公开密钥密码.ppt

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1、密 码 学,公开密钥密码,一、公开密钥密码体制的基本思想,1、传统密码的缺点： 收发双方持有相同密钥，密钥分配困难，网络环境更突出。 不能方便地实现数字签名，商业等应用不方便。,Ke Kd,一、公开密钥密码体制的基本思想,2、公开密钥密码的基本思想： 将密钥 K一分为二，一个专门加密，一个专门解密： Ke Kd 且由Ke 不能计算出 Kd ，于是可将Ke公开，使密钥分配简单。 由于Ke Kd且由Ke 不能计算出 Kd ，所以 Kd 便成为用户的指纹，于是可方便地实现数字签名。,一、公开密钥密码体制的基本思想,3、公开密钥密码的基本条件： E和 D互逆； 基本条件，保密条件 D（E（M）M Ke

2、 Kd且由Ke 不能计算出 Kd ；安全条件 E和 D都高效。 实用条件 E（D（M）M 保真条件 如果满足 可保密，如果满足 可保真，如果4个条件都满足，可同时保密保真。,二、公开密钥密码的基本工作方式,设 M为明文，C为密文，E为公开密钥密码的加密算法，D为解密算法，Ke为公开的加密钥，Kd为保密的解密钥，每个用户都分配一对密钥，而且将所有用户的公开的加密钥Ke存入共享的密钥库PKDB。,二、公开密钥密码的基本工作方式,1、确保数据秘密性：A B 发方： A首先查PKDB，查到B的公开的加密钥KeB 。 A用KeB 加密M得到密文C： C=E（M，KeB） A发C给B。 收方： B接受C。

3、 B用自己的KdB解密，得到明文M=D(C，KdB)。,M,二、公开密钥密码的基本工作方式,1、确保数据秘密性： 安全性分析： 只有B才有KdB ，因此只有B才能解密，所以确保了秘密性。 任何人都可查PKDB得到B的KeB ，所以任何人都可冒充A给B发送数据。不能确保真实性。,二、公开密钥密码的基本工作方式,2、确保数据真实性：A B 发方： A首先用自己的KdA对M解密，得到C=D(M，KdA)。 A发C给B。 收方： B接受C。 B查PKDB查到A的公开的加密钥KeA 。 B用KeA加密C，得到明文M=E（C，KeA）。,M,二、公开密钥密码的基本工作方式,2、确保数据真实性： 安全性分析

4、： 只有A才有KdA ，因此只有A才能解密产生C，所以确保了真实性。 任何人都可查PKDB得到A的KeA，所以任何人都可加密得到明文。不能确保秘密性。,二、公开密钥密码的基本工作方式,3、同时确保数据秘密性和真实性：A B 发方： A首先用自己的KdA对M解密，得到S： S=D(M，KdA) 查PKDB，查到B的公开的加密钥KeB 。 用KeB 加密S得到C： C=E（S，KeB） A发C给B。,M,二、公开密钥密码的基本工作方式,3、同时确保数据秘密性和真实性： 收方： B接受C。 B用自己的KdB解密C，得到S： S=D（C，KdB） B查PKDB查到A的公开的加密钥KeA 。 B用A的公

5、开的加密钥KeA 加密S，得到M： M=E（S，KeA）,二、公开密钥密码的基本工作方式,3、同时确保数据秘密性和真实性： 安全性分析： 只有A才有KdA ，因此只有A才能解密产生S，所以确保了真实性。 只有B才有KdB ，因此只有B才能获得明文，所以确保了秘密性。,三、RSA公开密钥密码,1978年美国麻省理工学院的三名密码学者R.L.Rivest,A.Shamir和L.Adleman提出了一种基于大合数因子分解困难性的公开密钥密码，简称为RSA密码。 RSA密码被誉为是一种风格幽雅的公开密钥密码。既可用于加密，又可用于数字签名，安全、易懂。 RSA密码已成为目前应用最广泛的公开密钥密码。,

6、三、RSA公开密钥密码,1、加解密算法 随机地选择两个大素数 p和 q，而且保密； 计算n=pq，将 n公开； 计算(n)=(p-1)(q-1)，对(n)保密； 随机地选取一个正整数e， 1e(n)且（e，(n)）=1，将 e公开； 根据 ed1 mod (n)，求出d，并对d保密； 加密运算：CM e mod n 解密运算：MC d mod n,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的可逆性 要证明：D(E(M)=M MCd (Me)dMed mod n 因为ed1 mod(n)，这说明edt(n)+1,其中t为某整数。所以， Med Mt(n)+1 mod n 。 因此要证明 Med

7、 M mod n ，只需证明 M t(n)+1 M mod n 。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的可逆性 在（M，n）1的情况下，根据数论(Euler定理)， M t(n) 1 mod n ， 于是有， M t(n)+1 M mod n 。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的可逆性 在（M，n）1的情况下，分两种情况： 第一种情况：M1,2,3,n-1 因为n=pq，p和q为素数， M1,2,3,n-1，且（M，n）1 。 这说明M必含p或q之一为其因子，而且不能同时包含两者，否则将有Mn，与M1,2,3,n-1矛盾。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的

8、可逆性 不妨设Map 。 又因q为素数，且M不包含q，故有（M，q）1， 于是有，M (q) 1 mod q 。 进一步有，M t(p-1)(q) 1 mod q。 因为q是素数，(q)（q-1），所以t(p-1)(q)t(n)，所以有 M t(n) 1 mod q。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的可逆性 于是，M t(n) bq+1，其中b为某整数。 两边同乘M， M t(n)+1 bqM+M 。 因为Map，故 M t(n)+1 bqap+M =abn+M 。 取模n得， M (n)+1 M mod n 。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 E和D的可逆性 在（M，n）

9、1的情况下，分两种情况： 第二种情况：M0 当M0时，直接验证，可知命题成立。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 加密和解密运算的可交换性 D(E(M)=(Me)d =Med =(Md)e =E(D(M) mod n 所以，RSA密码可同时确保数据的秘密性和数据的真实性。 加解密算法的有效性 RSA密码的加解密运算是模幂运算，有比较有效的算法。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 在计算上由公开密钥不能求出解密钥 小合数的因子分解是容易的，然而大合数的因子分解却是十分困难的。关于大合数的因子分解的时间复杂度下限目前尚没有一般的结果，迄今为止的各种因子分解算法提示人们这一时间下限将不低于O

10、（EXP（lnNlnlnN）1/2）。根据这一结论，只要合数足够大，进行因子分解是相当困难的。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 在计算上由公开密钥不能求出解密钥 假设截获密文C，从中求出明文M。他知道 MCd mod n ， 因为n是公开的，要从C中求出明文M，必须先求出d，而d是保密的。但他知道， ed1 mod (n)， e是公开的，要从中求出d，必须先求出(n)，而(n)是保密的。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 在计算上由公开密钥不能求出解密钥 但他又知道， (n)=(p-1)(q-1)， 要从中求出(n)，必须先求出p和q，而p和q是保密的。但他知道， n=pq， 要从n

11、求出p和q，只有对n进行因子分解。而当n足够大时，这是很困难的。,三、RSA公开密钥密码,2、算法论证 在计算上由公开密钥不能求出解密钥 只要能对n进行因子分解，便可攻破RSA密码。由此可以得出，破译RSA密码的困难性对n因子分解的困难性。目前尚不能证明两者是否能确切相等，因为不能确知除了对n进行因子分解的方法外，是否还有别的更简捷的破译方法。 目前只有Rabin密码具有： 破译Rabin密码的困难性=对n因子分解的困难性。,3、 RSA密码的实现 1）参数选择 为了确保RSA密码的安全，必须认真选择密码参数： p和q要足够大； 一般应用：p和q应 512 b 重要应用：p和q应 1024 b

12、 p和q应为强素数 文献指出，只要(p-1)、(p+1)、(q-1)、(q+1)四个数之一只有小的素因子，n就容易分解。 p和q的差要大；,三、RSA公开密钥密码,三、RSA公开密钥密码,3、 RSA密码的实现 1）参数选择 （p-1）和（q-1）的最大公因子要小。 如果（ p-1）和（q-1）的最大公因子太大，则易受迭代加密攻击。 e的选择 随机且含1多就安全，但加密速度慢。于是，有的学者建议取e216+165537 d的选择 d不能太小，要足够大 不要许多用户共用一个模 n；易受共模攻击,三、RSA公开密钥密码,3、 RSA密码的实现 2）大素数的产生 概率产生 目前最常用的概率性算法是M

13、iller检验算法。Miller检验算法已经成为美国的国家标准。 确定性产生 确定性测试 确定性构造,三、RSA公开密钥密码,3、 RSA密码的实现 3）大素数的运算 快速乘方算法 反复平方乘算法： 设e的二进制表示为 eek-1 2k-1 + ek-2 2k-2 +.,+ e1 21 + e0 则 Me = (Mek-1)2 Mek-2)2Me1)2 Me0 mod n 设e为k位二进制数，w(e)为e的二进制系数中为1的个数，则最多只需要计算w(e) -1次平方和w(e)次数的模乘。从而大大简化了计算。,三、RSA公开密钥密码,3、 RSA密码的实现 3）大素数的运算 快速模乘算法 反复平

14、方乘算法解决了快速乘方取模的问题，仍未解决快速模乘的问题； Montgomery算法是一种快速模乘的好算法； 将以上两种算法结合成为实现RSA密码的有效方法。 硬件协处理器是提高运算效率的有效方法。,三、RSA公开密钥密码,3、 RSA密码的实现 3）大素数的运算 Montgomery算法的思路： 要计算 Y=AB mod n ,因为n很大，取模运算困难，采取一个小的模 R，回避大模的计算。 利用空间换时间，多用存储空间换取快速。 缺点：不能直接计算出 Y=AB mod n ，只能计算出中间值 ABR-1 mod n ，因此还需要预处理和调整运算。一次性计算Y=AB mod n并不划算。 适合

15、：RSA等密码中多次的模乘计算。,三、RSA公开密钥密码,4、对RSA公开密钥密码的主要攻击 穷举攻击：穷举所有可能的私钥 数学攻击： 因式分解攻击 参数的选取不当造成的攻击 选择密文攻击 共模攻击 小指数攻击 计时攻击,RSA公钥加密的攻击因子分解,因子分解攻击RSA的途径包括 分解n为p，q 直接确定(n), 而不确定p，q 直接确定d，而不确定(n) 可以证明，从e和n确定(n)或者d的算法至少和因子分解一样费时。因此，将因子分解的困难性作为评价RSA安全性的基准。,RSA公钥加密的攻击选择密文攻击,RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有

16、私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。,RSA公钥加密的攻击共模攻击,共模攻击：指通信系统中使用相同的n，且存在两个用户的公钥e1和e2是互质的，则可以由这两个用户对同一条明文的不同加密结果，恢复出原始明文 攻击方法： 设c1me1(mod n) c2 me2 (mod n) 攻击者知道e1, e2, n, c1, c2 因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，使得te1+se2=1 (注意是相等) 则c1tc2s=m (mod n) 不能用同一个n来生成密钥,RSA公钥加密的攻击小指数攻击,Wiener在1990年指出，当dn1/4时，从e和n可以很容易求

17、出密钥d,RSA公钥加密的攻击计时攻击,思想：利用指数中某一位为0或者为1时，硬件加密速度不同,四、ELGamal公钥密码,1、基本情况： ELGamal密码是除了RSA密码之外最有代表性的公开密钥密码。 RSA密码建立在大合数分解的困难性之上。 ELGamal密码建立在离散对数的困难性之上。,所谓离散对数，就是给定正整数x，y，n，求出正整数k（如果存在的话），使yxk(mod n)。,四、ELGamal公钥密码,2、离散对数问题： 设p为素数，则模p的剩余构成有限域： Fp=0,1,2, ,p-1 Fp 的非零元构成循环群Fp* Fp* =1,2, ,p-1 =，2，3，p-1， 则称为F

18、p*的生成元或模 p 的本原元。 求的摸幂运算为: y =x mod p，1xp-1,四、ELGamal公钥密码,2、离散对数问题： 求对数 X 的运算为 x=logy，1xp-1 由于上述运算是定义在模p有限域上的，所以称为离散对数运算。 从x计算y是容易的。可是从y计算x就困难得多，利用目前最好的算法，对于小心选择的p将至少需用O(p )次以上的运算，只要p足够大，求解离散对数问题是相当困难的。,四、 ELGamal公钥密码,3、算法 准备：随机地选择一个大素数p，且要求p-1有大素数因子。再选择一个模p的本原元。将p和公开。 密钥生成 用户随机地选择一个整数d作为自己的秘密的解密钥，2d

19、p-2 。 计算y=d mod p，取y为自己的公开的加密钥。 由公开钥y 计算秘密钥d，必须求解离散对数，而这是极困难的。,四、 ELGamal公钥密码, 加密 将明文消息M（0Mp-1)加密成密文的过程如下： 随机地选取一个整数k，2kp-2。 计算： U y k mod p； C1k mod p； C2UM mod p； 取 C（C1 ，C2）作为的密文。,四、 ELGamal公钥密码, 解密 将密文（C1 ，C2）解密的过程如下： 计算VC1 d mod p； 计算MC2 V -1 mod p。,四、 ELGamal公钥密码,解密的可还原性可证明如下： C2 V-1 mod p (UM

20、)V-1 mod p UM（C1 d）-1 mod p UM（k）d）-1 mod p UM（d）k）-1 mod p UM（y）k）-1 mod p UM（U）-1 mod p M mod p,四、 ELGamal公钥密码,4、安全性 由于ELGamal密码的安全性建立在GF（p）离散对数的困难性之上，而目前尚无求解GF（p）离散对数的有效算法，所以在p足够大时ELGamal密码是安全的。 为了安全p应为150位以上的十进制数，而且p-1应有大素因子。 为了安全加密和签名所使用的k必须是一次性的。 d和k都不能太小。,四、 ELGamal公钥密码,4、安全性 如果 k不是一次性的，时间长了就

21、可能被攻击着获得。又因y是公开密钥，攻击者自然知道。于是攻击者就可以根据Uy k mod p计算出U，进而利用Euclid算法求出U1。又因为攻击者可以获得密文C2，于是可根据式C2UM mod p通过计算U1C2得到明文M。 设用同一个k加密两个不同的明文M和M，相应的密文为（C1 ，C2）和（C1，C2）。因为C2C2 MM，如果攻击者知道M，则很容易求出M。,四、 ELGamal公钥密码,5、ELGamal密码的应用 由于ELGamal密码的安全性得到世界公认，所以得到广泛的应用。著名的美国数字签名标准DSS，采用了ELGamal密码的一种变形。 为了适应不同的应用，人们在应用中总结出1

22、8种不同的ELGamal密码的变形。,四、 ELGamal公钥密码,5、 ELGamal密码的应用 加解密速度快 由于实际应用时ELGamal密码运算的素数p比RSA要小，所以ELGamal密码的加解密速度比RSA稍快。 随机数源 由ELGamal密码的解密钥d和随机数k都应是高质量的随机数。因此，应用ELGamal密码需要一个好的随机数源，也就是说能够快速地产生高质量的随机数。 大素数的选择 为了ELGamal密码的安全，p应为150位（十进制数）以上的大素数，而且p-1应有大素因子。,五、椭圆曲线密码,1、椭圆曲线密码的一般情况 受ELGamal密码启发，在其它离散对数问题难解的群中，同样

23、可以构成ELGamal密码。于是人们开始寻找其它离散问题难解的群。 研究发现，有限域GF（p）上的椭圆曲线的解点构成交换群，而且离散对数问题是难解的。于是可在此群上建立ELGamal密码，并称为椭圆曲线密码。,五、椭圆曲线密码,1、椭圆曲线密码的一般情况 椭圆曲线密码已成为除RSA密码之外呼声最高的公钥密码之一。 它密钥短、签名短，软件实现规模小、硬件实现电路省电。 普遍认为，160位长的椭圆曲线密码的安全性相当于1024位的RSA密码，而且运算速度也较快。,五、椭圆曲线密码,1、椭圆曲线密码的一般情况 一些国际标准化组织已把椭圆曲线密码作为新的信息安全标准。如，IEEE P1363/D4，A

24、NSI F9.62，ANSI F9.63等标准，分别规范了椭圆曲线密码在Internet协议安全、电子商务、Web服务器、空间通信、移动通信、智能卡等方面的应用。,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 设p是大于3的素数，且4a3+27b2 0 mod p ，称 y2 =x3 +ax+b ，a,bGF(p) 为GF（p）上的椭圆曲线。 由椭圆曲线可得到一个同余方程： y2 =x3 +ax+b mod p 其解为一个二元组，x,yGF(p)，将此二元组描画到椭圆曲线上便为一个点，于是又称其为解点。,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 为了利用解点构成交换群，需要引进一个O元素，并定义如下的加法运算： 定义

25、单位元 引进一个无穷点O（，），简记为0，作为0元素。 O（，）O（，）000 。 并定义对于所有的解点P（x ，y）， P（x ，y）+OO+ P（x ，y）P（x ，y）。,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 定义逆元素 设P（x1 ，y1）和Q（x2 ，y2）是解点，如果x1=x2 且y1=-y2 ，则 P（x1 ，y1）Q（x2 ，y2）0 。 这说明任何解点R（x ，y）的逆就是 R（x ，-y）。 注意：规定无穷远点的逆就是其自己。 O（，）-O（，）,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 定义加法 设P(x1，y1)Q(x2，y2)，且P和Q不互逆 ，则 P（x1 ，y1）Q（x2 ，y2

26、）R（x3 ，y3） 。其中 x3 = 2 - x1 -x2 ， y3 = (x1 x3)- y1 ， =（y2 -y1 ）/(x2 - x1 ）。,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 定义加法 当P （x1 ，y1） = Q(x2，y2)时 P（x1 ，y1） Q(x2，y2) 2 P（x1 ，y1） R（x3 ，y3）。 其中 x3 = 2 - 2x1 ， y3 =(x1 x3)- y1 ， =（3x12 + a）/（2 y1）。,五、椭圆曲线密码,2、椭圆曲线 作集合E=全体解点，无穷点O 。 可以验证，如上定义的集合E和加法运算构成加法交换群。 复习：群的定义 G是一个非空集，定义了一种运

27、算，且运算是自封闭的； 运算满足结合律； G中有单位元； G中的元素都有逆元；,五、椭圆曲线密码,3、椭圆曲线解点加法运算的几何意义： 设P（x1 ，y1）和Q（x2 ，y2）是椭圆曲线的两个点，则连接P（x1 ，y1）和Q（x2 ，y2）的直线与椭圆曲线的另一交点关于横轴的对称点即为P（x1 ，y1）+Q（x2 ，y2）点。,五、椭圆曲线密码,3、椭圆曲线解点加法运算的几何意义：,x,y,0,P,Q,P+Q,五、椭圆曲线密码,4、举例： 取p=11，椭圆曲线y2=x3 +x+6 。由于p较小，使GF(p)也较小，故可以利用穷举的方法根据y2=x3 +x+6 mod 11求出所有解点。 复习：

28、平方剩余 设p为素数，如果存在一个正整数x，使得 x2=a mod p, 则称 a是模p的平方剩余。,五、椭圆曲线密码,x x3+x+6 mod 11 是否模11平方剩余 y 0 6 No 1 8 No 2 5 Yes 4,7 3 3 Yes 5,6 4 8 No 5 4 Yes 2,9 6 8 No 7 4 Yes 2,9 8 9 Yes 3,8 9 7 No 10 4 Yes 2,9,五、椭圆曲线密码,根据表可知全部解点集为： (2，4),(2，7),(3，5),(3，6),(5，2), (5，9),(7，2),(7，9),(8，3),(8，8), (10，2),(10，9)。 再加上无穷

29、远点O，共13的点构成一个加法交换群。 由于群的元素个数为13，而13为素数，所以此群是循环群，而且任何一个非O元素都是生成元。,五、椭圆曲线密码,由于是加法群，n个元素G相加，G+G+.+G nG 。我们取G （2，7）为生成元，具体计算加法表如下： 2G=（2，7）+（2，7）=（5，2） 因为=（322+1）（27）-1 mod 11 =23-1 mod 11=24 mod 11=8 。于是，x3 =82-22 mod 11=5 ，y3 =8（2-5）-7 mod 11=2。,五、椭圆曲线密码,G （2，7）， 2G （5，2）， 3G （8，3）， 4G （10，2）， 5G （3，6

30、）， 6G （7，9）， 7G （7，2）， 8G （3，5）， 9G （10，9），10G （8，8）， 11G （5，9）， 12G （2，4）， 13G O（ ， ）。,五、椭圆曲线密码,除了GF(p)上的椭圆曲线，外还有定义在GF(2m)上的椭圆曲线。这两种椭圆曲线都可以构成安全的椭圆曲线密码。 在上例中，由于p较小，使GF(p)也较小，故可以利用穷举的方法求出所有解点。但是，对于一般情况要确切计算椭圆曲线解点数N的准确值比较困难。 N满足以下不等式 P+1-2P 1/2NP+1+2P 1/2 。,五、椭圆曲线密码,5、椭圆曲线密码 ELGamal密码建立在有限域GF（p）的乘法群的离

31、散对数问题的困难性之上。而椭圆曲线密码建立在椭圆曲线群的离散对数问题的困难性之上。两者的主要区别是其离散对数问题所依赖的群不同。因此两者有许多相似之处。,五、椭圆曲线密码,5、椭圆曲线密码 椭圆曲线群上的离散对数问题 在上例中椭圆曲线上的解点所构成的交换群恰好是循环群，但是一般并不一定。于是我们希望从中找出一个循环子群E1 。可以证明当循环子群E1 的阶n是足够大的素数时，这个循环子群中的离散对数问题是困难的。,五、椭圆曲线密码,5、椭圆曲线密码 椭圆曲线群上的离散对数问题 设P和Q是椭圆曲线上的两个解点，t 为一正整数，且1tn。对于给定的P和t，计算tPQ是容易的。但若已知P和Q点，要计算

32、出t则是极困难的。这便是椭圆曲线群上的离散对数问题，简记为ECDLP(Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem)。,五、椭圆曲线密码,5、椭圆曲线密码 椭圆曲线群上的离散对数问题 除了几类特殊的椭圆曲线外，对于一般ECDLP目前尚没有找到有效的求解方法。于是可以在这个循环子群E1中建立任何基于离散对数困难性的密码，并称这个密码为椭圆曲线密码。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 T= p为大于3素数，p确定了有限域GF（p）； 元素a,bGF(p),a和b确定了椭圆曲线； G为循环子群E1的生成元点，n为素数且为生成元G的阶，G和n确定了循环子群E1； h

33、=|E|/n，并称为余因子，h将交换群E和循环子群联系起来。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 密钥： 用户的私钥定义为一个随机数d， d1,2,n-1。 用户的公开钥定义为Q点， Q=dG 。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 设d为用户私钥，Q为公钥，将Q存入PKDB。 设要加密的明文数据为M，将M划分为一些较小的数据块，M=m1 ，m2 ， ，mt，其中0mi n 。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 加密过程：A把M加密发给B A查PKDB，查到B的公开密钥QB 。 A选择一个随机数k，且k1,2,n-1。 A计算点X1（x1 ，y1）=kG 。 A计算点X2（x2 ，y2）=kQB ，如果

34、分量x2=O，则转。 A计算密文 C = mi x2 mod n 。 A发送加密数据（X1，C）给B。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 解密过程： 用户B用自己的私钥dB 求出点X2 ： dBX1 = dB（kG） = k(dB G) = k QB = X2（x2 ，y2） 对C解密，得到明文mi =C x2 1 mod n 。,五、椭圆曲线密码,椭圆曲线密码 椭圆曲线密码的实现 由于椭圆曲线密码所依据的数学基础比较复杂，从而使得其具体实现也比较困难。 难点： 安全椭圆曲线的产生； 倍点运算。,六、公钥密码的理论模型,1、单向函数 设函数 y=f(x)，如果满足以下两个条件，则称为单向函数：

35、如果对于给定的 x，要计算出 y很容易； 而对于给定的 y，要计算出 x很难。 2、单向函数的应用 安全HASH函数 操作系统口令,六、公钥密码的理论模型,3、利用单向函数构造密码 用正变换作加密，加密效率高； 用逆变换作解密，安全，敌手不可破译； 但是加密后不能还原。,六、公钥密码的理论模型,4、单向陷门函数 设函数 y=f(x)，且 f 具有陷门，如果满足以下两个条件，则称为单向陷门函数： 如果对于给定的 x，要计算出 y很容易； 而对于给定的 y，如果不掌握陷门要计算出 x很难，而如果掌握陷门要计算出 x就很容易。,六、公钥密码的理论模型,5、单向陷门函数的应用 用正变换作加密，加密效率

36、高； 用逆变换作解密，安全； 把陷门信息作为密钥，且只分配给合法用户。确保合法用户能够方便地解密，而非法用户不能破译。,六、公钥密码的理论模型,6、单向函数的研究现状 理论上：不能证明单向函数一定存在； 实际上：只要函数的单向性足够工程应用就行； 实际上已找到的单向性足够的函数有： 合数的因子分解问题 大素数的乘积容易计算（ pq n），而大合数的因子分解困难( n pq)。 有限域上的离散对数问题 有限域上大素数的幂乘容易计算（ ab c），而对数计算困难( log a c b)。,公钥密码方案的实际应用,实现速度 通常用于交换对称算法的加密密钥 数字签名算法,公钥密码安全性分析,穷举攻击：可使用长密钥来对抗 由公钥来计算私钥：目前为止，虽然对特定公钥算法，均未证明该方法不可行。但公钥仍广泛使用,对称加密 VS 公钥加密,公钥加密 VS 公钥签名,公钥加密：可以提供保密性，但不能提供认证性。因为任何人都可以用A的公钥对消息进行加密，并发送给A。 公钥签名：可以提供认证性，但不能提供保密性。因为签名的验证过程中消息必须为明文的形式。 要同时实现加密和认证，可以同时使用加密和签名(一般为：先签名，后加密),1、公开密钥密码体制的基本思想是什么？ 2、公开密钥密码体制的基本工作方式有哪些？并进行简单的描述。,