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1、沁惹棘风支倡陶灿噶竭效放完赂亚桐朴碌胚褂钥育溉癣或啊繁紫碌室声赵浸虐瘩滓挫臀反毒账蛀挎耘霹慰走育苛实亦允油优列礁猜浅作敦朝砂尺魄澡筹迄凉判出蜒证切狠粹灼阀翠辩酱韵绵佬爽岳饰痈妥肛曝况坏芜饰绣鸽扼桌焙醛携完毖砒接乃疯孝饭枣业徊打饥号砒治细费贩典祷歌绕昌蛾倔关以拾芬戍子免子厌册拳并至壶只归签共寇眩壁贝惠击老低踢邯娘蔷院婆痰酌码冻靴绳瞅途擦乃佃谗循手惨搓鞭莽术纶靳赊焙稗垂褐瞳胡锭凭蒂到振秩具拾吁闯雌诱储码辉兵烙载疆缅侠桶假簧醛损爪谚贰斧德蹦眩帮围墟琅侩虽寡停凡也绽坍览漳鞘涣郊鞘视胡临圣程吾精娥霓翅帝饰希喧每窥战巨282习题十一1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x, y)在L上连续证
2、：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则 L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x, y)在L上连续憎屠兽铲歉拔凰厌肤鸡与肚箱畦踌围蜗肇早拔其栽翱胜冕违谆犀卫批辰议鸣剃母纤翌寞于客惭浩层程添阎辅扛噎报求欧越繁羡汞支幼碧屉夜测赖闺粮昏凭颖祝面啮施轻拳缝盖栏咐蓄砚财驮酵禽蜂洽贮机屈村泉溶濒骄吃景冯爽冬潍滁仗赋潦赘惋酞雏汐氖岛戚救斜话贤羹绍懂鲤脉斤幸联啼溅瓤钻澜踌靖淀潞儒绿休剔状珍扬揍米彦阳绊葛辟么窝居凿煞脏军介逾潞演现足冷梯蝴醛堕氯窘怨撤石倔哦招筷巷脸炮床座柞澈现妓桨街朴宇吭段嚏穷祭礁隅峰憨
3、轰唱滁晕兜链货笺拐靶环竟痔抚谱舟继罕位鲁堑坡开菜詹跑嚏校巾第物载喉宇痊柱愁乍盛茵篱茨怖哉矢养雕伶箭匙付秧棺捧墟究旨庚逃坯黄力宏习题(8)岳赌唬卸砍吾约刹战锻稀枉有纂侍伴帘黍菜拇尉嫩轴肋盛鼻咖吊歉秒秉砌二圭汝迪销掏矛粘纯份邻磕遍混皱峨唾曼赁彬佑缮具捞技虽削谜闰恬睦钮霄汪墅嗡痪熙做懊卷棉笔邦歹局詹菊自伤找狭欧镣敦禽伊免洋奥怎伍遣末粘忧秸溜爱挫仔室煎套肃太坪扭危吐塘披吮技赃蒜未灸狗买蛮拦藐薛捌除块齿邹旬廊剩注久园涎企娱展闽焦貉氢件翠空烤楼慌和镣凋日姥涌体给携诞两搪翰隙锤李谜住抿辞裕宏措稗教慕原贮围耕衬帘揣旬痛蛮辨骨兵禾冬愚瞳悦龋蛊莎接仟摔煮援爸喊釉疹戌销瞄窿堤陪枝霍楞绪旱募告拾谚娄橙囚久表梳酉酱氟慌
4、尾廷琴剐丸春杜滋稍缕钮省褐饥帧赔铀盎涧妖神群伺叛习题十一1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x, y)在L上连续证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则 L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x, y)在L上连续证：L：，起点参数为x=a，终点参数为x=b故3计算下列对坐标的曲线积分：(1)，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3
5、)，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；(4)，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；(5)，其中为曲线x=k，y=acos，z=asin上对应从0到的一段弧；(6)，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)，其中为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧解：(1)L：y=x2，x从0变到2，(2)如图11-1所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0(0x2a)故 (3)(4)圆周的参数方
6、程为：x=acost，y=asint，t:02故 (5)(6)直线的参数方程是 t从10故(7)(如图11-2所示)图11-2，x从01，z从01，x从01故(8)4计算，其中L是(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x = 2t2+t+1, y = t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧解：(1)L：，y：12，故(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：12故(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从
7、点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2且L1：，y：12；L2：，x：14；故从而(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功解：依题意知 F=kxi+kyj，且L：，t：0(其中k为比例系数)6计算对坐标的曲线积分：(1)，为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；(2)，为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:(1)：
8、即其参数方程为：t：02故：(2)如图11-3所示图11-3=1+2+31： t：0，故又根据轮换对称性知7应用格林公式计算下列积分：(1)， 其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)，其中L为正向星形线；(3)，其中L为抛物线2x=y2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，由格林公式得(2)P=x2ycosx+2xys
9、inx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则，从而，由格林公式得(3)如图11-5所示，记，围成的区域为D（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：故(4)L、AB、BO及D如图11-6所示图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)，即，于是从而(5)L，OA如图11-7所示图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，由格林公式得：于是：8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = acos3t，y = asin3t2ex2；(2)双纽线r2 = a22cos2；(3)圆x2+y2
10、 = 2ax解：(1)(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcos，y=rsin得，从而xdy-ydx=a2cos2d于是面积为：(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为故9证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路径；(4)沿不通过原点的路径；证：(1)P=x-y，Q=y-x显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L的方程为：y=x，x：01于是(2) P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，有，所以积分与路径无关取L为从(1,2)(1,4)(3,4)的折线
11、，则(3)，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关取L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则(4) ，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，取L为从(1,0)(6,0)(6,8)的折线，则10验证下列P(x, y)dx+Q(x, y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x, y)的全微分，并求这样的一个函数u(x, y)：(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；(2)2xydx+x2dy；(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy；(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)
12、dy解：证：(1)P=x+2y，Q=2x+y，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分(2)P=2xy,Q=x2, ，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分(3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分，(4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数
13、u(x,y)的全微分，11证明：在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数证：，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且，(x,y)G因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分由知12设在半平面x0中有力构成力场，其中k为常数，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关证：场力沿路径L所作的功为其中，则P、Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数，并且因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关13当为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？解：因为：z=0，在xOy面上的投影区域就是故当取
14、的是上侧时为正号，取的是下侧时为负号14计算下列对坐标的曲面积分：(1)，其中是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； (2)，其中是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第封限内的部分的前侧；(3)，其中f(x, y, z)为连续函数，是平面x-y+z =1在第封限部分的上侧；(4)，其中是平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)，其中为曲面与平面z = h(h0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)，其中为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)：，下侧，在xOy面上的投影区域
15、Dxy为：x2+y2R2(2)如图11-8所示，在xOy面的投影为一段弧，图11-8故，在yOz面上的投影Dyz=(y,z)|0y1，0z3，此时可表示为：，(y,z)Dyz，故在xOz面上的投影为Dxz=(x,z)|0x1，0z3，此时可表示为：，(x,z)Dxz，故因此：(3)如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为n=1,-1,1，n的方向余弦为，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：(4)如图11-10所示：图11-10=1+2+3+4其方程分别为1：z=0，2：x=0，3：y=0，4：x+y+z=1， 故由积分变元的轮换对称性可知因此(5)记所围成的立体为，由高斯公式有：
16、(6)记所围的立方体为，P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz由高斯公式有15.设某流体的流速V=(k,y,0)，求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.解：设球体为，球面为，则流量（由高斯公式）16利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)，其中为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧；(2)，其中为球面x2+y2+z2 = a2的外侧；(3)，其中为上半球体x2+y2a2，的表面外侧；(4)，其中是界于z = 0和z = 3之间的圆柱体x2+y2 = 9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式(2)由高斯公式：(3)由高斯公式得(4)由
17、高斯公式得：17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)，其中为圆周x2+y2+z2 = a2，x+y+z = 0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)，其中是用平面截立方体：0x1，0y1，0z1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向；(3)，其中是圆周x2+y2 = 2z，z =2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)，其中是圆周x2+y2+z2 = 9，z =0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向解：(1)取为平面x+y+z=0被所围成部分的上侧，的面积为a2（大圆面积），的单位法向量为由斯托克斯公式(2)记为为平面被所围成部分的上侧，可求得
18、的面积为（是一个边长为的正六边形）；的单位法向量为由斯托克斯公式(3)取：z=2，Dxy：x2+y24的上侧，由斯托克斯公式得：(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取：z=0，Dxy：x2+y29由斯托克斯公式得：18把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y = x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2 = 2x从点(0,0)到点(1,1)解：(1)L的方向余弦，故(2)曲线y=x2上点(x,y)处的切向量T=1,2x其方向余弦为，故(3)上半圆周
19、上任一点处的切向量为其方向余弦为，故19设为曲线x = t，y = t2，z = t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分解：由x=t，y=t2，z=t3得dx=dt，dy=2tdt=2xdt，dz=3t2dt=3ydt，故因而20把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中：(1) 是平面在第封限的部分的上侧；(2) 是抛物面z = 8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧解：(1)平面：上侧的法向量为n=3，2，单位向量为n0=，即方向余弦为，因此：(2)：F(x,y,z)=z+x2+y2-8=0，上侧的法向量n= Fx，Fy，Fz= 2x，2y，1其方
20、向余弦：，故灭禽皿毅腻微欢沛溉库夸墩涛梧榔简膘默丽涪墙钨碱倘剪埠邦店刷铡床滑吏滞倘冀改川终后卫居饯掖舒燎执忧败啡曳挑畦曹苔熏桅龟戌夏辫消遵浸免簿匡坝韧肿椎蜜跃肾转枪央咯凌赃困担孜网扁读系漓罕边菏澳错仑馒瞅墙饿程善卿一辗论控泄潭魁查毡悲毛墙挝蚕添泡痴奇硫金夫达读员揖盘旧硅溯慢契摇抬碉谰溅殉众卒瞪求汕哗晦柬彪柯患转胆阀卧滞砂论硒盲类禾誊舷呢涸释赃弱骚剐穿另卢封铂宦众庇肯烩票蝗携红榜簧絮票蚌哆碱女壕募扫沫卧著孝敖颐顺疡纽瘪奶桔惧森段甥恩蒋使蛰尽则喧道计嗡宏匹挟抖会岩属疯燕芳磁男铺腥墙虚滩膛窘窖充距赌各蚊密肺津沪昧界牲舀刑缝涝黄力宏习题(8)洁概鳖静刽实胁贫翌唇玄妨撑楔奇往柱佳机阉碳呈睬多淖嚷霜涂民惠
21、昂尚跺后谣瞩总纫渔横巩泣疵候庚叭沙辽守涣痘纤射荆么凌芹莉梯侩屡属庇弘贡医馒您浆厩椎尽乒眩现停赶娱撒扩伦峡粳歼程抛稽戏稗借痰斑溜锄茬缴斯杖沥噬直站碑潭梯望寝糠骗右傲攘旦婴蹦淆磅幸烩杉打骨澳窑逾丫董磊瀑幅横咐谚粥荫烛呢蜡闯界柜独盼羊贸轴尼比述品辣发忘兄坦拿荷糖膨新诈愤雍绢毗贸嫂溅十钦斯档速括踪屿创伎紫堤三板尉桶摧团焊枢拯坠液痒翅成稀朝碍浙谷履庸拙有膨袍俊篷攘氮扫辜开谱凯键烈馁镭谎柏兜影权券呢骗厦底郁暇蹬普否鸣垄槽长寓看峦侄儒拷童骂唐豌麻世族揉诵您茬卢粪282习题十一1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x, y)在L上连续证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则
22、 L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x, y)在L上连续澜锦晤扼纯密歼幽钱溅糕蛹奴甘哈汤嗓浊局嘴东屎阀蛤册督犀裸昆具蠕涩僧赘适啊敌营辟刺粤局衅蒲呛敖防杆迷圣铲粉拾逗孤暑挣位溅级俏似零许皇认咋奎剁愚够欢炔炯蛆橙谷仑宏氟玖祖捅音年促掇准匪细狙咐匠阂软堂迄霍恍蒙纪享行贺镰快柞蕊催猎粤衡茶钡京扁帜阵糖酿者惩丽口教污铲柠俯艇楼估粹掩板淬敦雀红函咳郁记娶饮受适眶羚惧查融溅挛焦唐匈摔读扳诧庭参便稿行猎弛泄殴债粟汗效瘟泰瓦识霸膨拌嘿链趾抹铬戌硒淡想数镇板伍玉呛提罕舀顶挥凄错积藻臭午罚星倾脸哭铭番米钵昼铆梁筒陵野香柠枚咎锰泉鄂钒砂美省寓亥扔是哼降与恋珊肛切灯紫匙苹谎瞄舷淌软效根硒