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1、第六章 格林函数法,本章主要研究基本解和格林函数及其在边值问题和初值问题中的应用，并介绍混合问题的相关解法。,6.1 格林公式,高斯公式,其中n为S的外法线方向。,（1）,取,整理得,于是得到第一格林公式,（2）,得,同理，有,（3）,将上二式两边相减得第二格林公式,（4）,三维公式,几种常用的积分形式,在公式（4）中,若令 v=(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得,若令u=1，可得,平面格林公式,或写成对弧长积分的形式,（5）,（6）,其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。,二维公式,由公式（6）可推导出，平面第二格林公式,（7）,（8）,其中n为边界曲线C的外法线向
2、量。,关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系,推导细节,公式（6）左边等于,设,公式（6）右边等于,如是证得公式（8）。,推导细节,几种常用的积分形式,在公式（8）中,若令 v=(x,y)，并在边界上取 v=0，可得,若令 u=1，可得,讨论二维第二格林公式,令,由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式,6.2 基本解,定义 1 设L为线性微分算子，称方程 LU=(M-M0) 的解U(M,M0)为方程 LU=0 或LU=f(M) 的解本解，其中M为区域内任意一点，M0为中的任意一个固定点。,求三维拉普拉斯方程的基本解,解 由定义 1 可知，即求U使其满足方程,以固定点M0为原点，建立球坐
3、标，并假设U与,无关，方程化为,其中,求解常微分方程可得,（1）,考虑到基本解在 r=0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（1）两边进行体积分得,利用格林公式，有,所以,最后得三维拉普拉斯方程的基本解,取边界S 为球面，其半径为 r，则有,求二维拉普拉斯方程的基本解,解 由定义1 可知，即求U使其满足方程,以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与无关，方程化为,其中,求解常微分方程得,（2）,考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（2）两边进行面积分得,利用格林公式，有,所以,于是得二维拉普拉斯方程的基本解,取边界C为圆周，
4、其半径为 r ，则有,求二维亥姆霍斯方程的基本解,解 由定义1 可知，即求U使其满足方程,以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与无关，方程化为,其中,求解零阶贝塞尔方程得,（3）,考虑到在 r = 0 处，J0(kr)有界，取 A = 0，而 Y0(kr) 具有(2/)lnr 的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行面积分得,利用格林公式，有,取边界C为圆周，其半径为 r，则有,于是得二维亥姆霍斯方程的基本解,证明三维亥姆霍斯方程的基本解,采用格林函数法，试证明三维亥姆霍斯方程,的基本解为,练习,利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解,解,以固定点M0为原点，建立球坐标
5、，并假设U与,无关。若U满足,（a）,则必满足,设未知函数表达式为,其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得,于是，最后得到双调和方程的基本解,6.3 格林函数 二维格林函数的定义,定义2 满足,的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B为平面区域D的边界。,定理1 格林函数具有对称性，即 G(M1;M2)= G(M2;M1) 这里点M1的坐标是(x1,y1)，点 M2的坐标是(x2,y2) 。,同理可定义三维拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数。,满足,的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。,三维格林函数的定义,类似可定义三维拉普拉斯方程第三边值
6、问题的格林函数。,满足,的函数称为拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。,但是不可定义拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。,若定义满足,的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。,证明 进行体积分并利用格林公式，可得,易知齐次边界条件无法满足，上述定义不能成立，证毕。,格林函数的求法,将格林函数看作是基本解与齐次解之和，即,相应的方程为,及,基本解在前面已经求出，有边界区域齐次方程解的求法在下一节介绍。,假设格林函数已经求出，下面研究三维拉普拉斯算子第一边值问题解的积分表示。,若 u 满足如下定解问题,则解 u 的积分公式为,其中M (x,y,z)为积分变量。,三维问题解
7、的积分公式,证明,类似地可以证明二维拉普拉斯方程第一边值问题,解的为积分公式为,二维问题解的积分公式,其中M (x,y,)为积分变量。,6.4 位势方程第一边值问题 6.4.1 半空间的格林函数,半空间的格林函数满足,其中点M0(x0,y0,z0)的坐标分量z00。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面z=0上感应的负电荷在点M (x,y,z) 处产生的总电位。,如右图所示，M1是M0关于z=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在z=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y,z)的总电位就是格林函数,O,此式右端第一项是基本
8、解，第二项在上半空间内满足拉普拉斯方程。,下面利用半空间格林函数给出定解问题,解的积分表达式。,应用举例,首先计算边界上的方向导数,代入相应积分公式，,可得,6.4.2 球域上的格林函数,在以原点为球心，以R为半径的球域内的格林函数满足,其中点M0(0,0,0)的 0R。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地球面 = R上感应的负电荷在点M (,)处产生的总电位。,如右图所示， 点M1 (R2/0,0,0)是点M0关于 =R球面的反演点，在点M1放置电量为R/0的负电荷，则它与点M0处的单位正电荷在 =R球面的电位就相互抵消。这两者在点M (,)的总电位就是格林函数,O
9、M0 M1,此式右端第一项是基本解，第二项在球域内满足拉普拉斯方程。,R,验证法 1,当点M在球面上任意位置时，三角形MOM0与三角形MOM1在O点有共同的夹角，且此夹角的两对边成比例,所以这两个三角形相似，故,验证法 2,当点M在球面上任意位置时，有,下面利用球域上的格林函数给出定解问题,解的积分表达式。,利用余弦定理，有,其中是OM0与OM之间的夹角。,代入相应积分公式，可得,此为球域累次积分形式的泊松公式，其中,或写成,m0和m分别是向量OM0与OM的单位方向。,比较,4.6.3,球体内的Dirichlet问题,*勒让德多项式的母函数,函数,称之为勒让德多项式的母函数。即勒让德多项式是母
10、函数泰勒展开的系数,应用举例,利用母函数，计算范数的平方,解,利用母函数公式,两边自乘，可得,分别对等式两边积分,比较可知,证明 母函数展开公式,首先推导勒让德多项式的复积分表达式，由勒让德多项式的微分式可得,根据留数理论有,其次对母函数作复幂级数展开,其中,作变量代换,则有,计算细节,6.4.3 半平面上的格林函数,半平面的格林函数满足,其中点M0(x0,y0)的y00。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面y=0上感应的负电荷在点M (x,y) 处产生的总电位。,y,x,M0(x0,y0),M1(x0, -y0),M,如右图所示，M1是M0关于y=0平面的对称点，
11、在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在y=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y)的总电位就是格林函数,O,此式右端第一项是基本解，第二项在上半平面内满足拉普拉斯方程。,利用格林函数，求解半平面上拉普拉斯方程,应用举例,的狄利克雷问题。,解,首先计算边界上的方向导数,代入相应积分公式,可得,6.4.4 圆域上的格林函数,在以原点为圆心，以R为半径的圆域内的格林函数满足,其中点M0(0,0)的 0R。,点M0关于 =R圆周的反演点为M1 (R2/0,0)。则点M (,)的格林函数为,此式右端第一项是基本解，第二项在圆域内满足拉普拉斯方程。,验证,当点M在圆周上任意位
12、置时，三角形MOM0与三角形M1OM在O点有共同的夹角=-0，且此夹角的两边成比例,所以这两个三角形相似，故,下面利用圆域上的格林函数给出定解问题,解的积分表达式。,利用余弦定理，有,代入相应积分公式，可得,此为圆域的泊松公式。,6.4.5 固有函数法,当求解区域规则时，可以采用固有函数法求解格林函数。,二维边值问题,的格林函数满足,其中B为平面区域D的边界。,考虑固有函数问题,假设已求出固有值mn和相应固有函数mn。,将格林函数和单位脉冲函数按固有函数展开,利用单位函数性质和固有函数的正交性，可得,为确定系数amn，计算可得,对比,根据格林函数的微分方程，故有,应用举例 矩形域上的的格林函数
13、,求矩形域上泊松方程非齐次第一边值问题,的解。其中D为矩形区域：0xa,0yb。,解 首先求解偏微分方程固有函数问题,假设它有分离变量形式的非零解,代入方程得,从而得出两个常微分方程,分离变量后，知边界条件为,于是得到两个常微分方程的固有值和固有函数,进一步得偏微分方程固有值和固有函数,得格林函数,边值问题解的积分形式为,即,即,*6.4.6 亥姆霍斯方程边值问题,定义 三维亥姆霍斯第一边值问题,的格林函数G(M;M0)满足,其中V为空间区域V的边界。,格林函数问题,当区域 V 为某些特殊区域，可用基本解和镜像法求格林函数。对于一般区域，求格林函数的方法是固有函数展开。若已经求得固有值问题,的
14、固有值和固有函数，如果 k2 不等于固有值，根据S-L理论可得格林函数的级数表达式,定理,设函数 G 是亥姆霍斯方程初值问题的格林函数， , f 都是连续函数，则非齐次亥姆霍斯边值问题,解的积分公式为,。,练习,已知格林函数G(M;M0)满足,其中V为空间区域V的边界。,试证明非齐次亥姆霍斯边值问题,的积分形式的解为,证明,6.5 波动方程初值问题的基本解 6.5.1 一维初值问题 基本解的定义,定义 称定解问题,的解为波动方程,初值问题的基本解。,基本解问题,设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题,对无界域内坐标变量进行傅里叶变换。设,解,假设无穷处边界条件为,则可将
15、偏微分方程的初值问题变换为,常微分方程的初值问题，可得到像函数,作傅氏逆变换，有,定理,设U是波动方程初值问题的基本解， (x,), (x,), f (x,t)都是连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题,解的积分公式为,其中,。,证明 方法一,可知初值条件得到满足。,可知非齐次方程也得到满足，证毕。,方法二, U(M,t)满足定解问题,可知U*满足定解问题,定理证明分三个部分：, 根据齐次化原理，可知,必满足非齐次方程, Ut满足定解问题,根据叠加原理，定理得证。,易知， Ut* 满足定解问题,定理的应用,利用基本解，求一维非齐次波动方程初值问题,解的解析表达式。,代
16、入解的积分表达式,其中,将积分表达式右端三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。,将基本解,同理,首先计算,最后计算,三部分相加，即得一维非齐次波动方程初值问题的达朗贝尔公式,6.5.2 三维初值问题 基本解的定义,定义 称定解问题,的解为波动方程,初值问题的基本解。,设 U 为基本解，求三维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题,基本解问题,对无界域内三个坐标变量同时进行三维傅里叶变换。设,解,假设无穷处边界条件为,则可将偏微分方程的初值问题变换为,常微分方程的初值问题，可得到像函数,作傅氏逆变换，有,适当选取球坐标(,)，使,最后得,定理,设U是波动方程初值问题的基本解
17、， (x,y,z), (x,y,z), f (x,y,z,t)都是连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题,解的积分公式为,其中,。,证明 方法一,可知初值条件得到满足。,可知非齐次方程也得到满足，证毕。,方法二,基本解U(M,t)满足定解问题,基本解U(M-M0,t)乘(M0)后进行积分运算，可知U*满足定解问题,定理证明分三个部分：, 根据齐次化原理，可知,必满足非齐次方程, Ut满足定解问题,根据叠加原理，定理得证。,易知， Ut* 满足定解问题,定理的应用,利用三维基本解，求三维非齐次波动方程初值问题,解的解析表达式。,代入解的积分表达式,其中,将积分表达式右端
18、三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。,将基本解,选取球坐标系,可得,其中,同理得,最后根据齐次化原理，计算,其中,其中,三部分相加，即得三维非齐次波动方程初值问题的累次积分形式的泊松公式,与第二章行波法的结果相一致，并增加了非齐次项。,6.5.3 二维初值问题 基本解的定义,定义 称定解问题,的解为波动方程,初值问题的基本解。,设 U 为基本解，求二维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题,基本解问题,考虑二维初值问题,采用降维法，利用三维泊松公式可推导出二维泊松公式：,解,将基本解问题的初值条件代入可得,即,6.6 热传导方程初值问题的基本解 6.6.1 一维初值问题
19、 基本解的定义,定义 称定解问题,的解为热传导方程,初值问题的基本解。,设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题,基本解问题,解,对x取傅立叶变换，设,定解问题化为常微分方程初值问题,解得,取逆变换得,设U是热传导方程初值问题的基本解， (x,), f (x, t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则非齐次热传导方程初值问题,解的积分公式为,定理,其中,证明,可知初值条件和方程得到满足，证毕。,定理应用,求一维非齐次热传导方程初值问题,的解。,将一维基本解U代入解的积分表达式,此结果与第五章积分变换的相应结果一致。,可得,6.6.2 n 维初值问题 基本解的定义,定义
20、称定解问题,的解为热传导方程,初值问题的基本解。,设 U 为基本解，求 n 维热传导方程初值问题的基本解，即求初值问题,基本解问题,解,对 x 取n维傅立叶变换，设,定解问题化为常微分方程初值问题,解得,取逆变换得,即,设U是n维热传导方程初值问题的基本解， (x), f (x,t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则n维非齐次热传导方程初值问题,解的积分公式为,定理,其中,证明,可知初值条件和非齐次方程得到满足，证毕。,定理应用,求三维非齐次热传导方程初值问题,的解。,将三维基本解U代入相应的积分表达式，可得,与第五章积分变换的相应结果一致，并增加了非齐次项。,*6.7 混合问题的格林函数
21、 6.7.1 初值齐次第一边值问题 一维波动方程,格林函数的定义,定义 称定解问题,的解G(x,t;,)为波动方程,初边值问题的格林函数。,格林函数问题,设 G 为格林函数，求一维波动方程初边值问题的格林函数，即求初边值问题,解,两端固定有界弦自由振动问题,用分离变量法或固有函数展开法，可得,将格林函数的初始条件代入，可得,定理,设G是波动方程初边值问题的格林函数， (x,), (x,), f (x,t)都是连续函数，则非齐次波动方程初边值问题,的解的积分公式为,。,证明,可知初值条件得到满足。,可知非齐次方程也得到满足，又因格林函数满足齐次边值，证毕。,定理的应用,利用格林函数，求一维非齐次
22、波动方程初边值问题,解的级数表达式。,代入解的积分表达式,将格林函数,整理后，可得级数形式的解,与第四章分离变量的相应结果一致，并增加了非齐次项。,一维热传导方程 格林函数的定义,定义 称定解问题,的解G(x,t;,)为热传导方程,初边值问题的格林函数。,格林函数问题,设 G 为格林函数，求一维热传导方程初边值问题的格林函数，即求初边值问题,解,若长为 l 的均匀细杆，侧面保持绝热，两端置于零度，杆的温度分布可归结为下列定解问题,用分离变量法可得,将格林函数的初始条件代入，可得,定理,设G是热传导方程初边值问题的格林函数， (x,), f (x,t)都是连续函数，则非齐次热传导方程初边值问题,
23、解的积分公式为,。,证明,可知初值条件得到满足，非齐次方程也得到满足。,定理的应用,利用格林函数，求一维非齐次传导方程初值问题,解的级数表达式。,代入解的积分表达式,将格林函数,整理后，可得级数形式的解,与第四章分离变量的相应结果一致，并增加了非齐次项。,6.7.2 初值非齐次第一边值问题 一维波动方程,格林函数的定义,定义 称定解问题,的解G (x,t;,)为波动方程,初边值问题的格林函数。,两种定义的比较,第一种：6.7.1 格林函数满足定解问题,第二种： 6.7.2 格林函数满足定解问题,利用齐次化原理，可得到格林函数（第二种）的表达式,格林函数问题,设 G 为格林函数，求一维波动方程初边值问题的格林函数，即求初边值问题,解,两端固定有界弦强迫振动问题,用固有函数展开法，可得,将格林函数的自由项代入，可得,即,定理,设G是波动方程初边值问题的格林函数， (x,), (x,), f (x,t),(t),(t)都是连续函数，则波动方程非齐次初边值问题,的解的积分公式为,。,证明,首先，由格林函数的表达式,可知格林函数具有空间变量的对称性和时间变量的倒易性,其次，利用格林函数的对称性和倒易性，计算可得,计算细节,按 6.7.2 小节格林函数的定义，初始条件可写为,第六章 格林函数法 结束,