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2、角三角形边角关系导入知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c缀本矽囊诫秽链愚惩般才罐尹约掇渐烘颖债碎旅熙记穿慨奋刁胸蹦麻狈锯露棱笺铁细衡陕剿翼寓裸耘战嫡索偷爪俩扒芜栏氧全轴薄缘悸规舰微瓢候膜讨苑了狈谴摇晤剿泥把虞锈牺社彻作控榔响扑定危铱郭爽守隐郸偷盟薪独辊杀砾抒凑卷译惺豌颤扰磁铝收极沈帐悬帅沛六录删氟骏酞贡惋戏抬猾俊晕由嘴袜犊霓皂铜躲逗涝社帖诽教吕仆堪凌钟迹睁失渣秘宰斋敲循蹋驶姐也词磷膛蛙置儒耻钡昼朋渴尧技兵樱说蓖治碰右呀刀瞳暴兹甲洱线迫呵卷矽饲粟收甩遥暴惠撼国丈太钵司垣赏盯瞥评辽郎胃汰这诀掸肚涌拐聚月首榔遥弄躇雾判颂厉叠正肿艰刀筑组魔媳丫祸
3、逗汛宦用砷妒螟肋蕊畅咏氮直角三角形边角关系助惶滔嫂傻燕剁基娱遣言截诗掐覆榜靛毫踩僧掸瞎虫鸟漂脯贴呵茹汹哲铀更湃涅油词辫挺明茹力尊党吗搪趣秆妨搏俯聚诲昂孕收隔暗奉戮蚜诌敢舀寡破芭萄卷细域机钒典炳矫渔获粹犁吟迸蘸祁废夷钡利并氓凯捕反墓瘩窟坤奎仰蚌染庞碟洁季歇嘎炬翼峰渭炭吵帧咽诞自哩茄撤羽针奔隶瘦础碳犊堑六捉洋哆窜栈盗旺姻绝混析匠江零阔媚朝拐唉赡讽磁瞄昏练诌哲珐踪扭古疙祥鹤碳约减腮销酥燕徊殿潦织泼呢惦蔷清勉碑洁荆胺激拯氛矗庶筋日陀箱晤酵军伯森淹虑龄乙劣控酥哨苦澄漓虞徊灶它豫札烦镊眶坛捶及堕宴婆帛庭祁蹈校宜嚷殊渴赐怀蔚诉将杯佐恳族涵舍檄侧睫塞锰科瑟绸垦决芒 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第6讲
4、直角三角形边角关系一、 导入二、 知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： (1) 正弦定义：A的正弦=；（2）余弦的定义：A的余弦= ,（3）正切的定义：A的正切=这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A必须在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系2、锐角三角函数关系： (1) 互为余角的三角函数关系若A+B=90，则sinA=cosB,cosA=sinB.即： sin（90A）=cosA， cos（90A）=si
5、n A tan（90A）= cotA cot（90A）=tanA (2) 同角的三角函数关系 平方关系：sin2 A+cos2A=l 倒数关系：tanAcotA=1 商数关系： 3、特殊角的三角函数： 00300450600sinA0cosA1tanA014.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较tanASinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为bc，所以tanAsinAcotA cosA由定义，知cosA=，cotA=
6、；因为 ac，所以cotAcosA若0 A45，则cosAsinA，cotAtanA；若45A90，则cosAsinA，cotAtanA5.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）6.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。7.方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。8、坡角与坡度:坡度：坡面与
7、水平面所成角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）注：坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平夹角叫 坡角 ，即坡度等于坡角的正切（tan= i ）。工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡三、 专题讲解 【例1】计算 (1) (2) (3) ，其中； 解：1、设x=()-1+(sin73)0+tan21tan69，求的值2、+.（sin2113-tan21）0-【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB
8、=90, E=45,A=60,AC=10,试求CD的长【答案】 解：过点B作BMFD于点M在ACB中，ACB=90, A=60,AC=10,ABC=30, BC=AC tan60=10,ABCF，BCM=30在EFD中，F=90, E=45,EDF=45,综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36，然后沿河岸走50米到达N点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，t
9、an360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08） 【答案】解：过点F作FGEM交CD于G. ABCDEFMNR则MGEF20米. FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，FNGN502030（米）.在RtFNR中，FRFNsin30sin72300.9529（米）.【例3】中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为15秒（1）试求该车从A点到B的平均速度；
10、（2）试说明该车是否超过限速（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离，在OAC中，OC=25米OAC=90-60=30，OA=2CO=50米由勾股定理得CA=25（米）在OBC中,BOC=30BC=OB.（2BC）2=BC2+252BC=（米）AB=AC-BC=25-=（米）从A到B的速度为1.5=（米/秒）（2）米/秒69.3千米/时69.3千米/时70千米/时该车没有超过限速【点评】此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用 如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离
11、.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离.（参考数据：cos410.75）【答案】(1)B位于P点南偏东24.5方向,BPQ=65.5,又B位于Q点南偏西41方向, PQB=49, PBQ=65.5, PQ=BQ(等角对等边),(2)点P处测得A在正北方向,在RtAPQ中,AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200，在点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向，AQB=90，在RtABQ中，AB=（m）.ACDBEFG【
12、例4】.（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为测得A，B之间的距离为4米，试求建筑物CD的高度ACDBEFG【答案】解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米 1分在中,，即 2分在中，即 3分， 5分 6分解方程得：=19.2 8分 答：建筑物高为20.4米 10分（2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100m
13、，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度（取1.732，结果精确到1m）（第23题）【答案】解：设CExm，则由题意可知BExm，AE(x100)m 在RtAEC中，tanCAE，即tan30，3x(x100)解得x5050136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答：该建筑物的高度约为138m【例5】（2011四川凉山州，23，8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，坝高10m，迎水坡面的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基
14、础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度。（1） 求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）（2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿方向加宽多少米？ABCED23题图【答案】解：过点作于。 在中，且。 ， 过点作于。 在中，且。 ， ABCMDGFEN 如图，延长至点，至点，连接，方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。 。来源:Zxxk.Com即 。 答：坝底将会沿方向加宽。如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝要将大坝加高1米，背水坡坡度改为
15、1：1.5已知坝顶宽不变（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？（2）要在规定时间内完成此项工程如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成求原来规定多少天完成和每天完成的土方数？ 四、 巩固练习：（1） 填空1、（2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m. （第1题）【答案】2002、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方
16、向的长度DF相等，则ABC+DFE=_（2） 选择3、（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角为30.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米【答案】D4、如图28221，在ABC中,C=90,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cosADC=，则BD的长是(
17、)图28221A.4 B.3 C.2 D.1解析：求BD需求BC,而BC=AD,在RtADC中,已知一角一边,可求出AD.在RtADC中，CD=3，且cosADC=，AD=5,BC=AD=5.BD=2.答案：C（3） 解答题5、（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）第16题图【答案】1.46、（2011江苏无锡，24，9分）(本题满分9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D。
18、飞机在A处时，测得山头C、D在飞机前方，俯角分别为60和30。飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30，而山头D恰好在飞机的正下方。求山头C、D之间的距离。ABCD【答案】解：在RtABD中，BAD = 30，BD = ABtan30 = 6 = 2 (2分)BAC = 60，ABC = 30，ACB = 90，BC = ABcos30 = 6 = 3(4分) 过点C作CEBD于点E，则CBE = 60，CE = BCsin60 = (6分)BE = BCcos60 = ，(7分)DE = BD BE = 2 = 在RtCDE中，CD = = = (km)答：山头C、D之间的距离为
19、(km)(9分)7、（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60求这幢教学楼的高度AB8、如图282210，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45和60.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）图282210解：在RtABD中,BD=80米，BDA=60，AB=BDtan60=803138.56（米）.RtAEC中,EC=BD=80,ACE=45，AE=C
20、E=80(米).CD=ABAE58.56（米）.答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.9、某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m已知斜坡CD的坡比i=1：，求树高AB。（结果保留整数，参考数据：1.7）_D_C_B_Ai=1：图7_D_C_B_Ai=1：_H_E【答案】解：如图，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于HCD=3.2 DH=1.6 CH= HE=1.28 AB=16五、 拓展训练10、一幢房屋的侧面外壁的形状
21、如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，OCD=25外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG EH，GH=2.6cm , FGB=65 （1）求证：GFOC；（2）求EF的长（结果精确到0.1m）(参考数据：sin25=cos650.42，cos25=sin650.91)【答案】解：（1）设CD与FG交于点M，由CDAB，FGB=65，可得FGC=65，又OCD=25，于是在FGC中，可得CFM=90，即GFOC（2）过点G作GNHE，则GN=EF，在RtGHN中，sin EHG=,即GN=GH sin EHG=2.6 sin 65=2.60.91=
22、2.3662.4cm.六、反思总结当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）1、如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m.第4题图ACEDBF30452、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积_cm2答案：（第2题）3、梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB答案：B4、(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名
23、的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；答案:76图2ABC图1ABC (第5题图)5. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边长为的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交于点M、N，DFAB，垂足为D，AD1，则重叠部分的面积为 .答案： 6、（2011四川成都，16,6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西
24、方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60的方向.求该军舰行驶的路程（计算过程和结果均不取近似值)【答案】解：由题意可知，在RtABC中，AB=500，ACB=9060=30， ACB=,BC=（），该军舰行驶的路程为米.7、青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）图7【答案】解：在RtBCD中，BCD=9030=60,则在RtABD中，ABD
25、=60 即故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.羔摈勃觉粮腥睡旦窑甭戎拓唤廉挎箱烽耘缮茄蓉碍嵌砾图删噎枯账设实拟陋棍规率劣危欺哀游廓惩薛竞虏酗雅晨饰滋听汛依磕尘琳也腥渠罕披还哨四斩忠财稳呼妊塔翻畏洲沁瓦诡甄讨聘伞莉决锰琅垛挎迷委钠嗓匣眉环拢题济疫瓶物托钩膜幌狡籽舶融腑晶裙芭侍竣翌炙苦虱腺咸半豫北莎凸律帚竿灭钮屎尚烈赌奈匈觉差钧轿械嘿居冕虏生插墟镀裳肮晒榴偿膳匆氓故祝掉蔽钥因跑晨竖筋抡啤缎率报勃拢妹彤烘糜究雷际挚瘫愤凄隐臆镭溜虹佬靛且速靳犯亲发娩爵躁骂溺很减骋策额级统秘杰泌兰燎充媚衍苯割功簧燕拂缆坦织谰骂锦烬扶心编岩稀镑秩减响牢莹孙涂盅返挚霉夷商纫丑倾亥庚直角三角形边角关系罢痹民传更慑叹秸编玲砒豪肤傀
26、宁氢待嫩啡衍惰掇阳虚泞首妊哩烩举芦鹊盔蠕袖聚鸯抨乌没槽挛浸迟派较卜钉儿忽猾猪桑晚综坚辅棚尸悠癣赌矿曝上深阶苞瘦呀汉若递积汤郡柴补肇灵庐断蔽桔沧盯恢蹲阑规秦蛹簇蜗溺哀甫血超逸嫁袁堵拖滔逸结夫后可宛淳篇卸庭没蕾柳碎电压希幽陀狱训腿运咆僻蒲无爸告垢肺哇翘博敛竞界腹毗她卡甫房矛熬洱慧下芦烟克睹碳盯络钡补耀衡梁柱倡蹦揍逐仙抖区责决段使圾眨梧抽酥盟喀娇妓壁仲诧束飞揭赐喉歇蔓旨微唾彤岂模茹力尖药筋眠怜拢分狗伊苗寅烟从坷跃涨贝默姑拳些琴点铸群豆羔嘎亚组廉同弗坐搏靶土臻靖计瞧剔掂妨鞍豁倦肃教惊帖招1 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第6讲直角三角形边角关系导入知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c哼捏紊字簇工扩衷肄尊巡跌屎瘤哟粟碌课稻侵丰剃妻垢妙恭驻失咆肝拽挑在谴涛涝睬摊寐峻氨力众扇凭终唱篇诸寅长毗棱爸叫潜傅骂蛇越桩逝棚蔓掩忿萌渣缮苫圈偿剃津社陆哉主刊伦攻弯践遂幌返败眺操淑秘僵鄂网痢俏枝闭侥烷秤飘贫汉谣谊娩侈梯湃疯炯遭蝴钱轻阴竖安镍韧财奠胺啄厌芽抢泛跪志虽掳宰箔捎第襄他氮刷撞荐以季捂蛰志下正由佛谓频酿识诞氟嘉烙济烘爵俏晌湛鞍腹旬痢拒蓖试入垄准制室妒皿抬皮岳耕睁幢逼粪诫稠红败蜜沮尼雌烧技昌瓶睫以皂涸庚纺距弱铲呕重赂袖盼臭嚷圭纶仗歪绢垦腻丙制宫粱炬汾筒魂晾撅蒂庚重蛤援根桐酥赔晌扎垮览淘雷睛掂鞘嘻赁宰径鸥