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1、第三章 函数的基本性质,3.4.1 函数的基本性质,奇偶性,如何用数学语言表述函数图象关于y轴对称呢？,y = f (x),函数图象关于y轴对称.,y = f(x),A(x0，f (x0),点A关于y轴的对称点A的坐标是_.,点A在函数 y = f (x) 的图象上吗？,点A的坐标还可以表示为_.,你发现了什么？,(x0，f (x0),(x0，f (x0),奇偶性定义,那么称 是 偶函数,如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有,偶函数的图像是以 轴为对称轴的轴对称图形.,一个函数的图像关于 轴对称，那么它是偶函数.,奇偶性定义,那么称 是偶函数,如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都
2、有,那么称 是奇函数,如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有,那么称 是奇函数,如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有,奇偶性定义,奇函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形.,一个函数的图像关于原点中心对称，那么它是奇函数.,3,x,y,O,1,-1,-2,具有奇偶性的函数， 其定义域在数轴上有怎样的特点？,函数定义域关于原点对称.,函数具有奇偶性的必要条件是：函数定义域关于原点对称.,即对于任意的 ，都有,例1:判断下列函数是否为奇函数或偶函数：,(4),(5),思考：对于定义在R上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？,若f (2) = f (2)，则函数 f (x)是偶
3、函数,若f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数,判断函数奇偶性的方法：,(1)定义域是否关于原点对称？,(2) 与 是否相等?,奇函数 偶函数,例2.判定下列函数的奇偶性：,(1),(2),(2),(2) 解:,当 时，,综上，对于任意 ，都有,因此函数 是奇函数.,当 时，,例3.已知 是奇函数，且当 时，解析式为,为 ，求： 的值.,解：,当 时，,当 时，,综上：,解毕,例4.已知 是奇函数，且当 时，解析式为,为 ，求 时， 的解析式.,当 时，,所以 时，,解：,思考 如果 是偶函数呢？,思考 可以求出 时的函数值吗？,解毕,例5.(1)已知 ，且,求 的值；,解: (1),是奇函数,记,(2),已知 是奇函数，求,(2),已知 是奇函数，求 的值.,解:,显然当 时，等式一定成立.,反之， 时， 显然为奇函数.,所以 是 为奇函数的必要条件.,因此， 是奇函数，当且仅当,成立.,解毕,例6.已知 对一切 都有,若 ，求 的值(用 表示).,解:,是奇函数(如何证明？),解毕,