4.第四单元三角形.ppt

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1、1,第四单元 三角形,第1课时 角、相交线和平行线（含命题）有关概念,中考考点清单 考点1 线段、直线、射线 考点2 角及角平分线 考点3 相交线 考点4 平行线性质及判定 考点5 命题,第四单元 三角形,,2,常考类型剖析 类型一 相交线中角的计算 类型二 平行线的性质,第四单元 三角形,3,1.直线公理：过两点有且只有一条直线 2.线段公理：过两点的所有连线中, 最短 3.线段的中点：如图，点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与AC，这时B点叫做线段AC的中点，即AB=BC= AC,线段,图,返回目录,考点1 线段、直线、射线,第四单元 三角形,4,返回目录,1.角的概念：

2、一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角如图,图,第四单元 三角形,5,返回目录,2.角平分线的概念及其定理 (1)概念：以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个 的角，这条射线叫做该角的角平分线；如图，若OC平分AOB，则AOC= = AOB (2)定理：角平分线上的点到角两边的距离 ；如图，若OC平分AOB，点 P在OC上，则PMOA，PNOB，则PM=PN,图,相等,BOC,相等,第四单元 三角形,,6,返回目录,.角的分类,90180,(1)分类 (2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角=2平角=4直角=360； 1平角=2直角=180，1直角=9

3、0； 1=60，1=60，1=( )，1=( ).,考点2 角及角平分线,第四单元 三角形,7,返回目录,.补角和余角,平角,直角,(1)补角的定义：如果两个角的和等于一个 （即等于180），这两个角互为补角，或者说其中一个是另一个的补角 (2)余角的定义：如果两个角的和等于一个 （即等于90），这两个角互为余角，或者说其中一个是另一个的余角 (3)补角、余角的性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等,第四单元 三角形,8,返回目录,.两相交直线所成的角,相等,180,图,(1)对顶角和邻补角 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，如图,1与3，2与4都是对顶角对顶角的性

4、质：对顶角 邻补角：两个角有一个公共顶点和一条 公共边，另一边互为反向延长线如 图，1与2，1与4，2与3， 3与4都是邻补角邻补角的和为 ,考点3 相交线,第四单元 三角形,9,.垂线及其性质,直角,垂直,垂线,垂足,直角垂线段的长度,最短,(1)垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是 ，我们就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，两条直线的交点叫做垂足 (2)垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，该点与 之间线段 (3)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的 (4)垂线的基本性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段的性质：垂线段 .,例题链接,第四单元 三

5、角形,10,(2)三线八角（如图） 同位角：1与5，2与 ，4与 ，3与7 内错角：2与 ，3与5 (3)同旁内角：3与8，2与 ,8,6,8,5,图,例题链接,第四单元 三角形,11,.平行线的定义：同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线 .平行线的性质 (1)两直线平行，同位角 ； (2)两直线平行，内错角 ； (3)两直线平行，同旁内角 ； (4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5)两条平行线的所有公垂线都相等,相等,相等,互补,例题链接,考点4 平行线性质及判定（高频考点）,第四单元 三角形,12,返回目录,.平行线的判定,相等,相等,互补,(1)同位角 ，两直线平行

6、； (2)内错角 ，两直线平行； (3)同旁内角 ，两直线平行； (4)平行于同一条直线的两条直线平行； (5)在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行,第四单元 三角形,13,命题：叙述一件事情的句子（陈述句），如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题 真命题：如果一个命题叙述的事情是真的，那么 称它是真命题 假命题：如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题. 逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中的一个叫做另一个的逆命题.,返回目录,考点5 命题,第四单元 三角形,14,14,返回考点,类型一 相交线中角的计算（重点）,

7、例1题图,C,【解析】 射线OC平分DOB，COB=35， DOB=2COB=235=70 .AOD=180DOB =110,【点评与拓展】相交线中角的计算，常 常需要借助邻补角，对顶角，角平分线， 平行线的性质、判定以及三角形的内、 外角和定理等知识点，联合一起解决问 题突破方法是：正确理解、掌握上述概念、定理,例（13大连）如图，点O在直线AB上，射线OC 平分DOB若COB=35，则AOD等于（ ） 35 70 110 145,第四单元 三角形,15,15,返回考点,变式题（13南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OEAB，BOD=20，则COE等于 度,变式题1图,【解析】OEAB，

8、EOA=90，又AOC=BOD=20，COE=9020=70.,70,第四单元 三角形,16,16,返回考点,类型二 平行线的性质（重点）,【解析】ABCD，BAC+ C=180，C=180BAC =60，ACDFCDF=C =60,例2题图,A,例2（13黄冈）如图，ABCDEF，ACDF，若BAC=120，则CDF=（ ） A60 B120 C150 D180,第四单元 三角形,17,17,返回考点,【思维方式】(1)解决平行线性质问题，通常可以利用“F型”、“Z型”、“H型”等基本模型找准同位角或内错角或同旁内角(2)利用平行线的性质求角,常见的思路为：先根据平行线的性质求得与未知角互补

9、或相等的角，再利用互补或相等关系，求未知的角；先求得与未知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求未知角的大小,第四单元 三角形,18,18,返回考点,变式题2（13成都）如图，B=30，若ABCD，CB平分ACD，则ACD= 度.,变式题2图,【解析】ABCDBCD= B=30CD平分ACD，ACD=2BCD=230=60,60,第四单元 三角形,19,第2课时 三角形的基本概念与性质,中考考点清单 考点1 三角形的分类 考点2 三角形的基本性质 考点3 三角形中的重要线段 常考类型剖析 类型一 三角形的三边关系 类型二 三角形的内角和定理 类型三 三角形的中位线,第四单元 三角形,20,考点

10、1 三角形的分类,锐角,钝角,1.按边分 2.按角分,返回目录,第四单元 三角形,21,1.三角形的三边关系,图,如图，我们知道“连接两点的所有连线中，线段 最短”，因此有：AC+CBAB，BA+ACBC，AB+BCAC由此可见，三角形三边之间有如下关系： 三角形任意两边之和 第三边,大于,例题链接,考点2 三角形的基本性质,第四单元 三角形,22,(1)三角形内角和性质：三角形的内角和等于 . (2)三角形一个外角等于与它不相邻的两内角 ；一个外角大于任何一个与它不相邻的内角如图，ACD=A+B，ACDB，ACDA,2.三角形内角和性质及内外角关系,图,180,和,返回目录,第四单元 三角形

11、,23,.三角形的角平分线,图,三角形的角平分线的描述方式， 如图所示： (1)AD是ABC的角平分线； (2)AD平分BAC交BC于点D； (3)1=2= BAC，即BAC=21=22.,返回目录,考点3 三角形中的重要线段,第四单元 三角形,24,图,2三角形的中线的描述方式，,如图所示： (1)AM是ABC的中线； (2)AM是ABC中BC边上 的中线； (3)点M是BC边的中点； (4)BM=CM,返回目录,第四单元 三角形,25,三角形的中位线,(1)定义：连接三角形 的线段叫做三角形的中位线 (2)中位线的性质：三角形的中位线 第三边，并且等于 如图，ABC三边中点分别为D、 E、

12、F，则 (1)DF BC，DE AC，EF AB (2)SADF =SDBE =SFEC=SEFD= SABC .,图,两边中点,第三边的一半,平行,返回目录,第四单元 三角形,26,3三角形的高线,从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶 点和垂足之间的线段叫做三角形的高,锐角三角形 直角三角形 钝角三角形,返回目录,第四单元 三角形,,27,27,类型一 三角形的三边关系（重点）,【解析】3、6、8，3+68，能构成；3、6、9, 3+6=9，不能构成；3、8、9，3+89，能构成；6、8、9，6+89，能构成故最多能组成三个三角形,例（13南通）有2 cm，6 cm，8 cm，9 cm

13、的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） 1 2 3 4,C,返回目录,第四单元 三角形,28,【点评与拓展】(1)三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边；实际操作时，只要验证：两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可(2)三角形的三边关系一般和不等式组联系，甚至涉及分类讨论的思想方法.例如求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.,返回目录,第四单元 三角形,29,变式题（13海南）一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则的取值范围是（ ） A1x3 B1x

14、3 C1x3 D1x3,【解析】已知三角形两边的长分别是1和2，第三边x的范围是21x1+2即1x3,D,返回目录,第四单元 三角形,30,30,类型二 三角形内角和定理（重难点）,【解析】AB=AC，A=90，ACB=B=45，EDF=90, E=30，F=90E=60，ACE=CDF+F，BCE=40, CDF=ACEF=BCE+ ACBF=45+4060=25,例2题图,例2（13威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D已知A=EDF=90，AB=AC. E=30，BEC=40，则CDF= .,25,返回目录,第四单元 三角形,31,31,变式题2（12湖州）如图，在A

15、BC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DEBC, A=46，1=52，则2= 度,变式题2图,【解析】DEC是ADE的外 角,A=46，1=52，DEC= A+1=46+52=98，DEBC, 2=DEC=98,98,返回目录,第四单元 三角形,32,32,类型三 三角形的中位线,【解析】因为三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，所以BC=2EF=4cm.,例3题图,例3（11湘西州）如图,在ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若中位线=2cm，则BC边的长是( ) A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm,【点评与拓展】本题考查了三角形中位线的性质，

16、三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中 位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半.,D,返回目录,第四单元 三角形,33,33,变式题3（13昆明）如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，A=50，ADE=60，则C的度数为（ ） A50 B60 C70 D80,变式题3图,【解析】由题意得，ADE=180AADE=70，点D，E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，C= AED=70.,C,返回目录,第四单元 三角形,34,第3课时 全等三角形,中考考点清单 考点1 全等三角形及其性质 考点2 三角形全等的判定 常考类型剖析 类型 全等三角形的判定,第四

17、单元 三角形,35,考点1 全等三角形及其性质,返回目录,1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.性质： (1)全等三角形的对应边 ，对应角 (2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高 线、中位线）相等，对应周长 ，对应面积 ,相等,相等,相等,相等,第四单元 三角形,36,1.三角形全等的判定方法,图,(1)SSS： 对应相等的两个三角形全等；如图，在ABC与DEF中，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF，则ABCDEF (2) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；如图，在ABC与DEF中，已知AB=DE，A=D，AC=DF，则ABCAEF,SAS,三边,返回目录,

18、考点2 三角形全等的判定,第四单元 三角形,37,(3) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；如图，在ABC与DEF中，已知A=D, AB=DE，B=E，则ABCDEF (4)AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；如图，在ABC与DEF中，已知A= D，B=E，AC=DF，则ABCDEF. (5)HL：在两个直角三角形中， 斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等；如图，在 RtABC与RtDEF中，已知 B=E=90，AC=DF，BC=EF, 则RtABCRtDEF.,图,ASA,返回目录,第四单元 三角形,38,图,图,返回目录,第四单元 三角形,39,2.

19、三角形全等的证明思路,返回目录,第四单元 三角形,40,返回目录,第四单元 三角形,41,41,类型 全等三角形的判定（重点）,【思路分析】本题需先找出全等的三角形，再利用判定定理给予证明其中，除ADEABC外，还有三对三角形全等证明时注意已证明过的结论，可作为未证明的条件加以利用,例（13仙桃）如图，已知ABCADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N请写出图中两对全等三角形（ABCADE除外），并选择其中的一对加以证明,返回目录,第四单元 三角形,42,解：AEMACN，BMFDNF，ABNADM（三对任写两对即可） (1)选择AEMACN，理由如下： ADEABC， A

20、E=AC，E=C，EAD=CAB， EAM=CAN， 在AEM和ACN中， AEMCAN（SAS）.,返回目录,第四单元 三角形,43,(2)选择ABNADM，理由如下： ADEABC， AB=AD，B=D， BAN=DAM， ABNADM（SAS） (3)选择BMFDNF，理由如下： ABNADM， AM=AN，BM=DN， B=D，BFM=DFN， BMFDNF（AAS）,返回目录,第四单元 三角形,44,【点评与拓展】(1)要证三角形全等，至少要有一组 “边”的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边；(2)要证直角三角形全等，通常先考虑直角边、斜边定理（HL）;(3)在有一组对应边相等

21、的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据边边边（SSS）求解.,返回目录,第四单元 三角形,45,45,变式题（12贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，BC=EF，要使ABCDEF,还需要添加一个条件是（ ） ABCA=F BB=E CBCEF DA=EDF,【解析】AB=DE，BC=EF， 若要使ABCDEF，则应有 B=E,B,变式题图,返回目录,第四单元 三角形,46,第4课时 特殊三角形,中考考点清单 考点1 等腰三角形 考

22、点2 等边三角形 考点3 直角三角形 常考类型剖析 类型一 等腰三角形 类型二 直角三角形,第四单元 三角形,47,1.性质,(1)等腰三角形是 图形，对称轴是顶角平分线所在直线； (2)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高（“三线合一”）； (3)等腰三角形的两底角 ,(1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形,2.判定,轴对称,相等,返回目录,考点1 等腰三角形,第四单元 三角形,48,考点2 等边三角形,1.性质,(1)有三条边相等的三角形是等边三角形； (2)有两个角等于 的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60的 三角形是等边三角

23、形,2.判定,60,等腰,(1)等边三角形的三个内角均相等且等于 ； (2)等边三角形底边上的中线，底边上的高线和所对顶角的角平分线互相重合,60,返回目录,第四单元 三角形,49,1.勾股定理即其逆定理,(1)勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 (2)勾股定理的逆定理 如果三角形三边长为a，b，c，且满足下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形如图，在ABC中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c,若ABC为直角三角形且C=90，则a2+b2=c2,若a2+b2=c2，则ABC为直角三角形，且C=90,返回目录,考点3 直角三角形

24、,第四单元 三角形,50,2.直角三角形的性质与判定,90,一半,30,一半,一半,返回目录,第四单元 三角形,,51,类型一 等腰三角形的性质与判定（重点）,【解析】AB=AC，AD平分BAC，BC=8，ADBC， CD=BD= BC=，点E为AC的中点，DE=CE= AC=5， CDE的周长=CD+DE+CE= 4+5+5=14,例（13枣庄）如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点,连接DE，则CDE的周长为（ ） A20 B12 C14 D13,例1题图,C,返回目录,第四单元 三角形,52,【点评与拓展】本题考查等腰三角形的“三线合一”

25、及三角形的中位线性质，已知等腰三角形“三线”中的任一条时（顶角平分线或底边上的中线或底边上的高），常需要运用“三线合一”的性质；若已知图形中两个或两个以上的“中点”时，常注意运用三角形中位线的性质.,返回目录,第四单元 三角形,53,53,变式题1（14原创）已知，如图，在ABC中，AD平分BAC，且ABD与ADC的面 积相等，求证:ABC是等腰三角形,解：过D作DEAB于E，DFAC于F AD平分BAC， DE=DF SABD = ABDE，SADC= ACDF， 又ABD与ADC面积相等， AB=AC，即ABC是等腰三角形,变式题1图,变式题1解图,返回目录,第四单元 三角形,54,类型二

26、 直角三角形的相关计算（重点）,【解析】在RtABC中，AC=6，BC=8，AB= ， D是AB边上的中点，根据直 角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半可得CD= AB= 10=5.,例2题图,例2（14原创）如图，在RtABC中，ACB=90, AC=6，BC=8，D是AB上的中点，连接CD，则CD的长是（ ） A20 B10 C5 D,C,返回目录,第四单元 三角形,55,【点评与拓展】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，且难度不大，解决有关直角三角形的问题时，熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键.,返回目录,第四单元

27、 三角形,56,56,变式题2（14原创）在RtABC中，C=90， AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 .,【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在RtABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得： ，过C作CDAB，交AB于点D，又SABC= ACBC= ABCD，CD=(ACBC) AB =(912)15 = ，则点C到AB的距离是 .,返回目录,第四单元 三角形,57,第5课时 相似三角形,中考考点清单 考点1 比例线段及其性质 考点2 相似三角形 考点3 相似多边形及位似 常考类型剖析 类型 相似三角形的判定及性质,第四单元 三角形,58,考点1 等腰三角形,返回目录,

28、1.两条线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a与b的长度分别为m，n，那么把长度的比 叫做这两条线段的比线段a与线段b的比记作ab或 其中a叫比的前项，b叫比的后项,2.成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果线段a与b的比等于线段c与d的比，即 = ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段,第四单元 三角形,59,3.比例的基本性质,bc,返回目录,第四单元 三角形,60,成比例,4.黄金分割：点C在线段AB上，若AC2 =ABBC，则点C为AB的 若点C为线段AB的黄金分割点，则 或 AC0.618AB.,黄金分割点,返回目录,第四单元 三角形,61,1.相似三角形的性质,(

29、1)两角对应相等的两个三角形相似； (2)两边对成比例且角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似,2.相似三角形的判定,(1)相似三角形的对应角 ； (2)相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； (3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ,相等,相似比,相似比的平方,返回目录,考点2 相似三角形,第四单元 三角形,62,返回目录,第四单元 三角形,63,返回目录,第四单元 三角形,64,考点3 相似多边形及位似,1.相似多边形的概念及性质,概念：我们把对应角相等，并且对应边成比例的 两个多边形叫做相似多边形 性质：(1)相似多边形的对应边 ； (2)相似

30、多边形的对应角 ； (3)相似多边形周长的比 相似比，相 似多边形面积的比等于 ,成比例,相等,等于,相似比的平方,返回目录,第四单元 三角形,65,1.位似,(1)位似变换：取一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P，使得线段OP与OP的比等于常数k（k0），点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做位似中心 (2)位似的图形：一个图形经过位似变换得到的图形叫作原图形位似的图形 (3)位似的性质：两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比,返回目录,第四单元 三角形,66,类型 相似三角形的判

31、定及性质,【思路分析】(1)已知ACD=B, ACD与ABC有一个公共角A, 根据有两个角对应相等的两个三角 形相似可证得ACDABC； (2)由(1)中证得的相似，利用相似 三角形的性质：“相似三角形的对 应边成比例”，列出式子可求得AC的长,例（14原创）如图，D是ABC的边AB上的一点，连接CD，若AD=，BD=，ACD=B (1)求证：ABCACD； (2)求AC的长,例题图,返回目录,第四单元 三角形,67,解：(1)在ABC和ACD中， B=ACD，A=A， ABCACD（两组角对应相等，两三角形相似） (2)由(1)可知ABCACD， ，（两三角形相似，对应边成比例） AC2=A

32、DAB=AD（AD+BD）=26=12， AC = .,返回目录,第四单元 三角形,68,【归纳总结】相似三角形在解决线段的长有关计 算问题中作用重大，常常是将未知线段与已知线段放于两个三角形中，并证明其相似，利用线段比例列方程求解.,返回目录,第四单元 三角形,,69,变式题（13巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B (1)求证：ADFDEC； (2)若AB=8，AD = ，AF = ，求AE的长,变式题图,返回目录,第四单元 三角形,70,70,【思路点拨】(1)要证ADFDEC，在这里要用 “有两角对应相等的两个三角形

33、相似”这种判定方法，根据本题图形特点只要能证出ADF=CED和AFD=BCD即可；(2)根据ADFDEC可得比例式 ，进一步可求出DE的长度，然后在RtADE中利用勾股定理求AE的长度,返回目录,第四单元 三角形,71,解：(1)四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD ADBC， ADE=CED ABCD， B+BCD=180， 又AFE+AFD=180，AFE=B, AFD=BCD ADFDEC,返回目录,第四单元 三角形,72,(2)四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AB=CD AB=8，CD=8， ADFDEC， AD= ，AF= ， ， DE=12 ADBC，AEBC，

34、 AEAD， 在RtADE中，AE2AD2DE2， .,返回目录,第四单元 三角形,73,第课时 解直角三角形的应用,中考考点清单 考点1 锐角三角形 考点2 解直角三角形的边角关系 考点3 解直角三角形的实际应用 常考类型剖析 类型一 解直角三角形的边角关系 类型二 解直角三角形的实际应用,第四单元 三角形,74,1三角函数的概念 如图，在RtABC中，90，、 、的对边分别为 a、， 正弦 sin ;余弦cosA=_; 正切tanA=_.,考点1 锐角三角函数,返回目录,第四单元 三角形,75,2.特殊角三角函数值,返回目录,第四单元 三角形,76,考点2 解直角三角形的边角关系,返回目录

35、,第四单元 三角形,77,返回目录,返回目录,第四单元 三角形,78,考点3 解直角三角形的实际应用（高频考点）,返回目录,第四单元 三角形,,79,返回目录,第四单元 三角形,80,类型一 直角三角形的边角关系,例1（12上海） 如图在RtABC中,ACB90, 是边AB的中点,BECD,垂足为点 E.己知AC15. cos A= . (1)求线段 CD的长； (2)求 sinDBE的值,例1题图,返回目录,第四单元 三角形,81,【思路分析】(1)利用锐角三角函数求出斜边AB的长， 再依据CD AB求解即可;(2)先利用三角函数求出 BC,再由sinABCsinECB得cosECB ,结合

36、BC求得EC、DE、DB，求解sinDBE,解：(1)在RtABC中，因为AC15,cosA= . 则得 cos ,解得 AB25,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD AB.,返回目录,第四单元 三角形,82,(2)由AC=15,AB=25,利用勾股定理可得BC=20， 又因 cos=sinABC，得 sinABC= . 又因 CD=DB,于是得ECB=ABC， 由 sinABC=sinECB，得cosECB= , 又因 BC=20，解得 EC=16 因 CD= ,于是DE= ，DB= , 则sinDBE= .,返回目录,第四单元 三角形,,83,变式题 1 如图，在 RtABC

37、中， C90, AB ,BC1,则 tanA=_.,【解析】 tanB= .,变式题1图,返回目录,第四单元 三角形,84,类型二 解直角三角形的实际应用,例2（13黄冈） 如图，小山顶 上有一信号塔AB，山坡 BC的 倾角为30，现为了测量塔高 AB，测量人员选择山脚处为 一测量点，测得塔顶仰角为45然后顺山坡向上行走 100米到达 E处，再测得塔顶仰角为 60，求塔高AB( 1.73， 1.41,结果保留整数),例2题图,返回目录,第四单元 三角形,85,【思路点拨】要求塔高AB,可先利用等腰三角形的性质和判定确定AE长,再通过RtAEF求出AB长,RtBEF求出BF长,最后由二者差求塔高

38、AB,返回目录,第四单元 三角形,86,解：过点C作CDAB交AB的延长线于点F依题意可知：AEB=30,ACE=15,又AEB=ACE+CAE， CAE=15.即ACE为等腰三角形， AE=CE=100.又在RtAEF中，AEF=60，EF=AEcos60=50，AF=AEsin60= 又在 RtBEF中，BEF=30, BF=EFtan30=50 m . AB=AF-BF= 米. 答：塔高AB大约为58米,返回目录,第四单元 三角形,87,【点评与拓展】(1)利用解直角三角形相关知识求解非规则图形时,往往通过作垂线将非规则图形分解或拼凑成几个规则图形(矩形、直角三角形等)的和或差.(2)构

39、造直角三角形,具体方法如下:如果题中两个特殊角在同一点上,要从这个点作垂线,构造直角三角形如本题中的点C;如果这两个特殊角分别在两个顶点上,则过第三点引垂线构造直角三角形.,返回目录,第四单元 三角形,,88,变式题2（13湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60度方向,距A港口 海里处,我海监船从A港口 出发,自西向东航行至B处时,接上级命令赶赴C岛执 行任务,此时C岛在B处北 偏西45方向上,海监船立 刻改变航向以每小时60海 里的速度沿BC行进,则从 B处到达C岛需要多少小时？,变式题2图,返回目录,第四单元 三角形,89,【思路分析】在RtACD中，根据30所对的直角边等于斜边的一半，求出CD的长，再在RtCDB中,利 用sinCBD= ,求出BC的长,最后求出海监船从B处 到达C岛所需时间,解：在 RtACD中，CAD30， CD= AC= 海里. 在 RtCDB中，CBD=45， sin45 = ，BC= =60海里， 海监船从B处到达C岛需要的时间为6060=1小时 答：海监船从B处到达C岛需要的时间为1小时,返回目录,第四单元 三角形,