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1、异面直线所成角的计算,高二数学备课组,a,b是两异面直线，在空间中任取一点O，过O作两异面直线的平行线a1,b1,则称a1,b1所成的锐角或直角为,a,b,O,a,1,b,1,两异面直线a,b所成的角。,定义,练习1：每对异面直线所成的角是多少？,: A1B与D1C1,: A1B与C1C,: A1B与CD,: A1B与C1D,: B1B与AD,: A1B与B1C,: A1B与B1D1,45,45,45,90,60,90,60,例1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。,解：,E,G,如图，
2、取A1B1的中点E， 连BE， 有BE A1M,取CC1的中点G连BG. 有BG C1N,则EBG即为所求角（或补角）。,由余弦定理，,cosEBG=2/5,F,取EB1的中点F，连NF有BENFA1M,则FNC1为所求角（或补角） 。,想一想：,还有其它方法吗？,BG=BE= a， EG = a,连EG，在EBG中,为什么？,例2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c， AB=a，AD=b(ab)求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是C1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其
3、补角）,解：,O1,方法归纳：,平移法,即根据定义，以“运动”的观点， 用“平移转化”的方法，使之成 为相交直线所成的角。,a,c,b,解法二:连接 交 于O，取 中点N，连接ON，则NOB即为异面直线所成角（或补角）,O,解法三：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F.,练习2,如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，,BC= ，且ADBC，对角线BD= ，,AC= ，求AC与BD所成的角,方法归纳：,中位线平移,在空间图形中，利用中点 连接两个空间图形；利用 中位线的平行与长度传递 异面直线的长度与方向。,练习2（解法二）,定角一般方法：,（1）直接平移,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（3）补形法,一般步骤是：,定角（作证指）,解三角形,找三角形,（2）中位线平移,