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1、2010-2011学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 8 of 8一（本题满分8分） 在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率 解： 设“方程有两个实根”，所求概率为 设所取的两个数分别为与，则有， 因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应2分 随机事件与二维平面点集，即与点集2分中的点一一对应 所以， 4分二（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占如果
2、在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设“事件属于质量问题”，“事件属于数量短缺问题”， “事件属于产品包装问题” “事件经过协商解决”所求概率为2分 由Bayes公式，得 2分 2分所以，2分三（本题满分8分） 设随机事件满足：证明：对任意随机事件，有 解： 因为，所以，2分 所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有 ，因此有2分 所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得 4分四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 ，并且已知，试求方差 解： 由及，得 ，2分 2分由此得线性方程组 解此线性方程组，得2分 所以， 所以
3、，2分五（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为某餐厅有个座位，但预定给了位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则1分 则所求概率为2分 2分 3分六（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷次，令表示这次出现的点数之和，求（5分）与（5分） 解： 设表示第次出现的点数， 则相互独立，而且 而的分布列为 ，2分所以， ， 2分所以，由数学期望的性质，得 2分 ， 2分所以，由的相互独立性，及数学期望的性质，得 2分七（本题满分10分） 设随机变量，求随机变量的密度函数 解： 由题意，随机变量的密度函数为
4、，1分 设随机变量的分布函数为，则有 ，2分 所以，当时，；1分 当时， 2分 因此有 ，2分 所以，随机变量的密度函数为 2分八（本题满分10分） 设二维随机变量的联合密度函数为 ，求与的相关系数 解： ， ，2分 ， ，2分 ，所以有 ，2分 ， ，2分因此，有 2分九（本题满分10分） 一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重，标准差为若用最大载重量为的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于（设，其中是标准正态分布的分布函数） 解： 若记表示第箱的重量，则独立同分布，且， 2分再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量，则有 由题意，得 4分查正态
5、分布表，得 ，2分当时，；时，故取，即每辆汽车最多装箱货物2分十（本题满分8分） 设总体，是取自该总体中的一个样本令，试确定常数，使得随机变量服从分布 解： 因为，而且相互独立，所以，2分因此，2分而且与相互独立因此由分布的定义，知，2分即取，则有2分十一（本题满分12分） 设总体的密度函数为 ，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本 求参数的矩估计量（6分）； 求参数的最大似然估计量（6分） 证明：1 ，3分因此，得方程 ，解方程，得 ， 将替换成，得参数的矩估计量为3分2 似然函数为 ，2分取对数，得 ，对求导，得 ，所以，得似然方程 ，2分解似然方程，得，因此，参数的最大似然估计量为 2分第 8 页 共 8 页