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1、2019年3月28日,0,光学教程,第三篇 傅里叶光学,2019年3月28日,1,第五章 变换光学与全息照相,研究的主要问题： 傅里叶变换； 衍射问题的傅里叶表述； 阿贝的二次成像理论和滤波。,要点： 1. 傅里叶变换和光学变换间的关系； 2. 二次成像理论中对频谱的操作。,2019年3月28日,2,引 言：,本世纪四十年代末，将通讯理论中的一些观点、概念和方法移植到光学中产生了傅里叶光学。 傅里叶光学以经典波动光学原理为基础，讨论光的衍射、成像、滤波、全息术等问题，但采用了信息论的描述和分析方法，如把光视作信息，根据线性系统理论在空间频率域中描述和分析系统。 1960年问世的激光器提供了相干
2、性好、亮度高的新型光源，使傅里叶光学获得迅速的发展和应用，成为了现代光学的一个重要分支。,5.1 傅里叶变换,2019年3月28日,3,傅里叶函数：,设一个周期函数g(x)的周期为d，满足狄利克雷条件，即在一个周期内：,则g(x)可以展开为下列三角级数，称傅里叶级数。,（1）单值；（2）只有有限个极值点和不连续点，,2019年3月28日,4,傅里叶函数：,光学中研究的函数g(x)通常是空间函数，因而空间周期的倒数f0=1/d即为空间频率，k0=2/d则为空间圆频率。,由上式可见，周期函数g(x)可以表示为一系列频率为原函数频率f0整数倍的简谐函数的线性组合，f0称为基频，其它频率f0=mf0称
3、为谐频或倍频。,2019年3月28日,5,傅里叶函数：,m次谐频成份可写为：,以频率为横坐标，以各频率成份对应的振幅Am为纵坐标的图形称为该物理现象的振幅频谱，简称频谱。若标出频率和相位的关系，则称为相位频谱。,2019年3月28日,6,傅里叶级数的复数表达：,考虑Eula公式：,代入傅里叶系数的计算公式，则有：,2019年3月28日,7,傅里叶级数的复数表达：,若令：,提问：式中的m的取值范围反映了什么？,2019年3月28日,8,一Ronchi（朗奇）光栅透光部分宽度为d/2，周期为d，振幅透射率函数为：,例1：,试将其展开为傅里叶级数。,解：由题意可知待求为：,2019年3月28日,9,
4、Ronchi（朗奇）振幅透射率函数为：,例1：,解：,2019年3月28日,10,项数越多，则其和越接近矩形函数。,2019年3月28日,11,对于非周期函数g(x)，如果它满足狄利克雷条件，并在无穷区间（，）绝对可积。可将展开为许多简谐函数的线性组合：,傅里叶积分,式中x0表示自变量的不同。,两相邻谐频成份的空间圆频率间隔为：,2019年3月28日,12,对于非周期函数，可看做是周期函数中周期d趋于无穷大的极限情况。当d，k0，此时g(x)的谐频分量的圆频率值mk0（或空间频率mf0）已变为连续量k(或f = k/2)。,傅里叶积分,若令：,略去系数2,2019年3月28日,13,以上称为傅
5、里叶积分公式，称G(k)是g(x)的傅里叶变换，或g(x)是G(k)的逆傅里叶变换。,傅里叶积分,以上表示将非周期函数g(x)分解为以eikx为基元函数的线性组合。G(k)为圆频率k附近单位圆频率间隔的振幅。,2019年3月28日,14,傅里叶变换评述,傅里叶变换提供了将函数g(x)分解为一系列基元函数的线性组合的方法，对于能够应用叠加原理的线性系统是十分有效的。,对线性系统而言，可将激励分解为一系列简单的基元函数的线性组合，然后分别计算系统对基元输入的响应，再把所有基元响应叠加起来，得到总响应。,重要地：光学系统中主要涉及光场的复振幅或光强随空间坐标的分布，这种以空间坐标作为自变量来表示光场
6、分布称为空间域（空域）的描述；而以空间频率作为自变量来表示光场则称为空间频率域（频域）的描述。傅里叶变换和它的逆变换指出了空域和频域两种描述中物函数和它相应的频谱函数之间的联系。,2019年3月28日,15,对二维函数g(x, y)而言，其频谱函数G(kx, ky)为：,二维傅里叶变换式,二维傅里叶变换的意义？,相应的逆傅里叶变换为：,2019年3月28日,16,2019年3月28日,17,所谓准单色光波，可看做持续时间为0的简谐波的一段，或场中某点在0时间内做简谐振动产生的光波。其函数为：,举例准单色光波的分解,其傅里叶分解为：,时间的频谱函数,2019年3月28日,18,其功率谱（注意建立
7、什么是功率谱的概念）为：,举例准单色光波的分解,当=0时，其主极大值：,其两侧的第一极小位于：,谱线的半宽度为： 0,时间相干性的反比公式：01,2019年3月28日,19,其功率谱为：,当=0时，其主极大值：,定义半宽度为半强度点：,得：,时间相干性的反比公式一致。,若振子在持续时间0内做振幅衰减的简谐振动，则：,2019年3月28日,20,衍射区域的划分,从基尔霍夫公式出发进行讨论：,5.2 衍射理论中的傅里叶方法,P点光场的复振幅为：,考虑衍射屏的复振幅透射率函数：,2019年3月28日,21,衍射区域的划分,考虑积分限的变更和积分面元的改写：,在上式中，考虑近似条件：cos 1、分母中
8、r z；,对以上的r做进一步的近似：,2019年3月28日,22,衍射区域的划分,考虑旁轴区域：,对r做二项式泰勒展开：,以上的近似称为菲涅耳近似。此时需：,2019年3月28日,23,衍射区域的划分,故有近似成立时z值范围：,菲涅耳衍射积分公式得：,若z值进一步增大，在一定的观察视场角情况下，(x, y)值比(x0, y0)大得多，即：,2019年3月28日,24,衍射区域的划分,在此条件下，积分可只含x0和y0的线性项：,此近似则成为夫琅和费近似，此时：,夫琅和费积分简便，但可以看出，菲涅耳积分包含夫琅和费积分。,2019年3月28日,25,例2：试证在点光源的共轭像面上接受到的是夫琅和费
9、衍射场。,解：考虑照射在衍射屏的是在S会聚的球面波，衍射屏不再是等相面。考虑旁轴近似：,在衍射屏另一侧的透射波的复振幅分布为：,旁轴条件下的菲涅耳衍射积分为：,2019年3月28日,26,例2：试证在点光源的共轭像面上接受到的是夫琅和费衍射场。,解续：旁轴条件下的菲涅耳衍射积分为：,代入，并消去二次相位因子，得：,2019年3月28日,27,夫琅和费衍射实现屏函数的傅里叶变换,设入射单色平面波复振幅为1，且考虑空域坐标和频域坐标有：,故夫琅和费积分式可进一步写为：,从上式可见：夫琅和费衍射场的复振幅分布等于屏函数的傅里叶变换与一个二次相位因子的乘积。,2019年3月28日,28,夫琅和费衍射的
10、性质,根据傅里叶变换的数学性质，分析夫琅和费衍射的物理特性： 1.线性：线性变换，适合线性系统。若有：,则对实系数a1, a2：,相加图像的频谱等于单个图像的频谱的线性和。,2. 尺度缩放：空域中坐标的伸缩，将导致频域坐标的压缩或伸展：,2019年3月28日,29,夫琅和费衍射的性质,3.平移：原函数在空域中平移，将导致频谱函数在频域中产生线性相移，反之亦然：,则：,衍射图样的强度分布与其相位因子无关，故当衍射孔在其平面内平移时，强度不变；若入射波斜入射，则衍射图样平移。,2019年3月28日,30,夫琅和费衍射的性质,4.反转：空域中原函数的坐标反转，将导致频域中相应函数的坐标反转。,则：,
11、原函数为偶函数或奇函数，则其频谱函数也为相应的偶/奇函数：,2019年3月28日,31,夫琅和费衍射的性质,5.对称性：夫琅和费衍射场的强度分布可写为：,将上式中的空域和频域坐标反转，只要屏函数为实函数，则有：,故对振幅型衍射屏，夫琅和费衍射图样有一对称中心。,2019年3月28日,32,夫琅和费衍射图样的对称性,2019年3月28日,33,夫琅和费衍射的性质,6.守恒：原函数的模平方在空域中的积分值应等于其频谱的模平方在相应频域内的积分值。,或者说：通过衍射屏的光功率和通过透镜后焦面的光功率相等（当透镜足够大时）。,2019年3月28日,34,在光学系统中，透镜主要有两种作用：成像和相位变换
12、。本节研究透镜的相位变换作用及其产生傅里叶变换的条件。 正是由于透镜在一定条件下能实现傅里叶变换，使光学信息处理成为广泛应用。,5.3 理想薄透镜的傅里叶变换作用,2019年3月28日,35,薄透镜的相位变换作用,从波动光学的观点来看平行光的聚焦，可认为透镜将入射平面波变换成为出射的球面波，即透镜具有改变波面形状的作用，或者说，它改变了原平行波面的相位。,波面形状决定于光场中的相位值相同点的轨迹。故改变波面形状就会改变光场的复振幅分布。,2019年3月28日,36,薄透镜的相位变换作用,对薄透镜，不考虑光线在透镜内部的偏折，而认为入射点高度和出射点高度相等。,透镜对入射波相位的调制作用可描写为
13、：,(x, y)称为相位变换函数。,图中光程QQ为：,2019年3月28日,37,薄透镜的相位变换作用,故相位变换函数为：,透镜前后的空气隙(旁轴近似),故：,2019年3月28日,38,薄透镜的相位变换作用,薄透镜的像方焦距为：,故对相位变换函数有：,上式表明：在旁轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有纯二次型的位相因子。,2019年3月28日,39,薄透镜的傅里叶变换特性：,考虑入射是振幅为A的平面波：,光波由物平面到透镜前表面的传播由菲涅耳衍射积分公式计算：,通过透镜的光场为：,2019年3月28日,40,薄透镜的傅里叶变换特性：,光波由透镜后表面到后焦面的传播，同样可由菲涅耳衍射积分公式
14、计算。故得输出面上的光场为：,2019年3月28日,41,薄透镜的傅里叶变换特性：,代入，消去二次指数项，有：,代入透镜前表面和后表面的光场公式，略去常数A，适当改变积分次序，有：,2019年3月28日,42,薄透镜的傅里叶变换特性：,2019年3月28日,43,薄透镜的傅里叶变换特性：,考虑变换公式：,上式可改写为：,2019年3月28日,44,薄透镜的傅里叶变换特性：,2019年3月28日,45,薄透镜的傅里叶变换特性：,若物处于透镜前表面，d0=0，则：,若物平面位于透镜和输出平面之间，则有：,一般情况下，相干平面波照明物平面时，透镜后焦面上光场的复振幅分布，正比于物函数的傅里叶变换和一
15、个二次相位因子的乘积。,2019年3月28日,46,薄透镜的傅里叶变换特性：,物平面的相位弯曲对强度的计算没有影响：,透镜后焦面上光强分布是物函数的傅里叶变换的模的平方，又称物体的功率谱。,物体位于正透镜的物方焦面上，在相干平面波照明的条件下，像方焦面上任意点(x,y)光场的复振幅，就是物函数在该点的二维傅里叶变换。,若物平面位于透镜的物方焦面上， d0=f ，则：,傅里叶变换平面、空间频率平面,2019年3月28日,47,1873年Abbe对相干光提出了两步衍射成像的相干成像过程： 首先：入射平面波经光栅衍射在透镜后焦面形成其夫琅和费衍射图样； 第二步：衍射图样作为透镜的虚物，各虚物点的光波
16、经透镜孔径的限制而衍射，衍射波在焦面上干涉成像。,5.4 Abbe成像原理,2019年3月28日,48,阿贝二次成像：,0级光衍射成像 正负1级光衍射成像 合成像,按照傅里叶光学的观点：相干成像第一步的夫琅和费衍射起分频作用；第二步干涉起干涉作用。,2019年3月28日,49,阿贝二次成像：,物体经透镜成像的两次衍射过程，可以用两次相继的傅里叶变换描述：,又因：,以上为第一次的成像变换过程。,2019年3月28日,50,阿贝二次成像：,对第二次变换过程：,其中：,2019年3月28日,51,阿贝二次成像：,根据牛顿放大率公式：,其中：,像面上的光强分布为：,2019年3月28日,52,阿贝二次
17、成像：,像面上的光强分布为：,物面上的光强分布为：,当透镜孔径为无限大时，物面的所有频谱都参与成像，物面与像面对应点光强之比为常数，物和像几何相似。,2019年3月28日,53,5.5 空间频率滤波,相干光学处理系统,物函数通过两次傅里叶变换得到原物函数，只是坐标反转。,系统中两傅里叶透镜构成共焦组合；共焦面称为变换平面，变换平面可插入若干空间频率滤波器进行选频。,2019年3月28日,54,Abbe-Porter滤波实验,1906年，在频谱面上放置滤波板，获得对输入网格的频率选频操作，得到相关图像。,2019年3月28日,55,调制实验,1906年，在频谱面上放置滤波板，获得对输入网格的频率选频操作，得到相关图像。,2019年3月28日,56,相衬法：,通过相位滤波器将相位分布转换为振幅分布，或者说，利用相位信息来调制像面上的光强分布，从而观察相位物体的某些细节。,主要方法：在变换平面上插入一相位滤波器，使零级分量相对于其他频率分量产生/2或3/2的相位延迟，从而使像面上的强度分布与物体上相位变换成线性关系：,亮场相衬、暗场相衬；削弱零频项等 Zernike于1935年提出，1953年获得Nobell奖。,2019年3月28日,57,下一节课内容：,第六章，将进入光的偏振态及其干涉的学习,请注意回顾和预习.,