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1、第1章 复数与复变函数,在一些理论和实际问题中，有许多几何量与物理量，如果用复数作为变量去刻画，则在研究过程中比较方便，在18世纪，数学家J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题. 在本章中，首先介绍复数的有关知识，然后再引入复平面点集、复变函数以及复变函数的极限与连续等概念.,1.1复数 1.1.1复数域 形如 的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位. 当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,I
2、m z0时，z称为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0. 两个复数z1,z2满足 时，称这两个复数相等，记为,对任意两个复数 其四则运算定义如下: 容易验证加法与乘法满足 交换律： 结合律： 分配律：,全体复数构成的集合在引进上述加法和乘法运算后称为复数域，用符号 表示.与实数域不同的是，复数域里的数没有大小之分，但可以证明在实数域内成立的一切代数恒等式在复数域内仍成立，例如：,1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标为(x,y)的点P来表示
3、复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母是z,w,而称为z平面、w平面，等等. 图1.1,如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z”、“点z”及“向量 ”三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是 显然z=0的充要条件是z=0.,当点P不是原点，即复数z0时，向量 与x轴正向的夹角称
4、为复数z的辐角，记作Arg z.辐角的符号规定为：由正实轴依反时针方向转到 为正，依顺时针方向转到 为负.显然一个非零复数z的辐角有无穷多个值，它们相差2的整数倍，但Arg z中只有一个值0满足条件-0，称0为复数z的主辐角，记为0=arg z（以后也把Arg z中任一确定的值记为arg z），于是 当z=0时，z的辐角没有意义.,由图1.1易知：复数z=x+iy(0)的主辐角arg z与反正切的主值 有以下关系:,由直角坐标与极坐标的关系可知（图1.1），非零有穷复数z可以用其模r=|z|与辐角来表示，即 利用欧拉公式 得,由式（1.3）及复数的运算容易证明 分别称式（1.2）和式（1.4）
5、为非零复数z的三角表示式和指数表示式，相应地称为式(1.1)复数z的代数表示式. 复数z的这三种表示式可以互相转化，以方便讨论不同问题时的需要.,例1.1将 化为三角表示式和指数表示式. 解 ,因为z在第I象限，所以 故z的三角表示式为 ； z的指数表示式为,例1.2试将 ，(-)化为三角表示式. 解由已知可得 故z的三角表示式为,利用复数z的代数表示式容易理解复数加法与减法运算的几何意义，设复数z1，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法则知复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以 为邻边的平行四边形的对角线 就表示复数z1+z2（图1.2），对角线 就表示复数z1-z2. 图1.
6、2,由上述几何解释知下面两个不等式成立： 其中 表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便. 假设 ，则由式（1.5）可得 于是,由此可知： 两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们各自辐角的和； 两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐角与分母辐角的差. 由式(1.6)即得复数乘法的几何意义，乘积 对应的向量是把z1对应的向量旋转一个角度 后再将其模伸缩|z2|倍而得到的(图1.3).特别地，当|z2|=1时，只需把z1对应的向量旋转一个角度 即得到 例如 就可由表示z的向量逆时针旋转
7、 而得到.,例1.3已知正三角形的两个顶点为 求其第三个顶点. 解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转 得另一个向量，其终点就是所求的第三个顶点z3（或z3），根据复数乘法的几何意义可得 图1.3 图1.4,所以 类似可得,1.1.3复数的乘幂与方根 n个相同非零有穷复数z的乘积称为复数z的n次幂，记作 若 ，则 特别地，当r=1时，即z=cos +i sin ，则得De Moivre公式 如果复数w和z满足 则称复数w为z的n次方根，记作 ，即,下面求 的表达式. 令 ，则由式(1.8)，得 于是有 从而 故z的n次方根为,从式(1.9)可以看出，只有当k取0,1,2,，n-1时，所得w之值
8、是 不同的，而k取其他整数时所得w之值将与上述n个值之一重合.因 此,一个非零有穷复数z的n次方根仅有n个不同的值，在几何上表 现为以原点为中心、以 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.,例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为 它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 （图1.5）. 图1.5,例1.5设n为自然数，证明等式 证明令 ，则 故由De Moivre公式得,1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 显然z和 是关于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立： 图1.6,例1.6设 ，试求Re z，lm
9、z和 解因为 所以,例1.7求证:若|a|=1，则 证由 得,例1.8设复数 满足条件 求证 是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点. 证由条件，可知 位于|z|=1上；又由条件，可知 则 即 再结合条件得 故,即|z2-z3|=3，同理可得|z1-z3|=3，|z1-z2|=3,因此,z1,z2,z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的3个顶点. 下面举例简单说明复数的应用，具体讨论两个问题：如何用含复数的方程来表示平面曲线；怎样从复数形式的方程来确定该方程所表示的平面曲线. 若平面曲线的实方程为 ,则的复 方程可表示z=z(t)=x(t)+y(t)i(t).,例1.9（1）因连接
10、 与 两点的实方程为 故该线段的复数方程为 同理过z1与z2两点的直线的复数方程为 于是有 三点z1,z2,z3 共线的充分必要条件为 .,（2）因z平面上以点 为心、r为半径的圆周的实方程为 故该圆的复数方程为 若平面曲线的实方程为F(x,y)=0，则的复方程可用f(z)=0表示.,例1.10（1）z平面上以点z0为心、r为半径的圆周的复方程为|z-z0|=r. （2）平面直角坐标下直线ax+by=c 方程的复数方程为 事实上，设z=x+iy，则由共轭复数的定义得,将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有 化简得 记=a+ib，=2c，便得结论. （3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点
11、i和-2i的距离相等的点z的轨迹， 即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线. (4) 方程 表示一个圆周.,1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S.过O作与复平面相垂直的直线，该直线与球面S交于另一点N，O和N分别称为球面的南极和北极（图1.7）. 图1.7,在复平面上任取一点z，则连接z和N的直线必交于球面上唯一的异于N的点P；反之，若P为球面上任意一个异于N的点，则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z.这样就建立起球面上除去北极N外的点P与复平面上点z之间的一一对应关系，我们称P为z在球面上的球极射影，如果z的模愈大，则它的球极射影就愈靠近北极N，因此，北极N
12、可以看作复平面上一个模为无穷大的理想点的对应点，这个理想点称为无穷远点，并记为，复平面上加上点后就称为扩充复平面，通常记为 ，即 与之对应的是整个球面，称为复球面，换言之，扩充复平面的一个几何模型就是复球面.,最后需要指出的是，扩充复平面 上只有一个无穷远点，它是一个确定的复数，对来说，其实部、虚部与辐角均无意义，仅规定其模|=+.关于我们规定其运算如下： a为有限复数，则 ，0, 均无意义. 在本书中，今后若无特别声明，所涉及的复数都是指有穷复数.,1.2复平面点集 1.2.1平面点集 定义1.1设z0 ，为正数，称集合z|z-z0|为点z0的邻域，记为N(z0),称集合z|0|z-z0|为
13、点z0的去心邻域，记为N(z0) z0. 定义1.2设 为一点集，且z0E，若 N(z0)，使得N(z0) E，则称点z0为E的内点.若E的点皆为内点，则称E为开集. 定义1.3设 为一点集，且z0E，若 0，在N(z0)内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界点；E的边界点的全体组成的集合称为E的边界，通常记为E.,定义1.4设 为一点集， 如果对 ，点集 是无穷点集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E；若 ,但 则称z0为E的孤立点；若 ，使得 ，则称z0为E的外点. 定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域内部，则称E为有界集
14、，否则称E为无界集. 对于无穷远点，有: 定义1.6在 上以原点为心，以某一个正数R为半径的圆外部，称为无穷远点的一个邻域，记为NR（）=z|z|R. 由此，在扩充复平面 上，聚点、内点及边界点等概念均可推广到无穷远点.,1.2.2区域 定义1.7复平面 上具备下列性质的非空点集D称为区域： D是开集，即D完全由内点组成； D是连通的，即D中任何两点都可以用一条整个属于D的折线连接起来. 由区域的定义，区域不包括边界点，因而一般称区域为开区域.区域D及边界C所构成的点集称为闭区域，记作 若区域D可以包含在某个以原点为中心、以某一正数R为半径的圆内.则称D为有界区域，否则为无界区域.,实际中，常
15、用含复数的不等式来表示复平面上的区域.例如： z平面上以原点为心，R为半径的圆盘（即圆形区域）可表示为|z|R. z平面上以实轴Im z=0为边界的两个无界区域是上半平面与下半平面，分别表为Im z0与Im z0;z平面上以虚轴Re z=0为边界的两个无界区域是左半平面与右半平面，分别表为Re z0与Re z0. 图1.8所示的同心圆环（即圆环区域）可表示为r|z|R. 图1.9所示的带形区域可表示为,图1.8 图1.9,1.2.3Jordan曲线 定义1.8若x(t)与y(t)是两个定义在闭区间 ,上的连续实值函数，则称曲线 为 上的一条连续曲线；z()及z()分别称为这条曲线的起点与终点；
16、若对区间 ,上任意不同的两点t1及t2，且不同为 ,的端点，有z(t1)=z(t2)，则点z(t1)称为这条曲线的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan(约当)曲线；满足z()=z()的简单曲线称为简单闭曲线.,例如，线段、圆弧和抛物线弧段等都是简单曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线. 一条简单闭曲线C可把平面分为两个区域：一个是有界的，称为C的内部；另一个是无界的，称为C的外部，而这两个区域都以给定的简单闭曲线作为边界.例如，圆周|z|=R是一条简单闭曲线，它把平面 分成两个没有公有点的区域|z|R与|z|R，前者是有界的，后者是无界的，并且它们都以|z|=R为边界.,定义1.
17、9设C z=z(t)=x(t)+iy(t)（t）是一条简单（闭）曲线.若z=z(t)在t上有连续导数，且 则称曲线C为光滑（闭）曲线. 由有限条光滑曲线依次相衔接而成的曲线称为逐段光滑曲线. 例如，直线、圆弧（周）等都是光滑（闭）曲线；简单折线是逐段光滑曲线.,1.2.4单连通区域与多连通区域 定义1.10如果区域D内的任何简单闭曲线的内部中每一点属于D，则称区域D为单连通区域；否则，就称为多连通区域. 一般来说，一条简单闭曲线的内部区域为单连通区域；从单连通区域中挖去几个彼此无公共点的闭区域后，得到一个多连通区域. 例1.11集z|-1Re z1为单连通无界区域，而圆环z|1|z-i|2为多
18、连通有界区域.,例1.12求满足关系式 的点z=r(cos +i sin )的集合，若该集合为一区域，则是单连通区域还是多连通区域？ 解设z=x+iy=r(cos +i sin ),因为cos r2cos ， 所以 ，即 . 从而所求点集为（图1.10）中的阴影部分： ， 这是一个有界单连通区域. 图1.10,例1.13试问满足条件z+|z|0的点z组成的点集是否构成区域？是否为单连通的？是否为有界区域？ 解首先找出满足条件z+|z|=0的点，然后从复平面内去掉这些点.由z+|z|=0 ，有z=|z|，即 于是 ，因此, 这是复平面上包括原点和负实轴的全体点的集合. 所以，z+|z|0是复平面
19、上去掉原点和负实轴的全体点的集合，它是一个无界的单连通域.,1.3复变函数的极限与连续 1.3.1复变函数的概念 复变函数就是定义域和值域均在复数集上的函数.它在形式上与微积分中函数概念是相同的，但因为涉及的对象不同了，所以有许多新的特点值得研究. 定义1.11设点集 ，若对于D内每一点z，按照某一法则，有确定的复数w与之对应，则称在D上确定了一个复变函数w=f(z)(zD). 若 zD，有唯一的w值与之对应，则称w=f(z)(zD)为单值函数； 若 zD，有几个或无穷多个w值与之对应，则称w=f(z)(zD)为多值函数.D称为函数w=f(z)的定义域，而相应w值的全体所成之集G称为函数w=f
20、(z)的值域.,例如： ，w=|z|都是单值函数； ，w=Arg z(z0)都是多值函数. 注:在今后的讨论中，若无特别声明，所涉及的函数都是指单值函数. 若令z=x+iy，w=u+iv则函数w=f(z)可表示为 其中u=u(x,y)v=v(x,y)都是二元实函数. 若令 ，则函数w=f(z)可表示为 例如，函数 可表示为,实变量的一元函数与二元实函数分别可用平面曲线与空间曲面来表示，自然会问一个复变函数能用什么几何图形来表示呢？注意到复变函数w=f(z)，亦即u+iv=f(x+iy)，涉及x,y,u,v共四个实变量，这样就不可能用同一个平面，也不能用一个三维空间中的几何图形来表示它.不过，复
21、变函数w=f(z)可看成是平面上的点集D到平面上的点集G的一个对应关系（图1.11），或者说是复平面上的两个点集之间的映射或变换，因此，我们取两张复平面来表示一个复变函数，一个是点集D所在的平面（称为z平面），一个是点集G所在的平面（称为w平面），把与点zD对应的点w=f(z)称为点z的像点，而点z称为点w=f(z)的原像.,图1.11,例1.14考察函数 的映射性质. 解若设 ，则函数 可表示为 于是可得函数 的如下映射性质： 1）z平面上从原点出发的射线 ，被映射成w平面上的射线,2）z平面上的角形区域D=z0arg z，被映射成w平面上的角形区域G=w0arg w2 (如图1.12).
22、图1.12,若设z=x+iy，w=u+iv，则函数 可表示为 ，因此，又可得函数 的如下映射性质. 3）z平面上的两簇分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 分别映射成w平面上的两簇平行直线（如图1.13）. 图1.13,4)下面再进一步研究z平面上的两直线簇x=C1，y=C2在函数 映射下的图像. 当x=C1时，在z平面上表示为平行于虚轴的直线，此直线在映射 下变为 消去y得 这是w平面上的一簇抛物线，特别地，当C1=0时，直线方程为x=0，此直线在映射 下变为 于是可知，映射 将z平面上的虚轴x=0，映射成w平面的负实轴.,与x=C1的讨论一样，在w=z2的映射下，直线y=C2（图1
23、.14中虚线）的像，是w平面上的一簇抛物线 （图1.14 虚线）；特别地，当C2=0时，直线方程为y=0，此时有 这是w平面上的原点和正实轴. 图1.14,1.3.2复变函数的极限 定义1.12设函数w=f(z)在点z0的某个去心邻域内有定义，若存在一复数A，使得 0， 0，当0|z-z0|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，记作 此极限定义的几何意义是：对于w平面上定点A的任意给定的邻域 ，在z平面上一定能找到z0的某个去心邻域 ，使得当z进入这个去心邻域内时，其像点w=f(z)就落在A的给定邻域N(A)中（如图1.15）.,图1.15,复变函数极限定义中zz0的
24、方式是任意的，即自变量z不论从任何方向，沿何种曲线趋向于z0时，w=f(z)都有相同的极限A，这种趋向过程较实轴上变量xx0要复杂许多，两者虽然形式类似，本质却有较大差别. 例1.15试证 不存在. 事实上，让z沿直线 趋于零，则 由于极限值随k而变化，因而 不存在.,下面的定理揭示了复变函数极限与其实部和虚部的极限之间的关系. 定理1.1设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=a+ib， 则 的充要条件是 证由于 及 根据定义1.12，由前一个不等式可得定理的充分性，而由后两个不等式可得定理的必要性.,下面关于极限的性质和定理与微积分学中相应结论类似，在此仅列举. 性质1如果f(z
25、)在z趋向于z0时的极限存在，则极限唯一. 性质2如果f(z)在z趋向于z0时的极限存在，则f(z)在z0的某个去心邻域N(z0) z0内有界. 定理1.2若 则,1.3.3复变函数的连续性 定义1.13设函数w=f(z)在点z0的某邻域内有定义，且满足 则称f(z)在点z0是连续的. 如果函数w=f(z)在集合E内每一点处都连续，则称函数w=f(z)在E上连续. 由此并结合定理1.1及定理1.2可得： 定理1.3函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点 处连续的充要条件是u=u(x,y)和v=v(x,y)均在点 处连续. 定理1.4连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
26、，连续函数的复合函数仍为连续函数.,例1.16多项式 上处处连续 ；有理函数 上除去分母为零的点外处处连续.,例1.17讨论函数 ，在z=0处的连续性. 解由于 而f(0)=i，故 所以函数f(z)在z=0处不连续. 关于实变连续函数的几个重要定理，可推广到复变函数的情形.,定理1.5设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则f(z)在E上有界，即 M0，使得 zE，有|f(z)|M. 定理1.6设函数f(z)在有界闭区域E上连续，则函数f(z)在E上可取到最大模与最小模，即 ，使得 zE，有 以上结论都可由微积分中相应结果推得.,关于无穷大，有下列极限定义： 定义1.14设函数w=f(z)在点z
27、0的某个去心邻域内有定义，若对任一正数A， 0，当0|z-z0|时，有|f(z)|A，则称当z趋向于z0时，f(z)的极限为无穷大，记作 定义1.15设函数w=f(z)在点的某个邻域内有定义，若存在一复数A，使得 0，0，当|z|时，有|f(z)-A|，则称A为f(z)当z趋向于时的极限，记作,例1.18,习题1 1.求下列复数的实部与虚部，共轭复数，模与辐角. 2.如果等式 成立，试求实数x，y为何值. 3.试证虚数i单位满足： 4.求 的模.,5.试证： 6.将下列复数化成三角表示式和指数表示式. 7.当|z|1时，求 的最大值，其中n为正整数，a为复数. 8.一个复数乘以-i，它的模与辐
28、角有何改变？,9.判别下列命题的真假. （1）若c为实数，则 （2）若z为纯虚数，则 （3）2i3i （4）arg 0=0 （5）方程 仅有一个根 10.如果 试证明,11.求方程 的所有根. 12.求下列各式的值.,13.指出下列各题中点z的存在范围，并作图.,14.描出下列不等式所确定的区域，并指出是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的.,15.证明复平面上的圆周方程可写为： (其中为复常数，c为实常数). 16.求下列方程（t是实参数）给出的曲线.,17.函数 将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线(z=x+iy,w=u+iv)？ 18.试求,19.试证 不存在. 20.试证arg z(arg z)在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续. 21.设函数f(z)在 处连续，且 证明存在 的邻域使f(z)0. 22.如果f(z)在点 处连续，证明f(z),f(z)也在点 处连续.,