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1、拓扑学的产生 试讲者：陶焕杰 制作者：李士超 陶焕杰 丁莉 曹娜 陈飞飞 三个阶段 一，拓扑学的萌芽阶段 （17-19世纪中期） 二，拓扑学的发展阶段 （19-20世纪初期） 三，拓扑学的繁荣阶段 （20世纪以后） 一，拓扑学的萌芽阶段 拓扑学起初叫形势分析学，形指一个图形 本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性 质是莱布尼茨1679年提出的名词。是近代发展 起来的一个研究连续性现象的数学问题，当时主 要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几 何问题。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出 现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑 学的形成中占着重要的地位。在数学上，关于“ 哥尼斯堡七
2、桥问题”、“多面体的欧拉定理”、“四 色问题”等都是拓扑学发展史的重要问题。 前进 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁 格勒）是东普鲁士的首都，普莱 格尔河横贯其中。十八世纪在这 条河上建有七座桥，将河中间的 两个岛和河岸联结起来。人们闲 暇时经常在这上边散步，一天有 人提出： 能不能每座桥都只走一遍， 最后又回到原来的位置？ 返回 多面体的欧拉定理 这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱 数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事 实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、 正八面体、正十二面体、正二十
3、面体。 返回 四色问题 英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现 了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种 颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的 颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向 伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家 都纷纷参加了四色猜想的大会战。 返回 上面的几个例子所讲的都是一些和几何 图形有关的问题，但这些问题又与传统的几 何学不同，而是一些新的几何概念。这些就 是“拓扑学”的先声。 拓扑学是数学中一个重要的、基础性的 分支。它最初是几何学的一个分支
4、，主要研 究几何图形在连续变形下保持不变的性质， 现在已成为研究连续性现象的重要的数学分 支。 连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存 在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对 于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基 本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和 方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、 广泛的应用。 拓扑学是几何学的一个分支，它是从图论演变 过来的。拓扑学将实体抽象成与其大小、形状无关 的点，将连接实体的线路抽象成线，进而研究点、 线、面之间的关系。网络拓扑通过结点与通信线路 之间的几何关系来表示网络结构，反映出网 络中各个实体之间的结构关系。拓扑设计是 建设
5、计算机网络的第一步，也是实现各种网 络协议的基础，它对网络性能、可靠性与通 信代价有很大影响。网络拓扑主要是指通信 子网的拓扑构型。 组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。他是在分析 学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和 关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问 题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在 n维流形。 在18951904年间，他创立了用剖分研究流 形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同 调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。 他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠 系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了 著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远
6、， 但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。 特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的 曲线的研究中， 二，拓扑学的发展阶段 十九世纪中期，黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发 展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进 展。 在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了 可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极 限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念
7、， 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑 学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研 究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓 扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应 用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓 扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结 构，从而掌握空间之间的函数关系。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中， 实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑 概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现 了泛函数（即函数的函数）
8、的观念，把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念， 到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。 最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇，在 1906年引进了度量空间的概念。 F.豪斯多夫在集论大纲（1914）中 用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志 着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的 产生。 L.欧拉1736年解决了七桥问题，随后波 兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（ 分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究 。 经过过20世纪30年代中期起布尔巴基学 派的补
9、充（一致性空间、仿紧性等）和整理 ，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大 战后数学研究的共同基础。从其方法和结果 对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量 空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化 问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓 扑学晚近的发展可见一般拓扑学。 欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓 扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑 学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。 50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表 的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个 给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中 发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的 研究，习惯上也看成
10、一般拓扑学的分支。 L.E.J.布劳威尔在19101912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重 要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准，成为引人 瞩目的学科。 紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝 蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧 性）， 随着抽象代数学的兴起， 1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在 群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义 了同调群。 从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方 法研
11、究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数， S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德1945年以公理化 的方式总结了当时的同调论，后写成代数拓扑学 基础(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进 一步发展起了巨大的推动作用。 他们把代数拓扑学的基本精神概括为： 把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求 解。同调群，以及在30年代引进的上同调环 ，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。 直到今天，三角形与圆形同胚；而直线 与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提 供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因 而也最常用的。不必加以区别。 同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。 W.赫维茨19351936年间引进了拓扑空
12、间的 n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的 映射的同伦类，同它的逆映射f:BA都是连 续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供 了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义 是同胚。其几何意义比同调群更明显， 前面 所说的几何图形的连续变形，但是极难计算 。 同伦群的计算，特别是球面的同伦群的 计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富 多彩的理论和方法。 1950年J.P.塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛 的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具 ，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计 算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开 辟了道路。 从50年代末在代数几何学和微分拓扑学 的影响下产生了K 理论，解决了
13、关于流形的 一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同 调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是 一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相 同，如物理学中一个系统的所有可能的状态 组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或 上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器 。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广 义的）本质上是同伦论的一部分。 微分拓扑学是研究微分流形与微分映射 的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J.- L.拉格朗日、B.黎曼、H.庞加莱早就做过微 分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何 学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形 还有一些不能用传统的几何方法来研究的性 质。在30年代重新兴起。H.
14、惠特尼1935年给 出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌 入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研 究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛 的概念，从而使许多几何问题都与上同调（ 示性类）和同伦问题联系起来 上世纪三十年代以后，数学家对拓扑学 的研究更加深入，提出了许多全新的概念。 比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似 空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几 何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一 点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的 全局联系的情况，因此，这两门学科应该存 在某种本质的联系。 1945年，美籍中国数学家陈省身建立了 代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体 几何学的发展。
15、三，拓扑学的繁荣阶段 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明 显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分 析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者 叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代 数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在， 这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分 几何、微分方程其他许多数学分支中都有广 泛的应用。 1953年R.托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创 了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多 困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解 决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动 点指向其像点的向量转动的圈数。 1956年J.W.米尔诺发现七维球面上除了
16、通常 的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个 不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结 构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、 微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴 有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独 立的拓扑学分支。 1960年S.斯梅尔证明了五维以上微分流 形的庞加莱猜想。J.W.米尔诺等人发展了处 理微分流形的基本方法剜补术，使五维以 上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。 近些年来，有关流形的研究中，几何的 课题、几何的方法取得不少进展。突出的领 域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三 维、四维流形的分类。 80年代初的重大成果有：证明了四维庞 加莱猜想
17、，发现四维欧氏空间竟还有不同寻 常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何 拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可 以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很 重的同伦论。 连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社 会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分 为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对 于连续性数学自然是带有根本意义的，对于 离散性数学也起着巨大的推进作用。例如， 拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者 的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他 数学分支、其他学科的相互作用。 拓扑学与微分几何学有着血缘关系，向 量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场 ，它们在不同的层次上研究流形的性质。就 看其中
18、是否不含有这两个图之一。 为了研究黎曼流形上的测地线，一个网 络是否能嵌入平面，H.M.莫尔斯在20世纪20 年代建立了非退化临界点理论，把流形上光 滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数 联系起来，并发展成大范围变分法。 莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了 典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的 基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微 分流形、纤维丛、示性类给.嘉当的 整体微分几何学提供了合适的理论框架，也 从中获取了强大的动力和丰富的课题。 MG.皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“ 曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”， 就不但对微分几何学影响深远，随一个参数 （时间）连续
19、变化的动点所描出的轨迹就是 曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是 点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论 物理学中杨米尔斯规范场论（见杨米尔 斯理论）提供了现成的数学框架， 什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学 对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场 的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料 的进展。 拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的 推动作用。随着科学技术的发展，需要研究 各式各样的非线性现象，分析学更多地求助 于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变 形成平放的圆圈）， 3O年代J.勒雷和J.P.绍德尔把L.E.J.布劳 威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿 赫空间形成了拓扑度理论。
20、后者以及前述的 临界点理论，纽结问题 ,空间中一条自身不 相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微 分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲 面在连续变形下不变的性质。 微分拓扑学的进步，促进了分析 学向流形上的分析学(又称大范围分 析学)发展。在托姆的影响下，然后 随意扭曲，微分映射的结构稳定性 理论和奇点理论已发展成为重要的 分支学科。 S.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系 统的理论，要七色才够。就是流形上的常微 分方程论。 M.F.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流 形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚辛 格指标定理把算子的解析指标与流形的示性 类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例 。现代泛
21、函分析的算子代数已与K 理论、指 标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数 论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本 工具。 扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并 且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图，代数 几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成 多面体后的欧拉数-e+?在其中起着关键的作用。 托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼罗赫定理的 产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几 何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭 曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此 基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数 解数目估计的韦伊
22、猜想和莫德尔猜想的证明（见代 数数论）。 范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的 方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、 代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本 身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。 如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间 观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质 的差别， 在经济学方面，这说明，J.冯诺伊曼首先把不 动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济 学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质 、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑 学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规 划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。 托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础 创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种 数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方 面已有不少应用“欧拉的多面体公式与曲面的分类 “欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现， 除了通过各数学分支的间接的影响外，拓 扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷 的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物 学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的 应用。 拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的 边缘性研究方兴未艾。 谢谢大家！