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1、15.4 因式分解,复习与回顾,:整式的乘法,计算下列各式: x(x+1)= ； (x+1)(x1)= .,x2 + x,x21,15.4.1 提公因式法,在小学我们知道，要解决这个问题，需要把630分解成质数乘积的形式.,类似地，在式的变形中，有时需要将 一个多项式写成几个整式的乘积的形式.,讨论 630能被哪些数整除?,观察、探究与归纳,请把下列多项式写成整式乘积的形式.,把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.,想一想：因式分解与整式乘法有何关系?,因式分解与整式乘法是互逆过程.,(x+y)(xy),x2y2,类比与比较,练习一 理解概念,判断下
2、列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x24y2=(x+2y)(x2y)； (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r).,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；,把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m的商，像这种分解因
3、式的方法，叫做提公因式法.,探究,怎样分解因式: .,注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.,说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx 8ky ； (3)5y3+20y2 ； (4)a2b2ab2+ab .,m,4k,5y2,ab,分析：应先找出 与 的公因式，再提公因式进行分解.,例1,分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.,例 2 分解因式,.,随堂测验,因式分解：,24x3y18x2y ； 7ma+14ma2 ； (3)16x4+32x356x2 ； (4) 7ab14
4、abx+49aby ； (5)2a(yz)3b(yz) ； (6)p(a2+b2)q(a2+b2).,拓展与提高,1.20042+2004能被2005整除吗?,思考,你能将多项式x216 与多项式m 24n2分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?,(a+b)(ab) = a2b2,a2b2 =(a+b)(ab),两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.,15.4.2 公式法(1),例3 分解因式: (1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2.,分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x29 = (2x )2 3 2，即可用平方差公式分解因式. 在
5、(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2n2.,4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3).,(x+p)2 (x+q) 2 = (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q) =(2x+p+q)(pq).,例4 分解因式: (1)x4y4; (2) a3b ab.,分析:(1)x4y4写成(x2)2 (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.,解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2) = (x2+y2)(x+y)(xy).,(2)
6、 a3bab =ab(a2 1) =ab(a+1)(a 1).,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.,练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么? (1) x2+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.,2.分解因式: (1)a2 b2; (2)9a24b2; (3) x2y4y ; (4) a4 +16.,思维延伸 1. 观察下列各式: 3212=8=81; 5232=16=82; 7252=24=83; 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被24整除吗? 为什么?,思考： 你能将多项
7、式a2+2ab+b2 与a22ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？,(a+b)2=a2+2ab+b2, (ab)2=a22ab+b2.,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方.,a2+2ab+b2=(a+b)2 a22ab+b2=(ab)2,15.4.2 公式法(2),例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x= 24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32,a2,2,a,b,b2,+,解：(1
8、)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2.,+,解：(2) x2+4xy4y2 = (x24xy+4y2) = x22x2y+(2y)2 = (x2y)2 .,例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2.,例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)212(a+b)+36.,分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.,解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 .,(2)(a+b)212(a+b)+36 =(a+b)22(a+b)6+
9、62 =(a+b6)2.,将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m212m+36.,练习 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a24a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b1 ; (4)a2+ab+b2.,2.分解因式： (1) x2+12x+36; (2) 2xyx2y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x24x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy3y2.,应用提高、拓展创新,1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（1） ； （2） ； （3） ；（4） （5） .,归纳： （1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 分解因式时要分解到不能分解为止.,2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.,今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?,小结,作业：习题15.4，2、3、5.,