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1、27.2.1 二次函数的图象与性质(一),二次函数的定义： 函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) 叫做x的二次函数,思考：你认为判断二次函数的关键是什么？,判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0,练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m_,探究：二次函数的图象,1：画出 y= x2 的图象。,解： （1）列表,以0为中 心选取7个x 值列表,（2）描点,（3）连线,X,0,10,8,6,4,2,-5,5,Y,轴对称图形,这是一条抛物线,这是抛物线的顶点,对称轴是y轴,2：请同学们画出 y=-x2 的图象。,3. 探究:观
2、察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你 一种什么感觉?,答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。 两个图象关于x轴对称。,定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.,y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.,探究,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐标及其规律.,1. 抛物线y=x2的图象开口向上, 抛物线y=-x2的图象开口向下.,2. 图象的顶点都在原点. y=x2的顶点是图象的最低点, y=-x2的顶点是图象的最高点.,结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质,1. 顶点都在原点;,当a0时，开口向上；
3、当a0时，开口向下,3.还可以发现，a越大，则开口越小； a越小，则开口越大,探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？,y=-2x2,x,y=2x2,当a0时， 对称轴的左侧:y随x的增大而减小； 对称轴的右侧:y随x的增大而增大。 当a0时， 对称轴的左侧:y随x的 增大而增大； 对称轴的右侧:y随x的增大而减小。,6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。,(0,0)最低点 (0,0) 最高点,y轴 y轴,向上 向下,增大 增大,减小 增大,增大 减小,6,2,10,增大 增大,(2)、开口方向： 当a大于0时，开口向上； 当a小 于0时，开口向下。,二次函数y=ax2的图象的性质,(
4、1)、顶点是原点，对称轴是y轴。,a0,ao,即:直线:x=0,(3)、增减性,a0,a0,y随x的增大而增大。,在对称轴的左侧(x0):,y随x的增大而减小；,在对称轴的右侧(x0):,当a0时,当a0时，,在对称轴的左侧(x0):,y随x的增大而增大。,在对称轴的右侧(x0):,y随x的增大而减小。, 当 x=0 时, y最小值=o., 当 x=0 时, y最大值=o.,试一试：,1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 ；,2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x
5、的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 ；,3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。 C 对任一个实数y，有两个x和它对应。 D 对任意实数x，都有y0,x,y,o,A,例1、已知y =(m+1)x 是二次函数且其 图象开口向下 （1）求m的值和函数解析式。 （2）x在何范围内，y随x的增大而增大? y随x的增大而减小?,练习一,2、已知函数 是二次函数，且开口向上。 求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律,例2、函数y=ax2(a0)与直线y=2x-3交于
6、点(1,b).求： (1)a与b的值； (2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？ (4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形 的面积。,O,A,B,x,y,y=-2,先代入直线，得到交点再代入二次函数,例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的 交点坐标,y,x,O,求抛物线与直线的交点坐标的方法： 两解析式联列方程组,回顾练习及提高：,1、二次函数 的顶点坐标是 ，对称轴是 ， 图像在 轴的 （顶点除外），开口方向向 ，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大。,2、抛物线 ，当 时，
7、 随着 的增大而 减小，当 时，函数 有最 值，此时 。,3、根据二次函数 的图像的性质，回答下列问题： （1）如果点P 在抛物线 上，那么点Q 也在 这条抛物线上吗？为什么？,（2）当 时，设自变量 ， 的对应值分别为 ， ， 当 时，必有 吗？为什么？,小结：,（1） 顶点都在原点;对称轴是y轴,（）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,（）当a0时， 在对称轴的左侧:y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧:y随x的增大而增大。 当a0时， 在对称轴的左侧:y随x的 增大而增大； 在对称轴的右侧:y随x的增大而减小。,二次函数y=ax2的图象性质与特点：,函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做x的二次函数,