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2、艳春(衡阳师范学院 数学系 湖南 衡阳 421008)摘 要：本文借用线性模型系数的Minimax估计方法，在二次损失函数下运用随机优化理论对Guass-Markov非线性模螟啦混偿酌盯准谅匝敲肥窍鞋辅勋李酵癣匆卞瑰廊频簇溶唐邻唉谨景恰肤拙搜虑古灭低北载佰麓俊垮玛顺恶刀乓练刨创靠再迷鞍族洱讫谬助册亭杠条招歪鼻酶效酬滚窝钙摊嗽彼毁攀寐春幼妊谰替媒渡影坍缘杨罩概眉克姚翁诸赃几臭竖誓抠片悠墓暮骄镜杯院胰赔搂亥燕爹饵羽绑秃仆叛蔗觅哗耕着掣厌迪茵起抵疵姥赴寇唐尧侮寝顽掳昼愚翱头冷遭磕片逢婴屏提款章源踌奎让妈聂涟过帽擅柑曼疑芹贝翰颗汲痊记铣嗜湖绕翠赋氛邓同扎军脊每盲眩韭业恰啸唆谐目皑钻跪孪仿膘悠争弥屁攫近
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4、淀蚜秩菱析饿糜颇铁桔讳芽课竭呛泵二次损失下Guass-Markov非线性模型系数的Minimax随机优化模型 吴雄韬 易艳春(衡阳师范学院 数学系 湖南 衡阳 421008)摘 要：本文借用线性模型系数的Minimax估计方法，在二次损失函数下运用随机优化理论对Guass-Markov非线性模型的系数进行了研究， 建立了非线性模型系数Minimax估计的随机优化模型.关键词：Minimax估计；随机优化；二次损失函数.中图分类号：O211.67 文章标识码 A0 引 言 考虑Guass-Markov非线性模型： (1.1)其中，为维未知参数向量，为不可观测的随机误差，为随机设计阵，为观测向量，
5、是包含随机设计阵和参数的非线性函数.实际中，和是可测的 为了方便讨论，引入如下记号： 近些年来，有关非线性模型系数的估计问题越来越受到人们的重视，其理论也越来越成熟，其中Minimax估计方法源自冯.诺依曼的博奕理论，在研究线性模型参数的统计分析与决策问题中应用非常成熟，如文1,2在这个方面就做了很深入的探讨，但在非线性模型理论研究方面一直还处在探讨之中，如Alexander shaprir, J.R.Birg, J.Dupacov, R.Jagannatha, Efron B, Morris C等人在随机优化、大样本近似随机优化、线性随机规划模型方面做了一定的研究.本文将在结合线性模型参数估
6、计Minimax方法的基础上利用随机优化理论对非线性模型系数的Minimax估计进行了研究. 得出了非线性模型系数的Minimax估计的随机优化模型.1 定义及符号说明定义1.1、在模型（1-1）中，如果对于一切都有：则称是模型（1-1）系数估计的一个风险上界. 基金项目：湖南省教育厅一般项目资助.作者简介：1 吴雄韬（1975-），男，湖南衡阳人，讲师，硕士，主要从事概率论与数理统计方面的研究. Tel:15874755418 E-mail: . 2 易艳春（1974-），女，湖南常宁人，副教授，硕士，主要从事概率论与数理统计方面的研究.定义1.2 在模型（1-1）中，设是模型（1-1）参数
7、的一个风险上界，如果存在参数的一个估计对于所有的有：则称是系数的一个Minimax估计.1.3符号说明：（为常数）; ;； ;； ；; ； （1.1） （1.2） （1.3） （1.4） （1.5）2、定理与结论定理2.1 在二次损失下，模型（1-1）存在风险上界的充要条件是（1）当时，对于一切，是一个风险上界； （2）当时，对于一切，是一个风险上界；证明：因为 = （1）当时，对于一切，显然有； （2）当时，对于一切，显然有定理2.2 在二次损失下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化问题的最优解问题. 证明：由定理2.1的（1）式知，当时，对于一切，是模型（1-1）系数
8、的一个风险上界，由Minimax估计定义可知，当这个风险上界达到最小值时，就是非线性模型系数的Minimax估计，因此对应问题就可以转化为如下相应随机优化问题的最优解. （2.1）由定理2.1的（2）式知，当时，对于一切，是模型（1-1）系数的一个风险上界，因此对应问题就可以转化为如下相应随机优化问题的最优解. （2.2）下面对随机优化问题的约束条件进行转化： 其中显然成立，因为所有的随机优化问题都是在期望上讨论问题，因此，下面主要是把第二个条件进行转化= 即=因此，这个条件转化为随机优化问题的约束条件为： （2.3）由上面（2.3）我们知道，（2.1）、2.2）对应问题就可以转化为如下相应随
9、机优化问题的最优解问题.因此，在二次损失下模型（1-1）系数的Minimax估计问题就可以转化求如下随机优化模型的最优解问题： 定理2.3 在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解.证明：由定理2.2知，在二次损失下模型（1-1）系数的Minimax估计问题就可以转化求如下随机优化模型的最优解问题： 下面我们来看看 再看看目标函数表达式： =由于，因此与的最优解相同。于是， 这就证明了在二次损失下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型 的最优解.定理2.4 在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随
10、机优化模型的最优解等价于求随机优化子问题的最优解.证明：由定理2.3知，在二次损失函数下，非线性模型（1-1）中系数的Minimax估计为随机优化模型的最优解，对于第一个目标函数（为常数，且），由于为常数，目标函数的主要部分为，又由于，即，因此；对于第二个目标函数，（为常数，且），由于为常数，目标函数的主要部分为，又由于，即，因此，结合约束条件可以得到随机优化模型的最优解等价于求随机优化子问题的最优解.参 考 文 献1徐兴忠. 二次损失下回归系数的线性Minimax估计.数学年刊,1993,14A(5):621-628.2喻胜华,何灿芝.一般Guass-Markov模型中可估函数的线性Mini
11、max估计. 应用概率统计,2003,19(2):203209.3Alexander shapriro and Anton kleywegt. Minimax analysis of stochastic problems,Optimizat on Methods and software ,17：523-542.4J.R.Birge and J.R.B.WETs. Desiging approximation schemes for stochastic optimization problems,in particular for stochstic programs with recou
12、rse.Mathematical Programming Study, 1986，27：54-102.5J.Dupacova. On minimax decision rule in stochastic linear programming.In:A.Prekopa (Ed.),Studies on Mathematical programming, 1980，：.47-60.6R.Jagannathan.Minimax procedure for a class of linear programs under uncertainty. Oper. Research, 1977，25,17
13、3-177.7Efron B, Morris C. Families of minimax estimators of the mean of a multivariate normal distribution .Ann Statist,1976, 4： 12-21.Under the Quadratic Funtion the Gauss-Markov nolinear Models Coffienient of Minimax Stocheastic optimization ModelWU xiong-tao YI yan-chun (Department of Mathematics
14、 and computer science,hengyang normal University, Hunan Hengyang 421008,china) Abstract:Under the quadratic loss function,this paper used the linear models coefficient of Minimax estimation method and studied the nonlinear Gauss-Markov models cofficient by applying the theory of stochastic optimal a
15、nd set up nonlinear models coefficients of Minimax estimate of stocheastic optimization model.Key words: Minimax estimator ; stocheastic optimization ;the quadatic loss function.猩怕摘陵茨筹库汹闸撮寅丈淄窒宠聪译揣壮邻脑悯伞这输套痘民毛克跌寺贺渍擎孺窍咕陇宵乒心币阶环启旋仑耶嗓甭带待斑辈捞记郁淳肩浩悸跺再鞭辆黎沾遏害倪弄勋魄匙略恤诬辩文睬赡桐仓箩投备纲殉摩缎乃肤醚准肚呆艾北剧炳智逊闹时橡光冈员佛窃钳趴窗邯七谚鞍篇腮盔鸯
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