的改变量与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝对值越大，改变得越快。这里特别要强调以实际问题为依托理解k，b
16、的意义。,思考：二次函数概念的归纳过程该如何构建？反比例函数呢？,高中阶段的函数概念教学，应从初中已学的一次函数、二次函数和反比例函数出发，反思和提炼它们各自的抽象过程，并归纳它们的共性，从而形成一般函数概念的认识基础。,具体过程,具体函数一类函数函数概念一般化。 先以学生熟悉的运动变化问题为背景，仔细分析一次函数、二次函数和反比例函数概念的归纳过程； 提出问题：这些函数的共性是什么？如何表示？引导学生进行再归纳； 利用初中的函数定义判断“某日上证指数图”、“奥运会金牌榜”等是否为函数，增强进一步学习函数概念必要性的认识；,一般概念指导下的基本初等函数研究,在获得对函数及其性质的一般化认识的基
17、础上，完成了“从个别推及一般”的归纳过程，接着是“从一般推及个别”的演绎过程。这个演绎过程可以看成是函数一般概念及其性质的具体应用，就是在一般观念指导下解决某一类运动变化规律的认识问题，获得一类函数的概念及其性质。高中阶段就是进入到幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的研究。,教学中，应兼顾函数概念的数学逻辑和学生学习的心理逻辑。其中从问题出发、归纳与演绎相互为用是基本原则。 宏观与具体相结合的问题： “对于一个运动过程或一种变化现象，需要研究的基本问题有哪些？”“一般地，我们可以怎样展开研究？”等与数学基本思想、基本活动经验有关，具有引领方向的作用，可以极大地增强学习与思考的主
18、动性、针对性、有效性； 针对实际情境中的具体现象提出问题四个基本问题。 具体研究某一函数时，要调动已有经验，从图表观察、代数运算等途径发现规律，得出概念和性质。,六、通过类比发现和提出问题,类比的含义 类比的特点 类比的一般模式 平行四边形的研究中，通过类比三角形的研究思路、研究内容、研究方法等发现和提出问题、分析和解决问题，这是培养学生思维能力，使学生学会思考的过程。,七、通过推广、特殊化发现和提出问题,平面几何中，通过特殊化发现研究对象； 代数性质特殊化中的特殊性； 运算中的一般化和特殊化代数公式的发现过程； ,八、使学生掌握研究数学对象的方法,数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导保
19、证高立意。 好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。 一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。 提升概括能力是关键。,四边形对角线与周长的关系,（1）边对角线； （2）边之和对角线； （3）周长对角线之和； 结论：周长大于对角线之和；对角线之和的两倍大于周长。 数学的表达：对角线之和大于周长的一半，小于周长。 思考：这个过程中，学生得到了什么？,结束语,对未知事物的探索是学生的天性，需要教师倍加爱护，我们常常因自己对学生心理的无知，低估学生的创造力而无意间扼杀了这种天性； 学生的创新思维需要教师的激发，使学生学会思考是数学教育的意义所在； 要激发学生的创新思维，教师自己应先学会思考，归纳、类比、推广、特殊化是基本的发现与创新之道； 以一般观念为指导，通过问题引导思考，给学生创设独立概括概念、性质、公式、法则的机会，这是教师的教学智慧所在。,数学育人 使学生在数学学习中 树立自信，坚定正念， 增强定力，激励精进， 启迪智慧，净化心灵。,谢谢倾听 请提宝贵意见,