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1、函数的综合运用,课件制作：代玲,一、考点扫描：,函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：,1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。,2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。,3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。,4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学
2、生的应用意识。,1、若 f ( x ) 是二次函数，f ( 2 x ) = f ( 2 + x ) 对任意实数 x 都成立，又知 f ( 3 ) f ()，比较 f (3 ) 与 f ( 3 ) 的大小？,解：设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a 0 ), f ( 2 x ) = f ( 2 + x ),即抛物线的对称轴为 x = 2, f ( 3 ) f (), 抛物线的开口向上,又 因 f ( x ) 在 (，2 上是减函数, f ( 3 ) = f ( 2 + 1 ) = f ( 2 1 ) = f ( 1 ),故 f (3 ) f ( 1 ) = f ( 3 ),
3、f (3),f (3),结论：若函数 f ( x ) 满足 f (x + m ) = f ( x + n ),则此函数的对称轴为,二、知识回顾：,2、定义在 1 , 1 上的函数 f ( x ) 是奇函数，并且在 1 , 1 上 f ( x )是增函数，求满足条件 f ( 1a ) + f ( 1 a 2 ) 0 的 a 的取值 范围。,解：由 f ( 1a ) + f ( 1 a 2 ) 0 得 f ( 1 a 2 ) f ( 1a ), f ( x )是奇函数, f ( x ) 在 1 , 1 上是增函数, f ( 1 a 2 ) f ( a 1 ),故 a 的取值范围为,例1、已知函数
4、f (x) 对于任何实数 x、y 都有 f (x + y) + f (x y) = 2f ( x ) f ( y ) 且 f ( 0 ) 0，求证： f ( x ) 是偶函数。,解： 对于任何实数 x、y 都有 f ( x + y ) + f (x y ) = 2f ( x ) f ( y ),令 x = y = 0 ，则 f ( 0 ) + f ( 0 ) = 2 f ( 0 )f ( 0 ),2 f ( 0 ) = 2 f 2 ( 0 ), f ( 0 ) 0, f ( 0 ) = 1,令 x = 0 ，y = x，则 f ( x ) + f (x ) = 2 f ( 0 )f ( x )
5、,f ( x ) + f (x )= 2 f ( x ),f (x )= f ( x ),故 f ( x ) 是偶函数,三、范例点击：,例2、设函数 f(x)=5 x 的反函数f 1(x) 满足条件：f 1(10)= a+1 ，且log2(2 x -1)+log2(2 x+1 -2)5 ，求 g(x)=5 ax-4 x 的值域。,解：由f(x)=5 x ，得f -1(x)= log5x ,因为f -1(10)= a+1,则 log510= a+1,解得a = log52 ,由log2(2 x -1)+log2(2 x+1 -2)5 , 则 log2(2 x -1) 2,即12 x 5,g(x)
6、 =5 ax -4 x =(5log52)x-4 x=2 x-4 x= -(2 x- )2 + (12 x 5),-20g(x)0 . 即g(x)的值域为-20,0),友情提醒：对二次型函数求值域可用配方法，但应注意 变元的取值范围,例3：已知函数f(x)=-x 2+ax+b2+b+1(a,bR) . 对任意的实数x都有 f(1-x)=f(1+x)成立 ，若当x-1 ，1 时，f(x)0恒成立 ，求a 的值及 b 的取值范围。,分析：由f(1-x)=f(1+x) 恒成立f(x)的对称轴为x=1, 即得 a=2,又 f(x)在区间-1 ，1上为单调增函数,当x -1 ，1时， f(x)0恒成立
7、，即有f(-1)0 成立,也就是b 2+b-20 , 解得b 1, a =2 , b(- ,- 2)(1 ,+ ),总结：解题过程中应注意数形结合、等价转化等数学思 想方法的灵活运用。,四、当堂操练,练习1（2003年高考北京试题）,有三个新兴城镇，分别位于A , B , C 三点处，且AB=AC=13km , BC=10km, 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的街垂直平分线上的P点处（如图）。 若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？,答案：P（0 ，4）,练习2（2003年高考上海试题）,已知函数 , 求函数f(x)的定义域 ，并讨论它的奇偶性和单调性。,答
8、案：定义域为（-1 ，0）（0 ，1）；f(x)为奇函数， 在（-1 ，0）和（0 ，1）上单调递减。,练习3：设函数f(x)的定义域为R ， 当x 0 时，f(x) 1, 且对任意 x , yR , 都有f(x+y) =f(x) f(y) 。 （）求证：f(0)= 1 () 求证：f(x)在R上是增函数 （）设集合 , 若 , 求 c 的取值范围,答案：,练习4：某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.,分析：利润=（零售价进货单价）销售量,故有：设利润为 y元，零
9、售价上涨x元 y=（50+x-40）（50-x） （其中 0x50）,即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.,练习5：求二次函数 f ( x ) = x 2 2ax + 2 在 2，4 上最小值。,解： f ( x ) 的对称轴是 x = a，,(1) 若 a 2 时，f ( x ) 在 2，4 上为增函数, f ( x ) min = f ( 2 ) = 6 4a,(2) 当 2 a 4 时，, f ( x ) min = f ( a ) = 2 a 2,(3) 若 a 4 时，f ( x ) 在 2，4 上为减函数, f ( x ) min = f ( 4 ) = 18 8a,五、课外作业：,P29页:1、2、3、4,祝同学们学习进步！,再见！,