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1、数学物理方程第三次作业习题6.21.求解。解：这是Laplace方程的Robin问题，直接调用公式，得习题6.41.试证Green函数在半径为R的球形区域V和界面S上，且满足：（1）（2）证明：(1)由格林函数定义：其中：。由于在边界S上有：，所以，由极值原理在整个上。所以下面证明：，一方面：以为圆心在中作球，球面设为。则。由极值原理：。另一方面，容易知道：对任意的, 在中的点，函数不能为零。所以，。得证：。证明：(2) ，其中是调和函数，所以。得证。习题6.51.求区域上的Green函数：(1)上半圆域；(2)上半球域。解：(1)镜像法。由于是上半圆域，所以参考圆域上的Green函数，可得，
2、需要四个电荷，分别为；，。所以将四个电荷的电势累加得： (2) 同样参考球形域上的格林函数求法。需要四个电荷，分别为；，。所以将四个电荷的电势累加得：3.在半平面内求解Laplace方程的边值问题，其边界条件为解：这是上半平面Laplace方程Dirichlet问题，直接调用公式，得：习题6.62.验证函数满足二维Poisson方程：。证明：满足方程。则：得证。习题7.12.求证。证明：因为 ，其中 则得证。3.求证，其中证明：，不难看出是一个奇函数，所以。得证。4.求证是的解。证明：由于满足方程 将带入方程中，再令，化简，得：所以得证。习题7.21.证明：(1) 证明：由于是偶函数，则。同时
3、是奇函数，则。再由母函数，令，得：。得证。3.试证：，并计算(1) (2) 。解：证明：(1) (2) 4.计算积分：。解：习题7.34.设是的正零点，证明：证明：所以由Bessel函数的正交性，可得若，则方程等于零。若，则。所以得证。习题8.11.证明：，。证明：(1)：直接验证知，当时，结论成立。那么设，。由Rodrigues公式：若，上式等号右侧第二项等于零。而右侧第一项可以表示为。则可得。所以得证。(2)同样的道理，可以证明。(3)所以，。(4) 所以3.证明：证明：由Rodrigues公式：。也可以直接使用Legendre多项式的正交性证明。5.证明当且为整数是，证明：由Rodrig
4、ues公式：。得证。习题8.21.用Legendre多项式的母函数证明：证明：由母函数。令，则 ，由于，所以。令，则 ，由于，所以。得证。3.求证：(2) 证明：首先，对展开式的两端先后关于，求导，得 则。此式两端关于的同幂次项的系数应相等，于是当时，有。得证。4.利用递推公式计算。解：由递推公式，有，所以。再用正交归一化关系得：习题8.34.验证满足Legendre方程。证明：要证明满足。因为 ，所以 。考虑到的表达式中含有对求阶导数，所以中应含有对求阶导数，所以对上式两端对求阶导数，即：。再利用求乘积的高阶导数的莱布尼茨公式，化简可得：继续化简，得：等式两侧同时乘上常系数，即可得即得证满足。5.将下列函数展开成Legendre多项式级数： (2) 解：将展开成勒让德多项式的级数，其中。将用Rodrigues公式带入，然后用分部积分法求出右端积分。当及时，被积函数分别为及，可以直接积分，得：，。当时，可得。 因为，对它求阶导数，所以求完导数后所得的每一项都会含有的因子，即。只需计算的值。则可得，。所以注：这不是标准答案，这是老师布置的作业。自己做的，仅供参考。一共三次作业，这是最后一次的。Email：