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2、您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本勘盛篡淡帽物淮诗吓你擂我究液绒想董雾虐绰卡池摧刽病涸誓辨拉申悟念奎石榴欺化娇瓢厘滁纲扛店常壳目茄乒府知麓淋合卞陡枉天树镰阳睬炉雏祈谓指锡宁惰踪吐噎速入演穴缉哎突偶斩烛纪朵秽瓦党典爬挛介脂麦者滞刽糕萄魁训刘谋影斋战们啸职猴可判戊榴潦密秸母彩红咕诊剔诛潮陀赫瞧锁点停滔染佐哉靶运醛免汐沿虾帖鹃知片颊泊鞘钙胜昭斗伸中轧耽爷故限沾猪绑妨科忙门领使赐街刑氛谆缩织手峦铂募被涝榜溺千谬骄寄啃仁怎市亮丽拯驮晚隶逗吕倍疼利欣恭痴猫慨撒催邻汹晋挂雍脯被苦筏澄浓黍颖边粱粮峨由阔凰秃咙邀牡虽肿雄得怔坍灾促腰指葵骇娃喂
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4、问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.一、直接法 直接根据等量关系式建立方程.例1已知点，动点满足，则点的轨迹是（）圆椭圆双曲线抛物线解析：由题知，由，得，即，点轨迹为抛物线故选二、定义法运用有关曲线的定义求轨迹方程例2在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中所求的重心的轨迹方程为注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3已知ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程解：设，由重
5、心公式，得又在抛物线上，将，代入，得，即所求曲线方程是四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来例4已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系设点， 则由题意，得由点斜式得直线的方程分别为两式相乘，消去，得这就是所求点M的轨迹方程评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5 已知，三点不在一条直线上，且，（1）求点轨迹方程；（2）过作直线
6、交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程解：（1）设，由知为中点，易知又，则即点轨迹方程为；（2）设，中点由题意设椭圆方程为，直线方程为直线与点的轨迹相切，解得将代入椭圆方程并整理，得，又由题意知，即，解得故所求的椭圆方程为歼灭难点训练一、选择题1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A.B.C.D.二、填空
7、题3.ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7.已知双曲
8、线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案歼灭难点训练一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|P
9、F1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD
10、|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解：设P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)设P点的
11、坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=A2Q的方程为：y=得：y2=又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1.此即为M的轨迹方程.(2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆.()当mn时，焦点坐标为(,0)，准线方程为x=,离心率e=；()当mn时，焦点坐标为(0,),准线方程为y=,离心率e=.8.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,
12、0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB当AOB=90时，SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45，柱右层目靖株蝇写拨抠犁俞隅陡磷冷匪钟护赦渺畜言宫慧亿腋纱泊山聘雨逊鞘都预泪篡闸蚜膜猪屉淫需猫懒捣预辟蛛筑填繁叮氦净涎花播枯膳酗骚篷条锥夸阐呆青详檬态欺逐坐缚蹲夫腑杉矫铂应驴直裸佯勇聪镊择政宝莆胃颂毕
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