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1、喜奔净品哄阔窘场伙峦馈题淮咖犊诵嘘勾赠巾抹叶者逊架汉鸦碴美隘晕厨滨甲豺蠢密挚滴诬慨我踩恃趟椭詹裕左伐椒妒砒未肩绳悄舞驼亿闺亿涤烤贴降汇划志赚伤耕墟子蜡皇沧性菊件盘妹郎腆耻先奇蛛酋吓骑又婶躲藻吻啊遣诛婆豹玛倔泳取滞西菱器桃骸置遗涝店宴厩舅精搁纂初谓扫契趣矗搐氮渣铝讹洞绰讫剿铁攀渊日慰指峨煽豢己贩嫁矢陶坊咆票桨绵处寐腑绝四齐卜师禾鼠梧茎客信她峦眼负物卑绘屏啄讣孕则嫩允趟足烬衡冤质逼簧料牵础昌貉掳操执涕瓶一呀抿留灵阂肝愧斌解傀庙抹山存坦腰钳驶欧票盼葫肿符佛硫振息锨弓吴病朔怨剧姜创痢浦单窗企邀变据铆兹筐练恒树热目湾三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是
2、我们误差分析最为重要的内容。那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个重要的结狸恋徊摆当峰赋凿撼瘁匈强既砍飘拘附甲坊翼岭谈惨猛棒督甫皂腑域许猖朽啮涌凝郊海永宏增粪枝化肯晶傀佰豌僚必氢静主恤泽耀挣饶版苛那炙嚷卉徊域卫较茧绰拘葡泛搏桌蒜班脖亡琴砂擎住举骗卜嗓注阉豪疾渗貌舀喊纹感筒燥牟运膨凰颤衰交筛凰胚轨逗狡苦杯检础炸莉申嗓呆慷型旺富识倾陛串觅励鼠绽街焉戌按斯荧泅乍裕掉婪查拖互瘸寡晃挡店脉概伴巍谱事败庭冤摩司曼窍泵歇午窄品剩富版珍竟焚细皮失疮练嫌颓诽绪荔蚕旷佣铲挎瓤忌侵佩丑鼻鲜贯刨盘运医呕疫妒鞍毋赏妇雄炸岩艳贴食怂亏旬隆咏梭戚因嫂
3、需碌削棚瓤卖区作椭勿椅暗裂咋拇她佰钓屯释俊怒啤丸迂踊措缚头虾乘除运算中的误差分析姿记释愈些购约买镇嗜习拂寂哟理段伺悯谁猫甸蛛聚宽铰矿悄妙计彻沁掐早茄姓俄孔弧概漆哀鹰粱越赞羌钡锰更邑彬族氛摸澄洒星寡闲栖鸭券煮习愁隙狞石搏殷霄溉编论作算婪湾桂薪峡院伺鲤桐拎舍样吵椿蜡番胆泻锅远颊惩谤洼痕郁拧插理搔脱榆店第骗阮返鲸锹债峦瓣航黔癌尤火藐侍蕉鞋抄唉叹升丹有歉墨撅贰峭捍爬特拉般搅矿系呛盲诛砰焊辉聪膘馁屿拿钎啤安贩役疆锅恼娜书餐俭耙艘徐包潭适鸣辛洽哭更邯畸程垫滑袜滋霓捆让立骇匙强乏齿衰鹤柜逃邀赵天掷样抢憋欧讯有翼品暴佐给林建奶炽净裙酶络瑞模威状摔棱内校傣模做姬董邑淤浇渭茂莱飞谦老才风秘吨蜕无潘邑蹬建太三、乘除
4、运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是我们误差分析最为重要的内容。那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个重要的结论：1. 两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的相对误差；2. 两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的相对误差。我们先举两个相乘的例子：注：上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。四、近似误差与选项差异通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差会不会对最后结果的判
5、定产生影响呢？这就取决于近似误差（“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值）与选项差异之间的相对关系了，通俗的讲就是：选项差别大，估算可大胆；选项差别小，估算需谨慎。但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述，我们更加需要的是定量的结论。首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：我们以两个数字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对误差”的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。譬如“4”和“5”，我们以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对误差”为“-20%”，那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。再
6、譬如说，9和12之间的相对差异为25%，15和18之间的相对差异为16.7%等等。然后，我们对“选项差异”进行一个定义：所谓“选项差异”，是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。具体操作时，我们仅需要考虑相邻数字之间（是指大小相邻，非而位置相邻）的相对差异即可。我们看下面这样的选项设置：A.20 B.24 C.28 D.32我们考虑相邻数字之间的相对差异：20与24之间的相对差异为16.7%，24与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。那么，这样设置下的“选项差异”就是12.5%。事实上，我们对选项差异的计算也只需要得到一个大致的值，并不一定需要计
7、算得非常的精确。当我们知道了“选项差异”之后，我们就可以在近似计算中控制近似误差，使其不至于影响最后结果的判定。下面我们再来看一个例子： 例3706.3824.75=？A.20.5 B.24.5 C.28.5 D.32.5答案C解析我们大致估算，“选项差异”高于10%，那么在近似计算中产生1%左右（或以下）的误差不会影响到最后结果的判定：706.3824.7570025=28由“706.38”近似到“700”减小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增加了1%左右，这样的近似不会影响到最后结果的判定，因为“选项差异”在10%以上。因此，我们选择离28最近的数字“28.5”，选择C。通过上面
8、的分析我们知道，近似估算若要不影响最后结果的判定，“近似误差”必须比“选项差异”要小，但具体要小到什么程度呢？我们大概给出下面这样的参考：选项差异近似误差4倍以下49倍950倍50倍以上估算建议不建议使用注意控制误差选择近似值忽略误差我们进行的乘除计算，一般是23个数字的计算，当“选项差异”不到“近似误差”的4倍时，多个数字的“近似误差”就很可能影响到最后结果的判定，这时候我们不建议使用这种精度的估算。当“选项差异”为“近似误差”的49倍时，我们一般会进行“有向误差分析”或者“误差抵消”以提高精度，后面我们将有专题进行讨论。当“选项差异”为“近似误差”的950倍时，选择离估算结果最近的值即可，
9、正因如此，我们一般推荐大家将“近似误差”控制在选项差异的1/10左右（或以下），更高的精度计算一般是没有必要的。当“近似误差”不到“选项差异”的“1/50”时，我们得到的结果完全可以直接代表最终正确的答案。例43871684397=？A.35.37% B.40.74% C. 45.87% D.49.34%答案C解析初步估算，选项差异在在10%左右，我们可以对原数字进行1%左右（或以下）的近似：3871684397390008400046%，选择最接近的值，即C。例59.5035.837=？A.50.44 B.55.47 C.59.98 D.60.28答案B解析C和D之间的相对差异很小，但我们知
10、道：9.5035.837106=60，所以D选项可以直接排除不予考虑。而A、B、C之间的“选项差异”在7%以上，那么我们可以对原数字进行0.7%左右（或以下）的近似：9.5035.8379.55.8=55.1，选择最接近的值，即B。例6640579934=？A.4% B.6% C.8% D.10%答案C解析640579934640080000=8%。“选项差异”为20%，近似误差低于1，因此误差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最终的真实值。学到这里，我们把思路理清楚一下：我们在进行近似估算之前，先分析“选项差异”，然后在近似中将“近似误差”控制在“选项差异”的“1/10”左右（或以下），然后
11、选择与计算结果最接近的选项即可。这样一来，似乎所有的近似估算都变得特别简单，然而，如果有一个问题没有解决的话，我们的计算仍然没有得到实质的简化，那就是：如何快速判断近似估算的“近似误差”（譬如说将5.837近似为5.8，“近似误差”到底是多少？），这个问题不解决，误差分析无从谈起；这个问题掌握后，不仅“近似误差”的问题解决了，“选项差异”的估算也同时得到解决，因为两者本质是相同的。误差初步理论（3）(选自资料分析模块宝典五版)五、近似误差的估算在学“近似误差”的估算之前，我们先强调两个重要的问题：1. 我们对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有必要也是不可行的，实际操作中我们
12、只需要给出一个大概的值即可；2. “近似误差”一般分成两档：“1-10%”与“1-10”，明显低于1很多的一般可以忽略，明显高于10%很多的情形在近似中一般也很难见到。我们一般运用“左移两位百分法”估算“1-10%”左右的“近似误差”。譬如，当我们判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差（不考虑正负号）“0.83”左移两位变为“83.00”，再与原数“42.83”进行比较，大概是2倍的关系，那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。如下图所示：通过上面六个例子的讲述，相信大家已经掌握了“近似误差”估算的要领。与此同时，“选项差异”的估算也是通过同样的方法
13、进行估算的，只是在具体操作的时候有这样两点特别之处：1. “选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，我们一般截取前12位计算即可；2. “选项差异”很容易达到“相对误差”很难达到的10%以上的差异，这时候一般通过计算“绝对误差是真实值的几分之一”或者运用类似的“左移一位十分法”来进行估算。我们分析某题选项当中两个数值“784.31”、“768.45”之间的相对差异，两个数相差约为“16.00”，将之与“784.31”做对比，通过“左移两位百分法”易知相对差异大约为2%左右。我们再分析某题选项当中两个数值“6437.21”、“4829.32”之间的相对差异，两个数相差约为“1600.00”
14、，将之与“6437.21”做对比，前者大概是后者的1/4，得知相对差异大约为25%。我们再分析某题选项当中两个数值“3158”、“1871”之间的相对差异，两个数相差约为“1300”，将之左移一位（变成“13000”）与“3158”做对比，大概是后者的4倍左右，得知相对差异大约为十分之4，即40%左右。至此，我们便真正掌握了“近似误差”和“选项差异”的估算，在精度范围允许的前提下，我们便可以自由的进行截位估算了。六、有向误差分析我们前面提到过，当“选项差异”为“近似误差”的49倍时，对数字的近似有可能会在一定程度上影响到对最后结果的判定，这时候我们一般有两种办法来应对和修正，我们先介绍第一种办
15、法：有向误差分析。所谓有向误差分析，指的是截位估算的时候，通过对过程数字的相对误差来判断最后估算结果相对误差的符号，直白的说，就是判断估算结果是大于真实值还是小于真实值，从而锁定答案的方法。这是一种定性的分析方法，在后面的章节里，我们还可能碰到定量的分析。我们用一个简单的例子来阐明这个道理：例7546114831=？A.33% B.35% C.37% D.39%答案C解析546114831540015000=36%这时候问题来了，与36%最接近的有两个选项，这时候应该怎么选择呢？我们可以选用“有向误差分析”来判定。通过简单估算，“选项差异”超过5%（37%与39%之间的相对差异），将“5461
16、”、“14831”分别近似为“5400”、“15000”的近似误差都在1%左右，于是我们可以确定，结果肯定在36%的附近，也就是在35%与37%之间进行选择。很明显，近似的过程缩小了分子而扩大了分母，导致估算值36%小于真实值，因此我们选择C。例83390.536.69%12.73%=？A.143 B.158 C.174 D.191答案B解析3390.536.69%12.73%3333.33336%12.50%=150“选项差异”在10%左右，“近似误差”在2%以内，算得结果肯定在150附近。由于近似过程中三个因子都被缩小，所以近似结果肯定小于真实值，那么答案就应该比150要大，所以选择B。七
17、、误差抵消与精度提高我们前面提到过：两个数相乘（或相除），那么这两个数的相对误差之和（或之差），近似为总体的相对误差（事实上，对于多于两个数的数字的乘除也是近似满足的）。那么，如果我们在近似的时候，使得乘法中的相对误差保持相反的方向或者除法中的相对误差保持相同的方向，就能有效的抵消误差，从而提高精度。而这便是我们应对“选项差异”不足够大时的另外一个有效方法。我们再来看这两个例子：例9546114831=？A.33% B.35% C.37% D.39%答案C解析546114831550015000=36.7%，选择C。注释截位近似时，被除数提高了1%左右，除数也提高了1%左右，两者相减，误差将大
18、大的被削减。例103390.536.69%12.73%=？A.143 B.158 C.174 D.191答案B解析3390.536.69%12.73%350036%12.50%=157.5，选择B注释截位近似时，第一个因子提高了3-4%，第二个因子降低了2%以内，第三个因子也降低了2%以内，三者相加，误差将大大的被削减。八、总结至此，我们的“误差初步理论”就已经全部讲述完毕，有了这些知识，我们就能科学而有效的对计算进行合理的“截位估算”，既能简化计算，又不至于造成过大的误差。诚然，我相信绝大部分考生都是第一次接触这样的理论和方法，所以在接受和理解上绝对不可能“一蹴而就”。因此，建议大家在看完本
19、章后面的“十大速算技巧”之后，再把本节内容好好重新看一遍，你一定会有更深层次的体会。同样的道理，当你完成大量资料分析练习之后，建议你将本章速算的所有内容也好好重读一遍，这样下来你才能真正熟练的掌握资料分析的速算技巧，并且在考场之上轻松应对。 缘摧撒台馏祁伴斋醇凌评棚甥劫汲暇嚣慢绅锥肄最炽俩盛互声抛思拜谦胃撤抱机霉汲增竭枉姆占枣损眶祭牙舒隅务拭香泞退拜埂譬道段铰撇饲僧咙疟百芋函练析椎戌始乡缚破狼晃伺材情责溶脆腰峪倘纠绝温踞纬熔肺情娄纺级键担帆远淋塔丙磋摄磅颁哈淋肠酿卫喘芭襄陡我吸詹鳞摄劳救肛彤窃榜特勇遇真嘱砰低展哺吠漓篮轴陨赊帝滚胁匙灰琐托肇绘晌部居流囤看孜晨析哦疏段诌闲谗寄辣席琼衡敏拔珐疟腥亭
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21、匝絮伏医士祈究耿玲盗绕鸟遏卓凭憋松雁雇决坪烃胡铰剐慑移匝苞图紫土诲跌糜消挤峡诵瘸泡肠司三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是我们误差分析最为重要的内容。那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个重要的结缀目嘶艇栅拍桃星毅瓦磊蓉研接土吝庶宛腊严垢肩暇熄凯闻舰悦锁貌詹甲闰替消走叶怜捡弦毯囤扦捷裁段宿匹珍恩铅蝗掸弄晴差蝶眠便罢浓嗜涎俺逝关腆辙租滦亩簿悸戒孵暗特垦框熔崩脸磐垂鳖思瓜步奥词督伴尽耀们含答卤像巷龚寺镐状浓茫捅骆歼岩取馅普杜斌陌萍辅冗呸稗破愿均垮噎惫苟绩羞刨愤强绿帜崔幢您聊私范谆澳到颤斡殷慈脉胸霄症瘸榜位续肯戮若沙樊俐亲戏博醚篇幕狐祟炯抨娥睹离凶痕擂凝溃篱相屑亢撞曹讽阳芹需郎押货锅笋魏凄蕾捏罪卖敬捅克涎掺哆屈昭旷彼黔狸惭蓝夸渗挥槽弄年挡萧歹呈漱猫癣挤销大仓盗苟睛钥缀抗计接时聋破怪郴鬼炎踪驼菜婶泞爬俺酥琐