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1、第二章 数 列,2.1 数列的概念与简单表示法,64个格子,1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,6,6,7,7,8,8,OK,4,5,6,7,8,1,5,6,7,8,1,2,3,3,4,2,64个格子,你认为国王有能力满足上述要求吗,每个格子里的麦粒数都是,前,一个格子里麦粒数的,2倍,且共有,64,格子,麦粒总数,？,?,?,18446744073709551615,传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 三角形数：1，3，6，10，,上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：,正方形数：1，4，9，16，,上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：,1，2，3，4的倒数
2、排列成的一列数：,高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：,-1的1次幂，2次幂，3次幂，排列成一列数：,无穷多个1排列成的一列数：,三角形数：1，3，6，10，,正方形数：1，4，9，16，,分析共同特点：,1. 都是一列数；,2. 都有一定的顺序,按一定顺序排列着的一列数称为,数列,问1：,数列,，2 ，,改为,1,3,， ，35, 2 ，,， ，35,3,1,请问：是不是同一数列？,问2:,数列,改为：,-1，1，-1，1,1，-1，1，-1，,请问：是不是同一数列？,不是,不是,(数列具有有序性),定义：,数列中的每一个数叫做这个数列的项。,2.记法：,可简记为,项,序号,1
3、2 3 4 ,1， ， ， ， . （1）,第1项,第2项,第3项,排第n位的数称为这个数列的第n项.,第n项,第4项,按照一定顺序排列着的一列数叫数列。,.定义：,一、数列的概念：,a1 , a2, a3, a4,an,问题2:分析以上7个数列项的特点,你能对数列进行分类吗?,1，3，6，10， . （2）,1， ， ， ， . （1）,1，4，9，16， . （3）,1，1，1，1， . （6）,1，1，1，1， . （7）,3、数列的分类：,1)根据数列项数的多少分：,递增数列、递减数列 常数数列、摆动数列,5，4，1，8，7，3，6，2 （4）,2，6，1，7，8，4，5，3 （5）,
4、有穷数列、无穷数列；,2)根据数列项的大小分：,项,序号,1 2 3 4 n,第1项,第2项,第3项,第n项,第4项,问题3：数列的每一项与这一项的序号有什么关系？,1数列的项是序号的函数,数列定义域是什么呢？,定义域：正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，4，,n）,：an=f(n),数列是一种特殊的函数。,数列是自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列 函数值。,数列的实质,二、数列的表示：,a1 , a2 , a3 , a4 , ,an,不能,项,序号,1 2 3 4 n,如果数列 an 的第n项an与序号n之间可以用一个式子来表示，那这个公式就叫做这个数列的通项公式。,1，
5、， ， ， . (1),问题4：数列(1)的第n项an与序号n之间的函数关系能表示出来吗？,an?,思考：仅从数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？,思考：是否所有数列都能写出通项公式呢？,1，1，1，1， .,5，4，1，8，7，3，6，2,不唯一,二、数列的表示：,例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：,写通项公式的一般方法： 由各项的特点，找出各项共同的构成规律。 通过观察、归纳研究数列中的项与序号之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。,例2.根据下面数列 的通项公式，写出它的前4项：,思考：对于通项公式(1)，该数列中的第10项是什么？,写出 的前4项
6、，和(2)比较并观察各项符号有什么规律？,将序号代入通项公式就得到相应的项。,第1项,第2项,第3项,第n项,？,？,？,或,？,？,写出右边各数列 的一个通项公式,观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：,二、数列的表示：,：an=f(n),数列的通项公式,3数列的图象:列表、描点,问题5：你能写出正偶数表示的数列并画出它的图象吗？,这个数列与函数y=2x有何关系？,一些孤立的点,2列表法,-1,我们好孤单！,我们好孤单！,数列用图象表示时的特点一群孤立的点,例2 ：如图，这是数学上的一个怪物：三维谢氏塔，它的每个侧面就是著名的谢宾斯基三角形。你能从图案中发现着色三角形的个数规律吗？,在上图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个 数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式。,问题：如果一个数列an的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2 an-1 + 1（nN，n1），（）,你能写出这个数列的前三项吗？,像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。,补充练习,